II.7 Cas de notre expérience modèle
II.7.3 Comparaison avec les expériences
Dorénavant, on est capable de calculer toutes les quantités prédites par notre modèle, il faut à présent comparer les résultats aux mesures expérimentales.
II.7 Cas de notre expérience modèle 73
a) b) σ ~ yy
x (mm)
y(mm)
0
-100 100
-50 0 50
x (mm)
y(mm)
0
-100 100
-50 0 50
x (mm)
y(mm)
0
-100 100
-50 0 50
-0.3 -0.2 -0.1
σ ~ xx
0.2 0.22 0.24 0.26
σ ~ xy
-0.1 0 0.1
c)
Figure II.20 – a) Tension latérale normalisée ˜σxx. b) Tension longitudinale normalisée σ˜yy. c) Tension de cisaillement normalisée ˜σxy. Toutes ces tensions ont été évaluées pour ε= 10%, varier εchange seulement leurs valeurs numérique et non leur répartition spa-tiale.
a) La forme
La prédiction de la forme du tricot est donnée par~c etw, qui sont prédits sans para-~ mètres ajustables car ils ont tous été mesurés. Le tableau suivant récapitule les différents paramètres, leur valeur pour notre tricot modèle, et leurs relations entre eux.
FigureII.21 montre la comparaison entre les champs de déplacement mesurés expéri-mentalement et ceux prédits par la théorie, représentés comme des surfaces paramétrées par (x, y). Les déplacements mesurés ne couvrent pas entièrement le tricot car un certain nombre de mailles restent cachées par le roulottement sur les bords latéraux et par les mors sur les bords longitudinaux. La correspondance entre les champs mesurés et prédits est très satisfaisante, les surfaces prédites épousent en grande partie les points expéri-mentaux. Le modèle rend très bien compte des courbures des surfaces représentant le déplacement, même si l’amplitude prédite a tendance à être sous-estimée.
On peut représenter ce résultat de différentes façon, notamment en superposant à
Paramètre Signification Expression Valeur c∗ taille latérale des mailles dans la
configuration de référence / 3.93 mm
w∗ taille longitudinale des mailles dans la
configuration de référence / 2.08 mm
c0
distance latérale imposée entre chaque mailles par les mors aux rangs supérieurs et
inférieurs
/ 4.45 mm
w0 taille longitudinale moyenne des mailles
dans l’état initialε= 0 / 2.45 mm
δ coefficient d’asymétrie de la répartition du
fil entre rangs et colonnes / 0.86
β coefficient d’asymétrie de l’énergie de flexion
du fil entre rangs et colonnes δwc∗∗
2
0.24
α˜0
multiplicateur de Lagrange associé à la conservation de la longueur de fil entre
l’état de référence et l’état initial
/ 1.32
α˜1
multiplicateur de Lagrange associé à la conservation de la longueur de fil pendant la
déformation du tricot
/ 9.04
ν coefficient de Poisson apparent de
l’ensemble du tricot δwc∗∗ 0.46
χ déformation latérale à l’état initial des mailles des colonnes extérieures
˜ α0−1
2 0.16
Table II.1 – Récapitulation des différents paramètres intervenant dans notre modèle mécanique du tricot, avec leur signification, éventuelles expression en fonction des autres paramètres et valeur numérique.
l’image du tricot la forme prédite reconstruite à partir de a(x, y) et b(x, y) pour une élongation donnée (fig. II.22.a). On peut aussi comparer ligne par ligne ou colonne par colonne la prédiction et les mesures à élongation donnée (fig.II.22.b-f).
Au final, notre modèle, malgré toutes les hypothèses et approximations effectuées, parvient à donner une prédiction convaincante du champ de déformation/déplacement à l’échelle locale d’un tricot.
b) La force
Après la forme, on compare la réponse mécanique prédite et celle mesurée. Avec le modèle, la réponse mécanique peut être retrouvée par deux méthodes différentes.
La première méthode repose sur l’évaluation de l’énergie du tricot à partir de sa
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b)
-75 0
75 -50 0 50
x (mm) y (mm)
-75 0
75 -50 0 50
x (mm) y (mm)
-75 0
75 -50 0 50
x (mm) y (mm)
-75 0
75 -50 0 50
x (mm) y (mm)
0 -15 15
b0(mm) 0
-15 15
a0(mm)
0
-150 150
a1(mm) 75
-75
0
-150 150
b1(mm) 75
-75
a)
c) d)
Figure II.21 – Comparaison entre les champs de déplacement mesurés et prédits. Un point représente la valeur du champ mesuré pour une maille, les prédiction sont repré-sentées par des surfaces continues. a) Déplacement latéral initial a0. b) Déplacement longitudinal initialb0. c) Déplacement latéral pendant la déformationa1. d) Déplacement longitudinal pendant la déformationb1.
forme. En calculant les variations de cette énergie avecεon peut alors remonter à la force nécessaire pour effectuer cette déformation, que l’on va noterFE. Cette méthode permet de donner une estimation absolue de la force puisque le minimum d’énergie est connu et atteint lorsque le tricot est dans son état de référence. Cette force peut présenter des non linéarités car l’expression de l’énergie n’est pas linéaire avec ε.
La deuxième méthode revient à calculer directement T, ou au moins son intégrale FT =w∗RxT(x) dx. Cette méthode permet d’obtenir directement la force recherchéeFT, mais celle-ci est définie à une constante près. Les calculs qui permettent de retrouverFT
sont linéarisés, donc cette force est linéaire avec ε. Pour calculer FT, on s’appuie sur le calcul deT~tot présenté précédemment car on aT~tot(x=±L2∗c, y) =±F2T~ey.
Dans les deux cas il reste un paramètre inconnu, ˜Y, qui vient fixer une échelle d’énergie au système. Les deux méthodes doivent produire le même résultat, au moins proche de ε= 0.
La force mesurée, que l’on noteFexp, est aussi mesurée à une référence près car elle est
1 % 9 % 17 %
a)
y
z x
ε
y (mm)
-50 0 50
a(x,y),colonnes(mm)
-20 -10 0 10 20
x (mm)
-100 -50 0 50 100
a(x,y),rangs(mm)
20 60 100 140
y (mm)
-50 0 50
b(x,y),colonnes(mm)
-20 0 20 40 60
x (mm)
-100 -50 0 50 100
b(x,y),rangs(mm)
-20 -10 0 10 20
c) d)
e) f)
b)
FigureII.22 – a) Série de photographies du tricot pour trois élongations différentes. Une sélection de rangs (rouge) et de colonnes (bleu) sont colorés et la prédiction de leur forme est indiquées par une ligne noire. La prédiction pour les rangs et colonnes extrémaux, non mesurables, est aussi indiquée. b) Image d’un tricot à ε = 11%. Les lignes et colonnes indiquées sont celles dont la projection est explicitée à droite. c-f) Projection suivant les lignes et colonnes des champs de déplacement expérimentaux a(x, y) (•) etb(x, y) (•) et de leurs prédictions (lignes), chaque point représentant une maille. c) et d) : variations de aetb selony pour xfixé à différentes valeurs. e) et f) : variations de aetb selonxpour y fixé à différentes valeurs. Dans un souci de visibilité, les courbes sont artificiellement décalées de 10 mm pour d) et de 25 mm pour e).
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Déformation, ε (%)
Force(N)
-5 0 5 10 15
1 2 3 4
Figure II.23 – Comparaison entre la réponse force-déformation mesurée (rouge) et pré-dite. La réponse mesurée est moyennée sur les 5 cycles et la zone grisée autour représente 2 fois l’écart type des valeurs moyennées. La prédiction est représentée pour la traction ↑ et la compression↓, et pour les deux méthodes, à partir de l’énergie (- -et·−) et à partir du multiplicateur de Lagrange associé au travail de la force ((- -et (· -)).
arbitrairement définie égale à 0 en début d’expérience. Pour effectuer la comparaison entre Fexp,FT etFE, il faut donc déterminer une force de référence pour Fexp etFT, ainsi que le paramètre ˜Y pourFT etFE. On procède alors dans l’ordre suivant : on commence par ajuster la référence associée àFexp de telle sorte qu’elle coïncide avecFE enε= 0. Ensuite, Y˜ est ajusté pour faire coïncider les pentes de Fexp etFE autour deε= 0. Finalement, la référence deFT est modifiée pour queFT coïncide avecFE (etFexp) enε= 0 (fig.II.23).
Cette procédure est effectuée pour la courbe de traction et de compression, ce qui nous permet de mesurer ˜Y↑ ≈1.5×10−2J.m−1 et ˜Y↓≈1.5×10−3J.m−1 respectivement.
Notre prédiction arrive à bien rendre compte de la mesure expérimentale de force jusqu’à un peu plus de 5% de déformation. Au-delà, la force devient fortement non-linéaire et croit rapidement. La prédiction linéaire de FT ne parvient évidemment pas à capturer cette non linéarité, alors que celle de FE parvient à suivre un peu plus l’expérience mais sa croissance est bien en deçà et finit par s’écarter fortement vers ε= 8%.