Énergie du tricot

λ_iContraintes [~c, ~w] (II.21) Le Lagrangien est donc composé de deux parties, la première étant l’énergie du système, l’autre les contraintes qui s’y appliquent. L’objectif étant de trouver les champs de vecteurs

~c et w~ qui minimisent l’énergie du système tout en satisfaisant les contraintes imposées.

Pour trouver ces variables, le Lagrangien est différencié par rapport à toutes ses variables, fournissant ainsi les équations différentielles sur les variables dont les solutions minimisent l’énergie. Pour permettre au système de satisfaire ses contraintes, on introduit les mul-tiplicateurs de Lagrange λ_i qui jouent le rôle de degrés de liberté supplémentaires. Ces multiplicateurs apparaissent dans la solution des équations différentielles, on peut alors les ajuster jusqu’à ce que les contraintes soient vérifiées.

L’objectif maintenant est d’exprimer l’énergie et les contraintes du tricot en fonction des variables~c etw.~

II.4 Énergie et contraintes

II.4.1 Énergie du tricot

L’énergie du tricot est portée par l’énergie élastique du fil. On suppose que la déforma-tion du fil est purement élastique et que le fil est considéré comme mince, c’est-à-dire que sa mécanique peut être représentée par sa ligne neutre. Pour intégrer cette énergie dans notre approche Lagrangienne, il faut pouvoir l’exprimer en fonction de~cetw~ seulement.

a) Quels modes de déformation du fil ?

Lorsqu’un fil mince élastique est soumis à des contraintes extérieures il peut se défor-mer de trois manières différentes, l’extension, la flexion et la torsion. Le fil étant considéré comme mince, on peut ne prendre en compte que la déformation de sa ligne neutre (la ligne suivie par le centre de masse des sections du fil). Le fil peut augmenter (ou diminuer) de manière homogène la longueur de sa ligne neutre, on parle alors d’extension. Lorsque le fil peut adopte une certaine courbure dans l’espace, il s’agit de flexion. La torsion du fil apparaît quant à elle lorsque la ligne neutre subit une rotation le long de son axe. Toute-fois, dans le cas particulier d’un fil parcourant un tricot, ces trois modes de déformation ne contribuent pas de manière équivalente.

Premièrement, notre fil de pêche ne contient pas de torsion interne comme c’est le cas des fils composé de nombreuses fibres tel le coton ou la laine. Ensuite, le processus de tricotage du jersey par machine n’introduit pas explicitement de torsion au fil, entre l’entrée et la sortie d’une maille, l’orientation de la ligne neutre du fil doit revenir à sa configuration initiale pour que le motif puisse se répéter. En revanche, au sein d’une maille, le fil peut se torsader légèrement du fait des contraintes qu’il subit. Il doit donc être nécessaire de prendre en compte la torsion pour obtenir la forme exacte d’une maille.

Cependant, dans le régime étudié ici où le tricot est contraint de rester dans un plan et où

la déformation est imposée dans ce même plan, la torsion du fil est très peu sollicitée ni variée. On va donc supposer par la suite que la torsion du fil ne contribue pas à l’énergie du fil qui va pouvoir varier pendant l’élongation.

Deuxièmement, il est évident en regardant la forme d’une maille que le fil est fléchi lorsqu’il parcourt une maille. Par contre, il est très difficile d’évaluer si le fil est étiré ou compressé. L’énergie du tricot contient donc a priori une contribution de la flexion et une contribution de l’extension. On peut alors chercher à déterminer si un des deux modes de déformation va être favorisé par le système. Pour cela on peut par exemple comparer en ordre de grandeur l’énergie de flexion et d’extension du fil parcourant une maille. En première approximation, on peut considérer qu’une maille, composée d’une longueur`de fil, est purement 2D et que le fil adopte un rayon de courbure constant R. L’énergie de flexion d’une maille est donc donnée parE<sub>b</sub>= <sup>1</sup><sub>2</sub>`B_R¹2 avec B= ^Eπr₈ ⁴ le module de flexion du fil, E son module d’Young et r son rayon. Pour un allongement δ`du fil, son énergie d’extension s’écrit E<sub>ext</sub> = <sup>1</sup><sub>2</sub>πr<sup>2</sup>`E<sup>δ`</sup><sub>`</sub>². Dans notre expérience, on déforme le tricot, et donc les mailles de grossièrement ε∼10 %. Pour la flexion, cette déformation induit un changement de rayon de courbure deRàR(1+ε), donc le changement d’énergie de flexion d’une maille pour encaisser cette déformation vaut ∆E_b =|E_b(R(1 +ε))− E_b(R)| ≈ ^{`Bε</sup><sub>R</sub>2 . Pour l’extension, cette déformation modifie directement la longueur de fil, d’où <sup>δ`}_` ≈ε, et

∆E_ext= ¹₂πr²`Eε². On peut alors comparer ces deux variations d’énergie :

∆E_b

∆E_ext = 1 ε

r 2R

2

∼2.10⁻⁴ (II.22)

Avec la grossière approximation que R est de l’ordre de la distance entre mailles, soit environ 4 mm et avec notre fil, r = 40µm. L’énergie nécessaire pour varier le rayon de courbure de la maille est alors plusieurs ordres de grandeur plus petite que l’énergie nécessaire à varier la longueur de fil. Le système va donc largement plus favoriser la flexion que l’extension. On peut par conséquent considérer le fil comme étant inextensible.

Calculer ces ordres de grandeur permet aussi d’apprécier la simplification qu’apporte la séparation d’échelle entre la taille du fil (r) et la taille d’une maille (R). La seule énergie que l’on va considérer est donc l’énergie de flexion du fil. Évaluer l’énergie du tricot revient donc à mesurer des courbures.

b) Courbures d’une maille

Mesurer des courbures revient à évaluer le taux de variations des vecteurs attachés à la trajectoire de la ligne neutre du fil (d~₁, ~d₂, ~d₃) comme introduit précédemment (fig.I.8).

Comme on a supposé l’absence de torsion du fil, on peut choisir qued~₁ reste coplanaire au plan du tricot défini par (~ex, ~ey). L’épaisseur du tricot est de l’ordre du diamètre du fil, on a donc aussi une séparation d’échelle entre la taille de la maille et son épaisseur. De cette manière, on peut supposer que le vecteurd~₃, colinéaire au fil, reste lui aussi principalement coplanaire au tricot. De ce fait, le dernier vecteurd~2 se retrouve donc perpendiculaire au plan du tricot et donc colinéaire à~e_z =~e_x×~e_y. Cette approche nous permet de considérer indépendamment la courbure du fil dans le plan du tricot κ et celle hors du plan κ⁰. Il faut maintenant relier ces courbures aux vecteurs caractérisant la maille, ~c et w. Pour~ cela, une possibilité serait de s’inspirer des travaux effectués sur la forme à l’équilibre du fil dans une maille, notamment ceux de H. Hong et al [95] qui permettent de relier

II.4 Énergie et contraintes 51 les dimensions d’une maille à la trajectoire du fil qui la parcourt, et donc son énergie.

Cependant, ces relations sont complexes et non explicites ce qui rendra très difficile la dérivation ultérieure du Lagrangien dans lequel cette énergie sera implémentée. On va donc plutôt essayer d’extraire des relations approchées mais simples en s’appuyant sur la géométrie particulière de la maille.

Pour commencer, on peut tout d’abord différencier la partie du fil qui parcourt princi-palement le rang de celle qui parcourt la colonne. On suppose ensuite que ces deux parties possèdent une courbure propre et constante nommée κ_c et κ⁰_c le long du rang et κ_w et κ⁰_w le long des colonnes, pour respectivement la courbure dans le plan et hors du plan du tricot. On définit les rayons de courbures associés : _R¹

c = κc, _R¹0 Avec`cet`wla longueur de fil le long de, respectivement, le rang et la colonne. En notant l’énergie comme cela, il en ressort qu’un critère exact pour définir où commencent et où s’arrêtent les parties du fil associées aux rangs ou colonnes n’est pas nécessaire. Par contre cela reportera la difficulté sur l’évaluation de `cet `w.

Figure II.11.d et fig. II.11.e mettent en évidence schématiquement comment Rc et R_w sont contraints géométriquement par la taille de la maille exprimée par c = k~ck et w =kwk. En effet, si par exemple, la taille latérale de la maille~ c diminue, le rayon de courbureRcest aussi contraint à diminuer. On peut donc faire l’hypothèse, qu’en première approximation, une relation de proportionnalité lie les rayons de courbures dans le plan du tricot aux dimensions de la maille, de sorte queRc∝cetRw∝w. De la même manière, on a une relation géométrique entre l’extension de la maille et les rayons de courbure transverse du fil, sauf que cette fois-ci, comme l’épaisseur du tricot reste constante et de l’ordre de d, on peut en déduire les relations suivantes : R⁰_c ∝ ^c_d² et R_w⁰ ∝ ^w_d². Reste maintenant à évaluer`cet`w, aussi en fonction de~cetw. Augmenter de manière isotrope~ une maille s’accompagne nécessairement d’une augmentation de la longueur de fil dans cette maille. Donc varier c ou w va aussi faire varier `c et `w. Au gré des déformations de la maille, les parties du fil associées à `c ou`w vont évoluer. Une diminution de cpar exemple va s’accompagner d’une réduction de `<sub>c</sub>aussi. On va donc aussi faire l’hypothèse que ces grandeurs sont liées par proportionnalité, `c ∝ c et `w ∝ w. La relation entre la longueur de fil par maille et nos variables est approfondie dans la section suivante.

L’énergie d’une maille peut en conséquent s’écrire sous la forme : E_maille=B peut remarquer qu’un facteur^d_c² ou _w^d2 séparent les contributions dans et hors plan.

Or comme dans notre cas la taille d’une maille est grande devant le diamètre du fil, on a ^d_c² ∼_w^d2 1. De plus, si on suppose que tous les coefficients de proportionnalité sont du même ordre de grandeur, les contributions venant des courbures hors plan sont négligeables comparées à celles dans le plan. Par conséquent, les termes hors plan ont une répercussion négligeable dans la mécanique 2D du tricot. Toutefois, étant les seuls termes

y

z x

R

R

a)

R'

2d

y

z x

y

z x

b)

R'

2d

y

z x

y z

x

c)

R

R

c d) w

w R

R

e)

c w

c

FigureII.11 – a-c) Coupe suivant trois plans mettant en évidence les rayons de courbures dans le plan et hors plan associés à chaque partie du tricot. a) Projection dans le plan du tricot (~e_x, ~e_y) mettant en évidence les rayons de courbure R_c et R_w. b) Projection dans le plan orthogonal au tricot et colinéaire aux colonnes (~e_y, ~e_z), mettant en évidence R_w⁰ et l’épaisseur du tricot estimée à deux fois le diamètre du fil d. c) Projection dans le plan orthogonal au tricot et colinéaire aux rangs (~ex, ~ez, mettant en évidence R⁰_c. d-e) Schémas mettant en évidence la relation géométrique entre les dimensions d’une maille et la courbure de son fil. d) Cas d’une maille plus large que longue. e) Cas d’une maille allongée.

II.4 Énergie et contraintes 53 qui interviennent perpendiculairement au plan du tricot, ce sont eux qui vont prévaloir si on s’intéresse non plus aux déformations dans le plan du tricot mais hors du plan. Ce sont notamment ces termes qui sont en grande partie responsable de la forme 3D d’un tricot au repos et du roulottement des bords, effets qui seront étudiés un peu plus en détail dans le chapitreIV. Au final, on obtient une expression très simple pour l’énergie d’une maille en fonction des variables de notre problème.

E_maille = ˜B On réorganise aussi les coefficients de proportionnalité pour faire apparaître ˜B, un module de flexion effectif et β un coefficient exprimant l’asymétrie entre la contribution énergé-tique de ~c et w. Maintenant que l’on a l’énergie d’une maille, on peut en déduire celui~ du tricot en entier en sommant sur toutes les mailles. Avec le modèle discret, il suffit de sommer sur toutes les mailles et donc les indices (j, i). Avec le modèle continu, il faut intégrer sur x ∈ ^h−^L₂^∗c,^L₂^∗ci et y ∈ ^h−^L₂^∗w,^L₂^∗wi. Normaliser par c^∗w^∗ est nécessaire pour obtenir l’équivalent de la somme discrète, l’intégrale s’écrit alors :

Nc