Équations sur les champs de déplacement

Pour satisfaire automatiquement la contrainte topologique, les équations dérivées pré-cédemment sont désormais écrites en fonction des champs de déplacements a et b des mailles. On se place dans le cadre d’une approche linéaire de la déformation, les équa-tions sont linéarisées au premier ordre enε. Les champs de déplacement sont exprimés en terme de déplacement initiaux et linéaires en la déformation :a=a₀+εa₁etb=b₀+εb₁. Cela implique aussi d’écrire les multiplicateurs de Lagrange de cette façon, notamment α = α₀ +εα₁. De plus, on suppose que l’état initial en ε= 0 est peu déformé par rap-port à l’état de référence, cela implique que les dérivées spatiales de a₀ et b₀ restent petites devant 1 : (a0,x, a0,y, b0,x, b0,y) 1. Par contre, on remarque qu’expérimentale-ment,a₀, b₀ eta₁, b₁ se différencient sensiblement, il faut donc que la déformation initiale intervienne dans les équations poura₁, b₁. Dans le développement on garde donc les termes en ε×(a0,x, a0,y, b0,x, b0,y).

Pour alléger les équations, on définit le multiplicateur de Lagrange adimensionné ˜α=

c^∗2α

Y˜ , ainsi que les coefficients suivants, le coefficient de Poissonν =δ^w_c∗^∗ etχ= ^α˜0₂⁻¹. Les

II.7 Cas de notre expérience modèle 65 termes intervenant dans l’équation globale sur~cetw~ ont alors pour expression :

−Y˜ ~c L’équation globale s’écrit donc comme une constante plus un terme proportionnel àε. Les deux doivent s’annuler pour que l’équation soit vérifiée. Annuler le terme constant revient donc à trouver les solutions pour le déplacement initial, et annuler celui proportionnel à εrevient à trouver les solutions pour la déformation a1 etb1.

a) Déplacement initial

On dérive maintenant les équations que doivent vérifiera0 etb0 pour annuler la partie constante de l’équation globale (eq. (II.43)). Elles s’écrivent simplement :

a0,xx+νχa0,yy=0 (II.48)

b0,xx+ ν

χb0,yy=0 (II.49)

Avec ν = δ^w_c∗^∗ et χ = ^α˜0₂⁻¹. Ces équations sont complétées par les conditions aux bords aussi exprimées en fonction des champs de déplacements :

∀x

On remarque que les équations pour a₀ et b₀ sont complètement décorrélées, et vérifient toutes deux des équations différentielles elliptiques avec des conditions aux bords mixtes, de type Dirichlet sur les rangs extérieurs et Newmann sur les colonnes extérieures.

La solution pourb₀ est immédiate puisque la seule solution possible est : b0(x, y) = L⁰_w−L^∗_w

L^∗_w y (II.51)

Le déplacement initial longitudinal est donc indépendant dexet évolue linéairement avec y. Cela signifie que les rangs restent parallèles entre eux et aux mors qui tiennent les

premiers et derniers rangs. Toutes les mailles s’allongent de la même quantité b0,y =

L⁰_w−L^∗_w L^∗_w .

La solution poura₀est plus difficile à obtenir. On peut toutefois en trouver une solution analytique de deux manières différentes. La première repose sur une décomposition en base de Fourier et est explicitée dans l’annexeA, la seconde repose sur une transformée de Schwartz-Christofel, détaillée dans l’annexeB. Toutefois les deux solutions sont forcément approchées numériquement car la première approche fait intervenir une série infinie et la deuxième offre une solution implicite. Aux erreurs numériques près, ces deux solutions apparaissent identiques. Le seul paramètre inconnu dans ces solutions est le multiplicateur de Lagrange ˜α0 qui se cache dans le paramètre χ = ^α˜0₂⁻¹ (fig. II.17). Ce paramètre χ est directement relié à la déformation des bords libres puisque ~c(x = ±^L₂^∗c, y, ε = 0) = c^∗(1−χ)~e_x, ce qui donne une interprétation naturelle au paramètre ˜α₀ qui donne l’ordre de grandeur de la déformation latérale.

b) Déformation de la forme initiale

En annulant la partie de l’équation globale proportionnelle àε, on obtient les équations différentielles pour a₁ etb₁ :

a1,xx+νχa1,yy+Pa=0 (II.52)

b1,xx+ ν

χb1,yy+P_b =0 (II.53)

Les termesPa etP_b ayant les expressions suivantes : P_a(x, y) =−3 ∂

Figure II.17 – a) Illustration de la solution a₀ pour quatre valeurs de ˜α₀, les autres paramètres prenant les valeurs mesurées : c^∗= 3.93 mm, w^∗= 2.08 mm et δ = 0.86, ainsi que la taille de l’état initial c0 = 4.45 mm et w0 = 2.45 mm. b) Idem pour b0, mais les quatre solutions se superposent car b₀ est indépendant de ˜α₀.

II.7 Cas de notre expérience modèle 67 Ces équations sont agrémentées des conditions aux bords ci dessous :

∀x Les équations pour a1 et b1 sont donc des équations aux dérivées partielles linéaires mais cette fois-ci, elles sont couplées et les coefficients ne sont pas constants. En effet, la forme initiale donnée par a₀, b₀ vient ajouter des termes couplant le déplacement latéral au déplacement longitudinal, compliquant significativement la résolution des équations.

La connaissance des fonctions a₀ etb₀ est donc nécessaire pour calculera₁ etb₁. On peut tout de même remarquer que sans forme initiale complexe, c’est à dire a₀ = b₀ = 0 (ou une constante), ces équations se réduisent à celles vérifiées para0 etb0.

Les tentatives infructueuses de résolution de ces équations par développement en séries de Fourier nous ont amené à résoudre ces équations numériquement. Le schéma numérique utilisée repose sur la méthode de Gauss-Seidel [118] qui fonctionne par propagation des conditions aux bords en partant d’une condition initiale puis en réitérant la résolution.

L’annexe C présente plus en détail cette méthode appliquée à notre problème. Cette fois-ci, les deux paramètres dont dépendent a1 etb1 sont ˜α0 et ˜α1 (fig.II.18).

c) Comparaison avec les équations de l’élasticité linéaire

On a maintenant accès aux équations de la mécanique du mouvement de notre tri-cot, que l’on compare avec celles de la mécanique standard d’un objet 2D. On limite la comparaison aux réponses linéaires, ce qui correspond aux équations pour a0 et b0 dans notre cas. Dans l’introduction, les notations de la mécanique standard de l’équilibre d’une plaque ont été introduites et peuvent se résumer à ces deux équations, si on ne s’intéresse qu’à l’équilibre dans le plan de la plaque (ici (~ex, ~ey)) et que les contraintes dans la plaque sont supposées homogènes selon~e_z :

0 =∂σxx

Avecσ_ij la contrainte orientée vers~e_j et appliquée sur une surface dont la normale est por-tée par~ei. Dans le cadre de l’élasticité linéaire, une relation linéaire relie les trois compo-santes de la contrainte aux déformations associées,εx,εy etεxy. Avec les notations utilisées pour notre tricot, c’est-à-dire les champs de déplacement a₀ et b₀, ces déformations ont pour expression :ε_x= ^∂a_∂x⁰ =a_0,x,ε_y = ^∂b_∂y⁰ =b_0,yetε_xy = ¹₂^∂a_∂y⁰ + ^∂b_∂x⁰= ¹₂(a_0,y+b_0,x).

La relation contrainte-déformation, caractérisée par la matrice symétriqueC, prend donc la forme générale suivante :

Avec ˜C un coefficient constant positif de la même dimension que C. On peut donc écrire les équations d’équilibre en fonction de a et b et vérifier si il existe une matrice C qui

~

~

~

~

~

~

~

~

-100 0

100 -50 0 50

x (mm) y (mm) -100 0

100 -50 0 50

x (mm) y (mm)

-100 0

100 -50 0 50

x (mm) y (mm)

-100 0

100 -50 0 50

x (mm) y (mm)

a1(mm) 0

100 -100

b1(mm) 0

100 -100

b1(mm) 0

100 -100

a1(mm) 0

200 -200

a) b)

c) d)

FigureII.18 – a) Illustration de la solution a1 pour quatre valeurs de ˜α1 avec ˜α0 gardée à 1.5, les autres paramètres prenant les valeurs mesurées :c^∗ = 3.93 mm,w^∗ = 2.08 mm et δ= 0.86, ainsi que la taille de l’état initialc₀= 4.45 mm etw₀ = 2.45 mm. b) Idem pour b1. c) Illustration de la solutiona1pour quatre valeurs de ˜α0 avec ˜α1gardée à 9, les autres paramètres prenant les valeurs mesurées : c^∗= 3.93 mm, w^∗= 2.08 mm et δ = 0.86, ainsi que la taille de l’état initialc₀= 4.45 mm etw₀ = 2.45 mm. Notez le changement d’échelle pour l’axe dea1. d) Idem pourb1.

II.7 Cas de notre expérience modèle 69 permet de décrire nos équations trouvées précédemment poura0 etb0 :

0 =C₁₁a_0,xx+C₃₃ et C12 =−χ. On peut donc en déduire la matrice élasticité du tricot correspondante, à une constante multiplicative près :

Les paramètres χ et ν sont forcément positifs. Si on calcule la réponse du tricot à une contrainte dans la directiony comme imposé dans l’expérience, c’est-à-dire avecσ_xx = 0, σ_yy=σ etσ_xy = 0, et des déformations globales, on obtient les équations suivantes :

a_0,x=νχb_0,y (II.63)

σ= (νb0,y−χa0,x) (II.64)

4χ=a0,y+b0,x (II.65)

On peut notamment remarquer que sib_0,y>0, ce qui correspond à un allongement dans la direction y, alors on a aussia0,x>0, ce qui correspond à un allongement aussi positif mais dans la direction x (coefficient de Poisson négatif). Or dans notre expérience on a clairementb_0,y>0 eta_0,x<0 (coefficient de Poisson positif). De par cette incohérence, on peut donc en conclure que la mécanique standard d’élasticité des plaques et ses équations d’équilibre ne permettent pas de retrouver les équations de déformation du tricot prédites par notre modèle.