II.4 Énergie et contraintes
II.4.2 Conserver la longueur de fil
Maintenant que l’énergie du système est estimée, on se tourne vers les contraintes qui s’appliquent sur les variables ~c etw. La première résulte directement de l’estimation de~ l’énergie. Puisque nous supposons que le fil ne se déforme pas par extension, sa longueur totale Λ dans le tricot doit rester constante, peu importe la déformation imposée au tricot dans son ensemble. Or on a vu que la longueur de fil était fortement liée à ~c et w, cette~ contrainte aura donc une répercussion directe sur nos variables.
a) Exprimer la contrainte
Avec`la longueur de fil dans une maille, la somme de`sur tout le tricot doit être une constante du problème qui ne dépend pas de ε. Localement, ` peut varier d’une maille à une autre ou avec la déformation, c’est donc une fonction de (x, y, ε), par contre sa somme sur toutes les mailles est une constante du problème et ne dépend donc plus de la déformation ε. C’est par conséquent une contrainte globale. L’enjeu est par conséquent d’exprimer ` en fonction de~c etw. Ici aussi on va privilégier des relations géométriques~ approchées et non une approche analytique [95]. Comme pour l’évaluation de l’énergie de flexion, on peut distinguer les parties du fil le long de la colonne `w et du rang`c, de sorte que `=`c+`w. La même hypothèse de proportionnalité est faite entre la dimension de la maille et la longueur de fil dans la direction correspondante, `c∝c et `w ∝w. On obtient donc l’expression suivante ˜`=c+δw, avec ˜`une grandeur proportionnelle à `et δ traduisant le rapport des coefficients de proportionnalité. La contrainte revient donc à s’assurer que la somme de ˜`=c+δw sur toutes les mailles, ou de manière équivalente sa valeur moyenneh`i˜ (hiindiquant la moyenne sur toutes les mailles du tricot) soit invariant
a)
b)
colonnes
rangs Déformation, ε (%)
Dimensiondesmailles (mm)
0
-5 5 10 15
2 2.5 3 3.5 4
δ (j,i) 0 0.4 0.8 1.2
Figure II.12 – a) Taille moyenne des mailles mesurées expérimentalement pour les 5 cycles de traction. Pour ε > 0, c’est à dire la gamme de déformation où l’élasticité est prépondérante,hciethwivarient tous les deux linéairement, le premier étant décroissant, le second croissant. Cela permet de définir un coefficientδ = 0.86 tel que hci+δhwi soit constant pourε >0. b) Ce même procédé est effectué localement sur chaque maille pour mesurer localementδ(j, i). Chaque pixel de l’image correspond à une maille et sa couleur à sa valeur deδ. Une grande majorité de mailles garde une valeur deδ proche de la valeur moyenne, mais il y a toutefois des différences significatives près des mors et des bords.
lors de la déformation du tricot. Dans un premier temps, comme c etw sont accessibles expérimentalement, on s’aperçoit qu’il existe un δ moyen (fig. II.12.a) qui permet de conserverh`i˜ tout au long de l’élongation. On mesure en effet que pourε >0,hcidécroît linéairement et hwi croît linéairement. Il existe donc un coefficient δ tel que hci+δhwi soit effectivement constant, on mesure iciδ = 0.86. La contrainte globale va alors s’écrire (en notation variables continues) :
`∗ = Z Z
x,y
dxdy
L∗cL∗w(c+δw) (II.27)
Avec`∗=hci+δhwimesuré expérimentalement,`∗ = 5.86 mm. Il est toutefois possible de mesurer expérimentalement un δ pour chaque maille en comparant localement le taux de variations de ses dimensions, qui croissent aussi linéairement (fig. II.12.b). On remarque alors que δ n’est pas uniforme et varie d’une valeur proche de 0 près des mors (où c est maintenu constant) à environ 1.5 dans les zones les plus déformées. Toutefois, la plus grande partie du tricot garde une valeur proche de la valeur moyenne 0.86. La conservation du fil étant globale, notre approche de considérer un δ moyen est justifiée et vérifiée expérimentalement. Il serait en revanche faux d’imposer leδ moyen localement à chaque maille car redistribue son fil différemment (fig. II.12.b).
Par ailleurs, on peut faire le lien entre ce coefficient de répartition du fil δ et les travaux précédents portant sur les dimensions des mailles à l’équilibre [69]. En effet, ces travaux aussi visaient à relier les dimensions d’une maille à la longueur de fil dans celle-ci.
Ils étaient arrivés à cette formule (réécrite avec mes notations) :`= 12(cK3+wK2), qui permet d’identifier mon paramètre δ en fonction des constantes K2 et K3. On trouve
II.4 Énergie et contraintes 55 finalement δ = KK2
3 ≈ 1.3 avec leurs valeurs numériques, ce qui est significativement différent de notre valeur. Cependant les procédures de mesure sont aussi très différentes, notre évaluation deδ si fait dans le régime où l’élasticité du fil est dominante alors que les valeurs de K2 et K3 reportées proviennent de tricots aussi proches que possible de leur état de minimum d’énergie, loin du régime étudié dans cette thèse.
b) Déduction de la taille du tricot de référence
Cette contrainte permet aussi de donner une estimation expérimentale de la taille du tricot de référence, c∗ et w∗, et de vérifier l’approximation de la description continue.
En effet, la contrainte doit être valable pour n’importe quelle déformation, notamment entre le tricot de référence et notre expérience, ce qui se traduit par la relation suivante :
`∗ =c∗+δw∗. On a vu précédemment lors de la définition de la cinématique que~cet w~ peuvent être évalués de deux façons différentes. Soit à partir directement des champs de positions, comme fait précédemment pour déterminerδ, soit à partir des dérivées spatiales des champs de déplacementsaetb, mais cela nécessite de connaîtrec∗ etw∗. La première façon a permis de mesurer `∗ = 5.86 mm, la deuxième va permettre de mesurer c∗ et w∗ et donc c∗ +δw∗ . Pour cela on exprime la contrainte en fonction des champs de déplacements dans leurs versions linéarisées avec ε, a = a0+εa1 et b = b0 +εb1. Pour rappel, on a~c=c∗((1 +a,x)~ex+b,x~ey) etw~ =w∗(a,y~ex+ (1 +b,y)~ey), les notations, xet, y expriment les dérivées spatiales suivant la direction correspondante. On va faire en outre l’hypothèse que ces champs varient lentement dans l’espace : a,x, a,y 1 et b,x, b,y 1.
Cette hypothèse est équivalente à rester dans un régime de faibles déformations et se traduit par (a0,x, a0,y, b0,x, b0,y) 1 et ε 1. L’expression de la contrainte est donc développée au premier ordre en ces termes.
c∗+δw∗ =hci+δhwi (II.28)
= Z Z
x,y
dxdy
L∗cL∗w( c∗(1 +a0,x) +δw∗(1 +b0,y)
+ε c∗a1,x+δw∗b1,y+c∗b1,xb0,x+δw∗a1,ya0,y
) (II.29)
=`0+ε`1 (II.30)
La contrainte peut alors se résumer aux deux équations suivantes :`0 =c∗+δw∗ et`1 = 0.
Les deux inconnues de ces deux équations sont c∗ et w∗, le reste des termes pouvant être mesurés expérimentalement. Une expression approchée est utilisée pour calculer les dérivées spatiales à partir du champs de position, par exemplea0,x= ux0(j+1,i)−uc∗ x0(j,i)−1,
avec ~u0 =ux0~ex+uy0~ey et~u1=ux1~ex+uy1~ey. Les équations deviennent donc :
`0 =c∗+δw∗ ⇐⇒ 1 NcNw
X
i,j
[ux0(j+ 1, i)−ux0(j, i) +δ(uy0(j, i+ 1)−uy0(j, i))]
=c∗+δw∗ (II.31)
`1 = 0 ⇐⇒ X
i,j
[ux1(j+ 1, i)−ux1(j, i) +δ(uy1(j, i+ 1)−uy1(j, i))]
=−X
i,j
"
(uy1(j+ 1, i)−uy1(j, i))uy0(j+ 1, i)−uy0(j, i) c∗
+δ(ux1(j, i+ 1)−ux1(j, i))ux0(j, i+ 1)−ux0(j, i) w∗
(II.32) La solution à ce système de deux équations à deux inconnues estc∗ = 3.93 mm etw∗ = 2.08 mm. Ainsi, la contrainte de conservation de la longueur de fil permet de connaître la taille de notre tricot de référence, soit L∗c = 200.4 mm et L∗w = 106.1 mm. On peut comparer cette taille à la taille initiale du tricot, L0c = 227 mm imposé par les mors et L0w = 125 mm qui marque le passage à l’élasticité dominante. La déformation effective qui permet de passer au tricot de référence à l’état initial est donc une extension de 27 mm des rangs et de 19 mm des colonnes. En comparant `∗ = 5.86 mm etc∗+δw∗ = 5.70 mm, on remarque que la différence entre les deux estimations est inférieure à 3%. Les hypothèses de milieu continus et de petites déformations sont donc a posteriori justifiées. La mesure expérimentale (donc discrète) de aet bnécessite la connaissance du réseau de référence.
Maintenant que ce dernier est connu, on peut produire une mesure expérimentale dea0, b0 (fig.II.13.a), a1 etb1 (fig. II.13.b).