Les collisions Penning entre deux atomes d’He*

Lorsque la densit´e d’un gaz augmente, les premi`eres nouvelles collisions entre atomes `a prendre en compte sont les collisions `a deux corps. Ce para-graphe d´ecrit ces collisions in´elastiques entre atomes d’He*, susceptibles de d´estabiliser un ´echantillon dense.

Du fait de l’´energie interne de 20 eV, deux atomes d’He* entrant en collision ont assez d’´energie pour conduire `a l’ionisation de l’un d’entre eux (l’´energie d’ionisation `a partir du niveau m´etastable vaut environ 4.8 eV) ou

`

a la formation d’un ion mol´eculaire [61] selon les r´eactions : He^∗(2³S₁) + He^∗(2³S₁)→

He(1¹S₀) + He⁺+e⁻

He⁺₂ +e⁻ . (1.4) La premi`ere s’appelle une ionisation Penning et la deuxi`eme une ionisation associative. La r´ef´erence [60] a mesur´e un rapport de branchement de l’ioni-sation associative de 3 % pour des ´energies de collision de 100 neV (1 mK).

Le rapport de branchement n’est pas connu pour des ´energies plus faibles et ces deux r´eactions seront indiscernables dans notre syst`eme exp´erimental.

Dans ce m´emoire, nous appellerons l’ensemble de ces processus : collisions Penning `a deux corps.

1.1.3.1 Interactions entre He*

Lors d’une collision entre deux atomes dans l’´etat m´etastable 2³S₁, le moment cin´etique orbital du syst`eme entrant en collision est nul tandis que son spin total vautS_t = 0, 1, ou 2. Les deux atomes peuvent alors interagir via trois potentiels correspondant aux ´etats mol´eculaires :¹Σ⁺_g, ³Σ⁺_u, ⁵Σ⁺_g. A grande distance r entre les atomes, ces trois potentiels se confondent [61] et sont bien repr´esent´es par l’expression :

V(r) =−C₆ r⁶ −C₈

r⁸ , (1.5)

avecC₆ ≈3280 (u.a.¹) etC₈ ≈210000 (u.a.). En tenant compte de la barri`ere centrifuge de moment angulaire relatif l, le potentiel effectif est :

V_eff(r) = l(l+ 1)

Pour avoir un ordre de grandeur de la hauteur de la barri`ereU₀ et sa position r_max, on n´eglige le terme enC₈. Les r´esultats sont donn´es dans le tableau 1.1.

On constate que, pour des atomes dont l’´energie cin´etique moyenne est dans la gamme du mK, seule l’onde partiellel = 0 contribue aux collisions. L’appli-cation des r`egles de sym´etrisation induit alors que les atomes n’interagissent que selon les potentiels mol´eculaires ¹Σ⁺_g et ⁵Σ⁺_g.

1unit´es atomiques : 1 Bohr'0.53 ˚A, et 1 Hartree'27.2 eV

l r_max (nm) U₀ (µeV) U₀/k_B (mK)

1 4.2 0.7 8.2

2 3.2 3.7 42.6

3 2.7 10.4 120

Tab. 1.1 – Calcul de la position et de la hauteur des premi`eres barri`eres centrifuges pour deux atomes d’He* interagissant selon le potentiel effectif (1.6).

1.1.3.2 Taux de collisions Penning non polaris´e

Lorsque les deux atomes d’He^∗(2³S1) entrant en collision sont `a grande distance, ils peuvent ˆetre d´ecrits par la projection M de leur spin sur un axe de quantification quelconque, qui peut prendre les trois valeurs −1, 0 ou 1. S’ils ont la mˆeme projection sur cet axe, on parle de collision entre atomes polaris´es. Dans le cas g´en´eral, s’ils n’ont pas ´et´e pr´epar´es dans un

´etat M particulier ou s’il n’y a pas de champ magn´etique directeur pour lever la d´eg´en´erescence, toutes les configurations de projection (M1, M2) sont possibles et la collision est dite non polaris´ee.

Pour caract´eriser quantitativement ces collisions Penning `a deux corps, on d´efinit une constante de collisions β. Celle-ci est d´efinie par le flux de pertes dˆu `a ces collisions pour un gaz thermique homog`ene ² :

dn

dt =−βn² (1.7)

o`u n est la densit´e de l’´echantillon. Pour une collision entre deux atomes dans un ´etat de spin total S_t et interagissant selon l’un des trois potentiels

1Σ⁺_g, ³Σ⁺_u et ⁵Σ⁺_g, on relie la constante de collisions β_St `a la section efficace σ<sub>St</sub> des collisions (1.4) par β<sub>St</sub> = 2σ<sub>St</sub>(v<sub>rel</sub>)v<sub>rel</sub> (v<sub>rel</sub> est la vitesse relative moyenne). Le facteur 2 vient du fait que pour chaque collision 2 atomes sont perdus. Pour un nuage d’atomes non polaris´es, `a la temp´erature T, la constante moyenne de collision est obtenue en moyennant sur la distribution de vitesses relatives et en additionnant les contributions des trois potentiels, soit β_{non pol} = β_1Σ +β_3Σ+β_5Σ. Chacun des trois termes β_(2St+1)Σ vaut <

β_St >, les crochets d´esignant la moyenne sur la distribution de vitesses. A une temp´erature inf´erieure au mK, cette constante se r´eduit `aβ<sub>non pol</sub> =β<sub>1Σ</sub>+β<sub>5Σ</sub>, puisqu’il n’y pas d’interaction selon le potentiel <sup>3</sup>Σ<sup>+</sup><sub>u</sub>. De plus, l’interaction suivant le potentiel <sup>5</sup>Σ<sup>+</sup><sub>g</sub> ne conduit pas `a une ionisation (au premier ordre)

2Attention, cette constante est parfois d´efinie pour un condensat :βbec =β/2!, o`u 2 ! est le facteur de r´eduction quantique (voir plus loin). On d´efinit aussi souvent la constante de r´eaction :K2=β/2, o`u 2 se r´ef`ere `a 2 atomes perdus pour chaque collision.

car la conservation du spin ne serait pas v´erifi´ee (voir paragraphe suivant).

Cette constante se r´eduit donc `a β_{non pol}'β_1Σ

D’un point de vue th´eorique, la constante de collision Penning est calcul´ee en supposant que d`es que les atomes s’approchent `a une distance inf´erieure

`

a 7 rayons de Bohr, ils sont perdus avec une probabilit´e de 100% [54, 55]. La constante de collisionβ_{non pol} pour un ´echantillon d’atomes non polaris´e dans l’´etat 2³S₁ a ´et´e estim´ee th´eoriquement [62] dans la limite de temp´erature nulle. Elle a ´egalement ´et´e mesur´ee par diff´erents groupes [63, 64, 65, 66, 67]

pour des temp´eratures de l’ordre de 1 mK . La valeur moyenne des r´esultats vaut β_{non pol} ≈ 5×10⁻¹⁰ cm³/s. Cette valeur ´elev´ee rend particuli`erement difficile l’obtention de densit´es de l’ordre de 10¹² at/cm³, comme attendu proche de la condensation, car l’´echantillon est d´etruit en moins de 10 ms ! 1.1.3.3 R´eduction des collisions Penning

Le processus de collisions Penning est gouvern´e `a l’ordre le plus bas par l’interaction ´electrostatique, ce qui impose la conservation du spin total au cours de la collision. La formule suivante d´ecrit les diff´erents ´el´ements inter-venant dans la collision, accompagn´es de leur spin respectif :

He^∗(2³S₁) + He^∗(2³S₁) → He(1¹S₀) + He⁺ + e⁻

1 + 1 → 0 + ¹₂ + ¹₂

Avant la collision, le spin total des r´eactifs peut valoir 0, 1 ou 2. Celui des produits de la collision ne peut prendre que les deux valeurs 0 ou 1. L’inter-action des atomes selon le potentiel ⁵Σ⁺_g interdit donc les collisions Penning et la constante moyenne de collisions Penningβ_5Σ est nulle.

Cette suppression des collisions Penning entre atomes polaris´es n’est ce-pendant pas totale. Les deux atomes interagissent par l’interm´ediaire du mo-ment magn´etique associ´e `a leur spin. L’hamiltonien de cette interaction spin-spin pour deux atomes dont le vecteur position relative est R, est donn´~ e par

H ∝µ²_B hS~ˆ₁·S~ˆ₂R²−3(S~ˆ₁·R)(~ S~ˆ₂ ·R)~ i

(1.8) Il peut induire des transitions entre l’´etat de la voie d’entr´ee |S_t = 2, M_t = 2 > et les ´etats de sortie |S_t = 2, Mt = 1 > (´etat 1), |S_t = 2, Mt = 0 >

(´etat 2) ou |S_t= 0, M_t = 0> (´etat 3), `a l’exclusion de tout autre. Les deux premiers cas ne sont pas suivis d’une ionisation car le spin total est toujours 2. Le dernier cas permet une ionisation car le syst`eme passe du potentiel⁵Σ⁺_g

`

a¹Σ⁺_g qui, lui, peut conduire `a une ionisation Penning.

Une fa¸con de pr´eparer le syst`eme dans un ´etat de spin total 2 est de polariser chacun des atomes dans un ´etat M = 1. Le chapitre 3 montrera que ceci est automatiquement r´ealis´e pour l’He* dans un pi`ege magn´etique car les ´etats M = 0 et M =−1 sont non pi´eg´es.

L’interaction d´ecrite par l’hamiltonien 1.8 introduit alors deux processus de pertes diff´erents. Lorsque les atomes se retrouvent dans les ´etats 1 et 2, ils ne sont plus pi´eg´es et sortent du pi`ege sans ionisation. Ce type de processus est appel´e relaxation de spin. Lorsque les atomes se retrouvent dans l’´etat 3, ils subissent une ionisation.

Le taux de pertes `a deux corps pour un nuage d’atomes polaris´es dans un pi`ege magn´etique a ´et´e calcul´e th´eoriquement [54, 55, 56]. Pour des va-leurs du champ magn´etique inf´erieures `a 100 G, et une temp´erature du nuage d’atomes plus petite que 1 mK, l’ionisation par interaction selon le potentiel

1Σ⁺_g (constante de collision not´eeβ dans toute la suite du m´emoire) domine devant la relaxation de spin (constante de collision not´eeβ_rs). Le calcul pr´ e-voit une r´eduction du taux de collisions Penning par rapport au cas non polaris´e de 5 ordres de grandeur environ, soit β ∼ 10⁻¹⁴ cm³/s pour une temp´erature inf´erieure `a 1 mK et une constante de collision pour la relaxa-tion de spin environ 10 fois plus faible : β_rs ∼ 10⁻¹⁵ cm³/s pour la mˆeme gamme de temp´eratures. Il est donc th´eoriquement possible de conserver un

´echantillon d’atomes `a une densit´e de l’ordre de 10¹² at/cm³ pendant une centaine de secondes.

Cependant, la valeur de β calcul´ee d´epend beaucoup du potentiel mol´ e-culaire ⁵Σ⁺_g utilis´e. La forme analytique de ce potentiel a ´et´e calcul´ee par Starck et Meyer [68], et ces auteurs estiment que la pr´ecision sur le potentiel

`

a courte distance est de l’ordre de 1%. En faisant varier le potentiel de plus ou moins 1%, les auteurs de [54, 55, 56] ont montr´e que la valeur deβpouvait ˆetre modifi´ee d’un ordre de grandeur.

Historiquement, une premi`ere estimation exp´erimentale a ´et´e r´ealis´ee en 1972 [69], en polarisant les atomes par pompage optique. Le taux de pertes dans l’´echantillon polaris´e a ´et´e trouv´e au moins 10 fois plus faible que dans l’´echantillon non polaris´e. La r´ealisation de pi`eges magn´etiques d’He* n’a pas suffi pour abaisser cette limite car l’influence des pertes `a 2 corps sur un nuage peu dense est n´egligeable devant les pertes dues aux collisions avec le gaz r´esiduel [51]. Ce n’est que la r´ealisation d’un condensat de Bose-Einstein [8, 9] qui a permis d’abaisser significativement cette limite. Le fait mˆeme que l’on arrive `a garder pi´eg´e un condensat quelques secondes (voir chapitres 3 et 4) implique une r´eduction du taux de collisions Penning polaris´e d’au moins 3 ordres de grandeur. Le chapitre 5 pr´esente la premi`ere mesure exp´ e-rimentale deβ. Une telle mesure a un int´erˆet th´eorique si elle est r´ealis´ee de fa¸con absolue car elle peut permettre de tester le potentiel ⁵Σ⁺_g utilis´e ou les m´ethodes de calcul employ´ees. Nous verrons qu’elle a ´egalement un int´erˆet pratique mˆeme si elle n’est connue que de fa¸con relative, pour nous permettre d’´etudier la dynamique de formation du condensat (voir chapitre 4).