Présence d’une seconde décroissance en loi de puissance

A l’aide des données acquises à T = 194K et à l’équilibre à T < Tg, nous avons

cherché à mettre en évidence la présence d’une seconde décroissance en loi de puisance

pour des fréquences grandes devant fα.

Prédictions théoriques concernant le régime β Comme nous l’avons vu dans la

section 3.2.2, Tarzia et al prédisent que dans le régime β i.e. lorsque ω ≈ 1/τβ, χ3,3(ω) décroît en suivant une loi de puissance en (ωτβ)−b à ω petit puis en (ωτβ)−a à ω grand. De plus χ3,3(ω) devrait pouvoir s’écrire sous la forme χ3,3(ω) = (1/√ǫ)F(ωτβ) où F est

une fonction d’échelle et ǫ = T − TM CT. Remarquons que dans le cadre de la théorie

de couplage de modes, à T > TM CT, les exposants a et b sont indépendants de la

température et reliés par l’équation 1.18.

D’après les simulations numériques menées par Chong et al [151], a = 0.312 et b = 0.583. Ces valeurs sont proches de celles déterminées par Lunkenheimer et al [23] à partir de l’étude de la partie imaginaire de la susceptibilité diélectrique linéaire à

T > TM CT (confère section 1.4.3.2). En effet, ils obtiennent : a = 0.325 et b = 0.63. A

T = 194K, nous avons mesuré b = 0.59 ± 0.02, on s’attendrait donc à ce que a vaille 0.32 ± 0.02.

Limitations expérimentales et motivations Notre méthode de spectroscopie di- électrique nous permet d’étudier la gamme de fréquence incluse entre 10mHz et 200kHz. Or, d’après les mesures réalisées par Lunkenheimer et al [7], le régime β correspond à

un domaine de fréquence compris entre 108 _{et 10}11_{Hz pour T ∈ [179, 230K] (confère}

1.2.1.2). De ce fait, nous n’avons pas pu mesurer χ3,3(ω, T ) à des fréquences de l’ordre

de 1/τβ. Nous ne pouvons donc pas rechercher une courbe maîtresse en ωτβ ni espérer

mesurer la valeur de l’exposant a. Par contre, nous pouvons comparer les dépendances en fréquences de χ3,3(ω) et ˆχT(2ω) pour des fréquences grandes devant fα puisque selon Tarzia et al elles doivent être identiques.

Rappelons aussi que dans la gamme de température étudiée la décroissance de ǫ′′(ω)

entre fα et fβ ne suit pas une loi en ω−b comme le prédit la théorie de couplage de modes

mais est caractérisée par au moins deux lois de puissance consécutives (voir figure 1.9). Ces dernières proviennent de l’apparition d’une aile β sur le spectre de ǫ′′(ω) à T < TM CT. De ce fait, nous avons voulu vérifier si la décroissance de χ3,3(ω, T ) était caractérisée par une seule loi de puissance dans tout le régime α.

Observation d’une diminution de la valeur de l’exposant Les données de X3,3(ω) acquises à T = 194K sont représentées sur le graphe de gauche de la figure 3.13. Pour

f /fα compris entre 1 et 800, |X3,3(ω)| décroît en suivant une loi de puissance caracté-

risée par l’exposant −b = −0.59 ± 0.02. Autour de f/fα = 100, la phase de X3,3(ω)

est constante et vaut −53 ± 6°. Pour f/fα > 800, des écarts à la loi de puissance en

(ωτα)−b sont visibles. Ce résultat est en désaccord avec la prédiction théorique de Tarzia et al puisqu’elle prévoit une seule loi de puissance dans le régime α. Pour f /fα > 1000, |X3,3(ω)| décroît en suivant une loi de puissance en (ωτα)−0.50. Comme attendu, cette va- leur n’est pas en accord avec la valeur de a calculée dans le cadre de la théorie de couplage de modes. La diminution de la valeur de l’exposant se traduit par une augmentation de la valeur de la phase. Ainsi à f /fα ∼ 104, cette dernière vaut −42 ± 6°.

Les données mesurées à l’équilibre dans la phase vitreuse à T = 180.17K et T = 182.66K sont représentées sur la figure 3.14. A titre comparatif, les mesures réalisées à T = 194K sont aussi portées. Pour T = 182.66K, la valeur de l’exposant b peut être mesurée. Elle vaut 0.55 ± 0.04. Cette valeur s’inscrit correctement dans la dépendance en température de b(T ) représentée sur la figure 3.12. De plus, nous observons sur les

mesures réalisées à T < Tg une diminution de l’exposant lorsque la fréquence augmente.

Tout comme à T > Tg, cette diminution de l’exposant s’accompagne par une augmen-

tation des valeurs des phases. Pour f /fα ∼ 105, l’exposant est de l’ordre de 0.36 ± 0.03

à T = 182.66K. Notons que les courbes acquises à T < Tg ne contiennent pas assez

de points pour que nous puissions déterminer si au-delà de f /fα = 104 la valeur de

l’exposant varie continument avec la fréquence.

Comparaison à la dépendance en fréquence de | ˆXT(2ω)| La figure 3.13 permet de

comparer les dépendances en fréquences de χ3,3(ω, T ) et de | ˆXT(2ω)| pour des fréquences

grandes devant fα. La dépendance en fréquence de | ˆXT(2ω)| à T = 196.6K publiée

dans [115] est représentée sur le graphe de droite de la figure 3.13. Pour f /fα compris

entre 1 et 50, | ˆXT(2ω)| décroît en suivant une loi de puissance caractérisée par l’exposant

−b′ _{= −0.69 ± 0.02. Ensuite, la valeur de l’exposant change et diminue progressivement.}

Pour f /fα > 104, l’exposant vaut 0.23 ± 0.02. Nous en concluons que pour f/fα > 50, contrairement aux prédictions théoriques de Tarzia et al, |X3,3(ω)| et | ˆXT(2ω)| n’ont pas la même dépendance en fréquence. La diminution de l’exposant est plus marquée sur

| ˆXT(2ω)| à T = 196.6K que sur |X3,3(ω)| à T = 194K. En effet, elle débute deux décades

après le maximum de | ˆXT(2ω)| et trois décades et demi après celui de |X3,3(ω)|. Notons

que celà ne peut pas être expliqué par le fait, qu’entre 196.6K et 194K, τα augmente

d’un facteur 3.2.

Conclusion Bien que nous n’ayons pas pu mesurer χ3,3(ω, T ) dans le régime β, nous

avons observer une diminution de la valeur de l’exposant décrivant la décroissance de χ3,3(ω, T ) pour des fréquences de l’ordre de 103fα. A une température donnée, χ3,3(ω, T ) décroît de plus en plus lentement à mesure que la fréquence augmente. A un rapport

f /fα donné, la valeur de l’exposant dépend finement de la température. C’est pourquoi

les mesures à 180.17K et 182.66K ne sont pas superposables à celles acquises à 194K.

Par contre, une courbe maîtresse en f /fα peut être obtenue pour les mesures acquises à

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 1E-3 0.01 0.1 1 | X T ( ) | / m a x ( | X T ( 2 ) | ) |X T (2 )| T=196.6K f / f | X 3 , 3 ( ) | / m a x ( | X 3 , 3 ( ) | ) -90 0 90 180 270 P h a s e d e X 3 , 3 ( ) ( d e g . ) 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 1E-3 0.01 0.1 1 f / f |X 3,3 ( )| T=194.0K phase de X 3,3 ( ) T=194.0K

Figure_{3.13 – Présence d’une seconde décroissance en loi de puissance sur X3,3(ω, T ).} Comparaison avec ˆXT(2ω). Sur le graphe de gauche, pour T = 194K, sont représentés le module et la phase de |X3,3(ω)| normalisé à 1 en son maximum. |X3,3(ω)| symbolisé par des carrés verts est porté sur l’axe de gauche. La phase de X3,3(ω) représentée par des triangles bleus est portée sur l’axe de droite. La ligne en pointillés rouges représente la première décroissance en loi de puissance caractérisée par l’exposant −b = −0.59 ± 0.02. Sur le graphe de droite, pour T = 196.6K, | ˆXT(2ω)| normalisé à 1 en son maximum est représenté par la ligne continue violette. Ces données proviennent de [115]. La ligne en pointillés oranges souligne la première décroissance en loi de puissance caractérisée par l’exposant −b′= −0.69 ± 0.02. Le changement de pente est plus aisément visible sur | ˆXT(2ω)| que sur |X3,3(ω)|. En effet, le changement de pente débute deux décades après le maximum de | ˆXT(2ω)| et trois décades et demi après celui de |X3,3(ω)|. Ce changement de pente se traduit par une modification de la valeur asymptotique de la phase de X3,3(ω).

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 |X 3,3 ( )| T=194.0K |X 3,3 ( )| T=182.66K |X 3,3 ( )| T=180.17K phase de X 3,3 ( ) T=194.0K phase de X 3,3 ( ) T=182.66K phase de X 3,3 ( ) T=180.17K f / f | X 3 , 3 ( , T ) | -90 0 90 180 270 p h a se d e X 3 , 3 ( T )

Figure_{3.14 – Dépendance en fréquence de X3,3(ω) à T = 194K. Comparaison avec les} données acquises à T < Tg sur système équilibré. Les mesures réalisées à T = 194K sont représentées par des carrés verts. Celles à T = 182.66K sont symbolisées par des ronds rouges et celles à T = 180.17K par des losanges bleus. Les symboles pleins représentent les modules portés sur l’axe de gauche et les symboles creux les phases portées sur l’axe de droite. Les erreurs sur les modules sont de la taille des points. Comme les exposants décrivant la décroissance de χ3,3(ω, T ) dans le régime α varient avec la température, les mesures à 180.17K et 182.66K ne sont pas superposables à celles acquises à 194K. Par contre, notons qu’une courbe maîtresse en f /fα peut être obtenue pour les mesures acquises à T < Tg à environ 2.5K d’intervalle.

3.4.3

Ecarts à la courbe maîtresse visibles à basses fréquences

Dans cette section, nous allons étudier les écarts à la courbe maîtresse de X3,3(ω, T )

présents à basses fréquences. Ces écarts sont visibles à f /fα < 0.04 sur la figure 3.10.

Dans un premier temps, nous verrons que ces écarts sont dus à la présence d’une contribu- tion triviale indépendante de la température dans le signal non linéaire mesuré. Ensuite, nous proposerons une modélisation de la contribution triviale à partir des calculs de Déjardin et Kalmykov [145]. Dans un troisième temps, l’impact de cette contribution triviale sur l’estimation de la dépendance en température du nombre moyen de molé-

cules dynamiquement corrélées Ncorr à partir des mesures de χ3,3(ω, T ) sera discutée.

Enfin, nous essayerons d’extraire cette contribution triviale de nos mesures. Une partie des résultats présentés dans cette section seront publiés dans [137].