Satisfaire les contraintes

On peut désormais calculer la solution de nos équations avec deux paramètres ajus-tables ˜α0 et ˜α1. On va maintenant utiliser ces paramètres pour faire en sorte que les solutions satisfassent les contraintes du système.

a) Le multiplicateur de Lagrange α

La contrainte d’inextensibilité du fil est directement associée aux paramètres restants, puisqu’ils en constituent ses multiplicateurs de Lagrange. Cette contrainte est globale, c’est-à-dire qu’elle s’applique sur le tricot dans son ensemble et non localement au niveau de la maille. Il faut que les solutions deaetbque l’on sait calculer satisfassent la contrainte qui s’exprime sous la forme suivante :

c^∗+δw^∗ =

a) b)

|ℓ0-(c*+δw*)| |ℓ1|

α~₀ α^~₁

0 5 10 15 20

0 10 20 30

8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 x10^-3

1.25 1.30 1.35

x10^-3

Figure II.19 – a) Pour assurer l’inextensibilité du fil entre l’état de référence et l’état initial, l’équation`<sub>0</sub> =c<sup>∗</sup>+δw<sup>∗</sup> doit être vérifiée, ce qui impose la valeur du multiplicateur de Lagrange ˜α0 = 1.32. b) De la même manière, pour que la longueur de fil reste constante avec ε, l’équation `₁ = 0 doit être vérifiée, ce qui impose la valeur de ˜α₁ = 9.04.

On peut la réécrire en fonction des champs de déplacement initiaux a0 et b0 et durant l’élongation,a₁etb₁, tout en développant au premier ordre enεet en les dérivées spatiales de a₀, b₀ pour rester cohérent avec le développement des équations du mouvement. La contrainte se traduit alors sous la forme suivante :

`₀ =c^∗+δw^∗ ⇐⇒ 0 = Z Z

x,y

dxdy a_0,x+νb_0,y (II.68)

`₁ = 0 ⇐⇒ 0 = Z Z

x,y

dxdy a_1,x+νb_1,y+b_1,xb_0,x+νa_1,ya_0,y (II.69)

La première équation ne fait intervenir que a₀ et b₀, et en conséquence seulement le paramètre ˜α₀. Il suffit alors de résoudre cette équation en ˜α₀ pour que la contrainte soit satisfaite. En revanche, l’expression de a0 en fonction de ˜α0 est trop complexe pour permettre une résolution analytique de l’équation, on se tourne donc vers une solution numérique. La valeur de ^RR

x,y

dxdy a_0,x+νb_0,y est évalué en fonction deα₀ et on trouve que cette valeur s’annule pour ˜α₀ ≈ 1.32 (fig. II.19.a). Dès lors, la seconde équation ne contient plus que ˜α₁ comme inconnue. En procédant de la même manière, et en résolvant l’équation numériquement, on obtient ˜α1≈9.04 (fig. II.19.b).

Les valeurs numériques de ce multiplicateur de Lagrange nous informent sur l’état de tension global dans le tricot. En effet, on avait vu que les conditions sur les bords libres en x=±^L₂^∗c, qui imposent la déformation latérale (a_,x) des mailles correspondantes, sont directement liées à αavec a0,x=−^α˜0₂⁻¹ eta1,x=−_{3 ˜α}^α˜1

0−1. On peut aussi remarquer dans les équations générales, avant tout développement, qu’en re-normalisant nos variables~cet

~ wpar√

α, ainsi queT~ etT parα, on arrive à sortir la dépendance enαdes équations. Ce re-dimensionnement montre que α peut bien être interprété comme une tension globale.

Choisir la longueur de fil pour un nombre de mailles donné revient par conséquent à prescrire un état de tension dans le tricot et une énergie élastique stockée.

II.7 Cas de notre expérience modèle 71 L’unique paramètre restant est ˜Y, le module de traction effectif du tricot, mais celui-ci n’intervient pas dans les équations décrivant la forme du tricot. Maintenant que α₀ etα₁ sont connus, on peut prédire la forme théorique de notre tricot sans aucun paramètre ajustable.

b) Le multiplicateur de Lagrange T~

La seconde contrainte est automatiquement satisfaite si le problème est exprimé en fonction de aetb au lieu de~c etw. On peut tout de même calculer le multiplicateur de~ Lagrange associé T~ pour nous permettre de récupérer, par exemple, la force nécessaire à l’allongement du tricot.

Pour éclaircir un peu la signification de ce multiplicateur de Lagrange, on peut s’ins-pirer de la mécanique standard en cherchant les relations entre T~ et les déformations du systèmes que l’on note εx = a,x, εy = b,y et εxy = ¹₂(a,y+b,x). En développant les équations générales (de eq. (II.45) à eq. (II.47)) au premier ordre en ces déformations et avec T~ =T^x~ex+T^y~ey, on trouve les relations suivantes :

On arrive donc à relier les dérivées premières de T~ aux déformations du système par une simple relation linéaire qui fait intervenir le module effectif ˜Y. Trois tensions effectives, qui s’expriment directement en fonction de T~ peuvent alors être définies, σ_xx = T_,y^x, σyy =T_,x^y etσxy = ¹₂T_,x^x−νT_,y^y, leur dimension de force linéique N.m⁻¹ est bien celle d’une tension. On peut aussi remarquer que la relation entre σxx et εxx, ainsi que σyy et ε_yy n’est pas une relation de proportionnalité, même sans déformation le système est sous contrainte, et cette contrainte est fixée par α

CalculerT~ permet donc d’avoir une idée des tensions qui s’appliquent dans le système.

Si la forme du tricot, donnée par~cetw, est connue alors~ T~ peut être calculé. Les équations qui relient la forme aux contraintes et donc à T~ sont :

Y˜ défini à une référence près. Ce système d’équations ne permet pas de résoudre séparément T~ et T, on introduit donc une quantité qui combine les deux inconnues :T~_tot =T_tot^x ~e_x+ T_tot^y ~ey =T~+w^∗

x

R

0

T(x)dx ~ey, les conditions aux bords deviennent par conséquentT~tot(x=

±^L₂^∗c, y) =±^F₂^T~ey. Les équations s’écrivent donc : Le calcul de T~tot va se faire au même ordre que les calculs précédents, les fonctions f_c^x, f_c^y, f_w^x, f_w^y sont donc développées au premier ordre en ε et en les dérivées spatiales de a₀ et b₀. On intègre tout d’abord suivant x, ce qui implique l’introduction des fonc-tions d’intégration g^x(y) et g^y(y). Les bornes d’intégration sont choisies de telle sorte à respecter la parité des fonctions.

En injectant ces intégrations dans la première équation on obtient finalement l’expression des fonctions d’intégration :

Le champ de vecteursT~_tot peut donc être évalué sur toute l’intégralité du tricot. Il ne peut pas être calculé pour l’instant car le paramètre ˜Y est encore inconnu. En revanche, T~tot

étant simplement proportionnel à ˜Y, on peut calculer sa version normaliséeT~˜tot=T~tot/Y˜ et donc les composantes normalisées des tensions : ˜σxx, ˜σyy et ˜σxy (fig.II.20). Ces tensions correspondent bien à ce à quoi on pourrait s’attendre pour ce genre de déformation.

σ˜_xx, la tension latérale est négative, s’annule sur les bords libres et s’accumulent tout particulièrement sur les mailles prises dans les mors. ˜σyy la tension longitudinale est à peu près homogène, avec un maximum concentré sur les mailles des bords libres. Enfin, σ˜_xy, la tension de cisaillement est particulièrement élevée autour des coins avec un signe qui alterne en fonction de l’orientation des mailles.