II.4 Énergie et contraintes
II.4.3 Conserver la topologie
(II.32) La solution à ce système de deux équations à deux inconnues estc∗ = 3.93 mm etw∗ = 2.08 mm. Ainsi, la contrainte de conservation de la longueur de fil permet de connaître la taille de notre tricot de référence, soit L∗c = 200.4 mm et L∗w = 106.1 mm. On peut comparer cette taille à la taille initiale du tricot, L0c = 227 mm imposé par les mors et L0w = 125 mm qui marque le passage à l’élasticité dominante. La déformation effective qui permet de passer au tricot de référence à l’état initial est donc une extension de 27 mm des rangs et de 19 mm des colonnes. En comparant `∗ = 5.86 mm etc∗+δw∗ = 5.70 mm, on remarque que la différence entre les deux estimations est inférieure à 3%. Les hypothèses de milieu continus et de petites déformations sont donc a posteriori justifiées. La mesure expérimentale (donc discrète) de aet bnécessite la connaissance du réseau de référence.
Maintenant que ce dernier est connu, on peut produire une mesure expérimentale dea0, b0 (fig.II.13.a), a1 etb1 (fig. II.13.b).
II.4.3 Conserver la topologie
La seconde contrainte concerne la topologie imposée au fil, c’est-à-dire son motif d’en-chevêtrement. En effet, le fil ne pouvant passer à travers lui-même, les croisements du fil ne peuvent pas s’inverser ou disparaître, la topologie du fil est donc conservée pendant la déformation.
a) Topologie et tricot
La topologie d’un tricot, ou même d’un textile en règle générale, est à approcher de la théorie des nœuds en mathématiques [114]. Cette branche des mathématiques s’intéresse aux propriétés d’un objet uni-dimensionnel fermé qui ne dépendent pas de sa métrique.
Cela revient à étudier un fil dont les extrémités sont jointes, qui n’a aucune résistance à la déformation mais qui ne peut pas passer à travers lui-même. Ainsi, ce fil va être entièrement caractérisé par les entrelacs qu’il présente avec lui-même ou d’autres fils, d’où la dénomination de nœuds. Une des questions fondamentales est de déterminer si deux nœuds présentant un ensemble de croisements différents sont au final équivalents ou non (fig. II.14.a). En effet, des croisements peuvent être supprimés sans avoir à passer le fil à travers lui-même et donc sans modifier la nature du nœud. Deux nœuds équivalents sont appelés isotopies (fig.II.14.b), conserver la topologie d’un nœud revient donc à rester dans la même classe d’isotopie. Déterminer si deux nœuds sont équivalents peut se révéler
II.4 Énergie et contraintes 57
a 1 b 1 a 0 b 0
-15 0 15
a0,b0(mm)
-50 0
50 0 50
-50
x (mm) y (mm)
0 -50 50 100
a1,b1(mm)
-50 0 50 -50 0 50
x (mm) y (mm)
-100
b) a)
Figure II.13 – a) Mesure expérimentale de a0(x, y) et b0(x, y), chaque maille est repré-sentée par un point et sa position en (x, y) est celle dans le tricot de référence. b) Mesure expérimentale de a1(x, y) et b1(x, y), chaque maille est représentée par un point et sa position en (x, y) est celle dans le tricot de référence. L’unité de a1 et b1 est exprimée en mm/ε car ils correspondent aux coefficients de la droite a(ε) et b(ε) avec ε en unité standard (pas %).
a) b)
FigureII.14 – a) Classification des nœuds à 3, 4, 5 et 6 croisements. Chacun des exemples appartient à une classe d’isotopie propre, on ne peut passer d’un nœud à l’autre sans couper le fil. b) Illustration de mouvements du fil qui permettent de diminuer le nombre de croisements sans le couper, ainsi chaque nœud à chaque étape appartiennent à la même classe d’isotopie 41. Schémas extraits de [113].
être très ardu, pour faciliter et automatiser cette tâche, une famille de fonctions, dites invariants topologiques, a été développée. Ces fonctions associent à un nœud un certain polynôme par exemple, de telle sorte que deux nœuds appartenant à la même classe d’isotopie engendrent le même polynôme. Toutefois, même si ces méthodes fonctionnent dans une majorité des cas, aucune des fonctions introduites pour l’instant n’est sans failles, elles échouent toujours au moins sur quelques cas particuliers.
Avec l’objet qui nous intéresse, le tricot, la structure du nœud que l’on obtient en joignant les deux extrémités du fil est très complexe. Par exemple, pour le tricot de notre expérience, on peut compter plus de 5000 croisements, rendant l’utilisation d’invariants topologiques très délicats. Néanmoins, le motif de croisements du tricot possède une pé-riodicité suivant les rangs et les colonnes. Ce cas particulier de nœuds qui se répète dans deux directions, décrivant une grande partie des textiles, a été étudié par Sergei Grishanov et ses collègues dans une série d’articles [115, 116]. Une autre série d’articles à destina-tion de la communauté de recherche en textile constitue une excellente introducdestina-tion à la théorie des nœuds et son application aux motifs textiles [113,117]. Cependant, traduire les invariants topologiques potentiels pour imposer une conservation de la topologie avec nos variables~c etw~ s’est avéré difficile, notamment parce que nos variables représentent essentiellement la métrique du fil.
b) La topologie du réseau
Pour prendre en compte cette contrainte, la topologie du fil ne va pas être considérée directement. Ce sont plutôt les conséquences de sa conservation qui vont être mises à profit. Le fait que le motif de croisements soit préservé tout au long de la déformation entraîne qu’une maille garde en toutes circonstances les mêmes voisines, ni ne pourra disparaître ou apparaître. La conservation de la topologie du fil se transfère alors à la conservation de la topologie du réseau, c’est-à-dire à l’agencement des voisinages des nœuds du réseau. Or,~c etw~ étant des variables directement liées au réseau, exprimer la conservation de la topologie devient beaucoup plus commode. Une manière d’écrire cette contraindre est de remarquer que, si une maille garde toujours les mêmes voisines, il existe plusieurs chemins équivalents pour en atteindre une en particulier. Par exemple, pour une maille en position (j, i), atteindre sa voisine (j+ 1, i+ 1) par ses plus proches voisines peut se faire via deux chemins, un passant par (j, i+ 1), l’autre par (i, j+ 1) (fig. II.15).
On obtient ainsi l’égalité suivante pour les vecteurs reliant ces mailles :
~c(j, i) +w(j~ + 1, i) =w(j, i) +~ ~c(j, i+ 1) (II.33) Si cette contrainte reste vraie pour toutes les mailles (∀(j, i)), alors la topologie du réseau de mailles est conservée. Il s’agit donc d’une contrainte qui doit s’appliquer localement sur toutes les mailles.
En notation continue, cette équation peut être réécrite avec les dérivées spatiales de~c etw.~
1 w∗
∂ ~w
∂x − 1 c∗
∂~c
∂y = 0 ∀(x, y) (II.34) La forme de cette équation suggère que l’on peut introduire une nouvelle variable,X,~ de telle sorte que ~c= c∗∂ ~∂xX et w~ =w∗∂ ~∂yX. En utilisant cette variable au lieu de~c et w,~
II.4 Énergie et contraintes 59
c(j,i+1)
w(j+1,i)
c(j,i) w(j,i)
Figure II.15 – Schéma du réseau de mailles avec les deux trajectoires permettant à la maille (j, i) d’atteindre sa voisine (j+ 1, i+ 1) uniquement en passant par ses plus proches voisines.
l’équation est automatiquement vérifiée. Par intégration, on trouve l’expression suivante pour X~ avec X(0,~ 0) =~0.
X(x, y) =~ Z x
0
~c(x0,0) c∗ dx0+
Z y 0
~ w(x, y0)
w∗ dy0 (II.35)
= Z y
0
~ w(0, y0)
w∗ dy0+ Z x
0
~c(x0, y)
c∗ dx0 (II.36)
On s’aperçoit alors que cette variableX~ est exactement identique au champ de position~u.
En effet, les formules précédentes montrent que le vecteurX(x, y) correspond à la somme~ des~csuivant le rang central jusqu’à ce que la bonne colonne soit atteinte, puis à la somme des w~ de cette colonne pour atteindre le bon rang. La deuxième formule est équivalente, en sommant d’abord selon la colonne centrale puis sur le bon rang. Ce vecteur correspond donc simplement à la position de la maille (x, y). Cela signifie que la contrainte topologique est automatiquement vérifiée en utilisant comme variable le champ de position ~u, ou de manière équivalente les champs de déplacementsaetb, et non les dimensions des mailles
~c et w. Cependant, on gardera toutefois l’expression du Lagrangien avec~ ~c et w~ car le multiplicateur de Lagrange qui sera associé à cette contrainte permettra d’apporter plus d’informations sur le système et les équations sont plus commodes à dériver.
Maintenant que l’on a réussi à exprimer l’énergie et les contraintes du système en fonc-tion de nos variables cinématiques~cetw, on peut s’atteler à la résolution du Lagrangien~ et de la mécanique.