Caract´ eristiques du nuage thermique au seuil

3.4.3.1 Temp´erature

Nous venons de voir que l’´etude de l’´evolution des temps de vol au cours du refroidissement ´evaporatif pouvait nous permettre de d´eterminer le seuil de condensation (nous verrons dans le chapitre 4 comment le signal d’ions peut aussi nous y aider). L’ajustement du temps de vol au seuil, par une fonction th´eorique adapt´ee, nous donne acc`es `a la temp´erature au seuil de condensation, dite temp´erature critique. Proche du seuil de condensation, la distribution en vitesse du nuage n’est plus une distribution de Maxwell-Boltzmann mais une distribution de Bose (voir annexe B). La loi th´eorique (C.2) doit donc ˆetre modifi´ee. Cette loi est d´etermin´ee dans l’annexe C :

dN avecz = 1 au seuil de condensation.

Nous avons utilis´e cette derni`ere fonction pour ajuster nos temps de vol au seuil de condensation (les param`etres ajustables sont la temp´erature et le nombre d’atomes). La temp´erature critique d´epend du nombre d’atomes pr´esents. En optimisant plus ou moins la rampe d’´evaporation et le nombre d’atomes avant la rampe, nous avons pu faire varier le nombre d’atomes

`

a la fin de la rampe RF et ainsi la temp´erature critique. Nous obtenons des temp´eratures critiques entre 0.9 et 3 µK. Cette ´etude est d´etaill´ee au chapitre 5.

3.4.3.2 Nombre d’atomes

Au seuil de condensation, la temp´erature et le nombre d’atomes sont li´es par une relation thermodynamique. Si l’on n´eglige les interactions dans le

0.6

Fig. 3.22 – Allure des signaux de temps de vol observ´es sur le MCP pour diff´erentes fr´equences du couteau RF en fin d’´evaporation choisies proches de la valeur de 950 kHz correspondant au biais. Les courbes en traits poin-till´es corespondent `a un ajustement des ailes par une gaussienne. A 1400 et 1300 kHz (courbes a et b), le signal observ´e a une allure gaussienne tradui-sant la pr´esence d’un simple nuage thermique dans le pi`ege. Puis, `a partir de 1250 kHz (courbe c), les signaux observ´es pr´esentent alors un pic ´etroit, dˆu aux atomes de la partie condens´ee, au centre d’une distribution plus large ajustable par une gaussienne et due aux atomes du nuage thermique. Cette double structure est la signature typique de la condensation de Bose-Einstein.

En continuant d’abaisser la fr´equence finale d’´evaporation `a des valeurs de 1200 et 1100 kHz (courbes d ete respectivement), la fraction d’atomes dans le condensat augmente tandis que celle du nuage thermique diminue. Pour une fr´equence finale de 1000 kHz (courbe f) le condensat est quasi-pur.

nuage thermique et l’´energie de point z´ero, cette relation s’´ecrit alors : N_c = 1,202

k_BT_c

~ω 3

. (3.14)

Une telle relation nous permet de d´eterminer le nombre d’atomes au seuil de condensation et ainsi de calibrer notre d´etection. Des temp´eratures cri-tiques de 0.9 et 3 µK correspondent `a des nombres d’atomes entre 1 10<sup>5</sup> et 3.5 10<sup>6</sup> pour les pulsations moyennes d’oscillations utilis´ees (ω = 407 rad/s ouω = 534 rad/s selon les exp´eriences). Une ´etude plus pr´ecise est d´etaill´ee au chapitre 5, nous verrons notamment que l’on peut prendre en compte l’effet des interactions dans le nuage thermique, dans une th´eorie de champ moyen, et que cela conduit `a des corrections de l’ordre de 30% sur le nombre d’atomes.

Une telle ´etude nous permet ´egalement de calibrer notre d´etection. L’ajus-tement du temps de vol au seuil de condensation par la loi th´eorique nous donne acc`es au nombre d’atomes d´etect´es (N<sub>cd</sub>). On peut alors d´eterminer le facteur correctif (F<sub>cor</sub>) qui nous permet d’obtenir le nombre d’atomes r´eel : N<sub>c</sub> = N<sub>cd</sub>× F<sub>cor</sub>. Nous avons tout d’abord constat´e que ce facteur correctif variait avec le biais. En effet, pour modifier les caract´eristiques du nuage nous avons souhait´e changer les fr´equences d’oscillations du pi`ege. Pour ce faire, nous avons modifi´e la valeur du biais (seule la fr´equence d’oscillation suivant l’axe lent est ind´ependante du biais ω_z = 2π×47 Hz). Nous avons notam-ment travaill´e avec un biais d’environ 350 mG correspondant `a une fr´equence d’oscillation ω<sub>x,y</sub>/2π = 1250 Hz et avec un biais d’environ 160 mG corres-pondant `a une fr´equence d’oscillationω_x,y/2π= 1800 Hz. Dans les deux cas, la coupure du champ magn´etique ne doit pas ˆetre tout `a fait identique et nous observons un facteur correctif diff´erent (voir chapitre 5 : figure 5.18).

Nous avons ´egalement observ´e une d´ependance de ce facteur correctif avec la temp´erature (voir chapitre 5 : figure 5.18). Cet effet syst´ematique pourrait s’expliquer par le fait que l’extension spatiale du nuage d´epend de la temp´ e-rature et que le passage non-adiabatique vers le sous-niveau Zeeman m = 0 est un processus local qui d´epend de la vitesse locale de variation du champ magn´etique. Une autre hypoth`ese est que nous faisons une erreur syst´ ema-tique avec notre ajustement des temps de vol. Nous ne prenons par exemple pas en compte le fait que nous sommes en limite du r´egime hydrodynamique (voir paragraphe 3.4.3.4 et chapitre 5).

3.4.3.3 Densit´e et taille

La forme du nuage thermique suit une r´epartition proche d’une gaussienne (nous verrons au chapitre 5 que nous arrivons exp´erimentalement `a montrer qu’il s’agit plutˆot d’une fonction de Bose). Les tailles caract´eristiques dans le

σx,y(t = 0) σz(t= 0) n(~0) σx,y(t= 0.1s) σz(t = 0.1s)

T₁ = 1 µK 5.8 150 4 10¹² 4500 4500

T₂ = 3 µK 10 260 2 10¹³ 7800 7800

Tab.3.2 –Tailles caract´eristiques (demi-largeur `a 1/√

e) et densit´e au centre, pour un nuage thermique au seuil de condensation, pour deux temp´eratures critiques diff´erentes, et pour un biais correspondant `a ω_x,y = 2π×1250 Hz.

Les tailles sont en µm et donn´ees pour t = 0, c’est `a dire dans le pi`ege et pourt = 0.1c’est `a dire au niveau du d´etecteur. La densit´e est donn´ee dans le pi`ege et est en cm⁻³.

pi`ege et au niveau du d´etecteur d´ependent de la temp´erature (voir annexes B et C). Le tableau 3.2 r´esume leurs valeurs typiques. La densit´e au centre du nuage au seuil de condensation est enti`erement fix´ee par la temp´erature (voir annexe B) :

n(~0) Λ³_dB 'g_3/2(1)'2,612 . (3.15) Sa valeur typique est ´egalement report´ee dans le tableau 3.2. Enfin, le tableau indique la taille du nuage au niveau du d´etecteur. On remarque que le nuage devient sph´erique et que la taille du nuage n’est pas n´egligeable devant les dimensions du d´etecteur (R_g = 7.25 mm).

3.4.3.4 R´egime hydrodynamique

Par ailleurs, il est int´eressant de savoir si lors de la formation du conden-sat, le nuage thermique se trouve dans un r´egime collisionnellement ´epais, ou r´egime hydrodynamique. Un tel r´egime est atteint lorsque le taux de col-lisions ´elastiques devient tr`es grand devant les fr´equences d’oscillation des atomes dans le pi`ege, c’est `a direω_x,y '1250×2π s⁻¹ et ω_z '47×2π s⁻¹.

Pour une temp´erature critique de l’ordre de 1 µK, la densit´e critique vaut, d’apr`es (3.15), n<sub>0</sub> ∼ 4×10<sup>12</sup> at/cm<sup>3</sup>. La vitesse relative moyenne `a cette temp´erature est de l’ordre de v ∼ 10 cm/s. On en d´eduit le taux de collisions ´elastiques correspondant γ = n₀8πa²v ∼ 2600 s⁻¹ pour a = 16 nm. Le r´egime hydrodynamique est largement atteint dans la direction faible (Oz) puisque γ ω_z, mais pas dans les directions fortes (Ox) et (Oy) car γ ≤ ω_x,y. Cependant, le taux de collisions varie comme a² et l’estimation th´eorique de la longueur de diffusion est impr´ecise (voir premier chapitre).

Nous verrons dans le prochain paragraphe que l’estimation exp´erimentale reste elle aussi impr´ecise, et le taux de collisions ´elastiques au seuil est donc mal connu. Le tableau 3.3 r´esume les diff´erentes valeurs qu’il peut prendre en fonction de la longueur de diffusion et en fonction de la temp´erature (il varie ´egalement comme T²).

T_C = 1 µK T_C = 1 µK T_C = 3 µK T_C = 3 µK a = 8 nm a = 16 nm a = 8 nm a = 16 nm

v (cm/s) 10.15 10.15 17.6 17.6

α (cm³/at/s) 1.6 10⁻¹⁰ 6.4 10⁻¹⁰ 2.8 10⁻¹⁰ 11.2 10⁻¹⁰ n_c(~0) (at/cm³) 4 10¹² 4 10¹² 2 10¹³ 2 10¹³

γ (s⁻¹) 640 2560 5600 22400

Tab.3.3 –Vitesse relative moyenne (v), constante de collision ´elastique (α), densit´e au centre (n_c(~0)), et taux de collisions ´elastiques (γ), calcul´es pour un nuage thermique au seuil de condensation, pour deux temp´eratures critiques et pour deux hypoth`eses concernant la longueur de diffusion (a)

Ainsi, nos chiffres laissent penser que le nuage thermique se trouve dans le r´egime hydrodynamique (ou proche de ce r´egime) lorsque la condensa-tion se produit, ce que le groupe de l’ENS annonce ´egalement [9], mˆeme si leurs ´etudes ult´erieures semblent indiquer que ce r´egime n’est pas atteint tr`es profond´ement [108]. Cela constituerait une des premi`eres r´ealisations exp´erimentales du r´egime hydrodynamique pour un nuage d’atomes froids⁶. En effet, la recherche de ce r´egime implique d’avoir un taux de collisions

´elastiques ´elev´e et donc de r´ealiser un ´echantillon atomique particuli`erement dense. G´en´eralement, les collisions in´elastiques entre atomes pi´eg´es d´etruisent le nuage avant de pouvoir atteindre ces densit´es [73]. Le fait d’entrer dans le r´egime hydrodynamique se r´ev`ele particuli`erement int´eressant, car celui-ci se caract´erise par des propri´et´es de superfluidit´e particuli`eres [109, 110, 111].

Une propri´et´e particuli`ere de tels nuages est leur expansion apr`es la cou-pure du pi`ege magn´etique. On connaˆıt par exemple les lois d’expansion d’un gaz restant dans le r´egime hydrodynamique durant son expansion [112] qui sont proches de celles d’un condensat. Nous ne sommes pas dans ce cas, car la densit´e chute tr`es rapidement dans les premi`eres millisecondes d’expansion (elle est divis´ee par 100 en 1 ms environ). N´eanmoins, le d´ebut de l’expan-sion est dans ce r´egime et il doit donc y avoir une l´eg`ere modification de l’expansion. L’´etude de cette expansion pourrait ˆetre tr`es int´eressante. Ce-pendant, avec notre syst`eme de d´etection, nous avons une ”image” du nuage prise toujours au mˆeme instant, `a savoir 100 ms apr`es la coupure. Nous n’avons donc pas pu faire une telle ´etude et d´eterminer si l’expansion du nuage ´etait diff´erente de celle d’un nuage thermique collisionnellement peu dense. En l’absence de mod`ele th´eorique pour d´ecrire ces effets et n’ayant pas de preuve exp´erimentale de la modification de l’expansion, nous avons d´ecid´e de faire, dans un premier temps, toutes nos ´etudes en supposant que

l’expan-6Une exp´erience r´ecente a permis de rentrer profond´ement dans ce r´egime [22]

sion ´etait inchang´ee. Nous utilisons donc la loi (C.11) pour ajuster les temps de vol et remonter `a la temp´erature. Mais il faut garder en m´emoire qu’une erreur syst´ematique reste sˆurement pr´esente dans cette analyse. Les ´etudes d´ecrites au chapitre 5 vont permettre d’aboutir `a une meilleure estimation de la longueur de diffusion et la discussion sur la modification de l’expansion des nuages sera faite a posteriori (voir chapitre 5).