Impact de la contribution triviale sur max ω |X 3,3 (ω, T )|

Bien que le calcul de la contribution triviale de la susceptibilité diélectrique non linéaire du glycérol surfondu, à partir des travaux de Déjardin et Kalmykov [145], ne prenne pas en compte le champ local, il apporte des informations qualitatives sur la

dépendance en température et en fréquence de X3,3;trivial(ω, T ). Ainsi, il apparaît que

la contribution triviale n’est pas négligeable autour du maximum de X3,3(ω, T ). Par

contre, plus on s’éloigne du maximum de |X3,3(ω, T )|, plus l’importance relative de

|X3,3;trivial(ω, T )| diminue. De ce fait, |X3,3(ω, T )| en f > fα devrait croître plus vite, lorsque la température diminue, que maxω|X3,3(ω, T )|.

Afin de tester cette hypothèse, nous avons comparé la dépendance en tempéra- ture de maxω|X3,3(ω, T )| à celle de |X3,3(ω, T )| en f/fα = 2.5. Les résultats obtenus sont présentés sur la figure 3.17. Pour pouvoir comparer ces résultats aux mesures de

X3,1(ω, T ), dans la section 3.6.2, nous avons restreint notre étude à la gamme de tempé-

f /fα = 2.5 augmente plus vite que maxω|X3,3(ω, T )|. Or, l’exposant b diminue lorsque

la température diminue. De ce fait, |X3,3(f /fα = 2.5)| augmente plus rapidement que

si b était constant. Toutefois, celà ne peut pas expliquer la différence observée entre la croissance de maxω|X3,3(ω, T )| et celle de |X3,3(f /fα = 2.5)|. En effet, en écrivant |X3,3(f /fα, T )| = Ncorr;3∗ (T )

 f fα

−b(T )

, nous pouvons extraire la dépendance en tempé-

rature de N∗

corr;3(T ) du fit des courbes de la figure 3.15 entre 1 et 100 f /fα. Et sur la

figure 3.17, nous voyons que la dépendance en température de N∗

corr;3(T ) est similaire à celle de |X3,3(f /fα = 2.5)|. Il semblerait donc que la croissance de Ncorr soit plus rapide que celle de maxω|X3,3(ω, T )|. Pour la déterminer avec précision, il faudrait pouvoir s’af- franchir de la contribution triviale de la susceptibilité diélectrique non linéaire. C’est ce que nous allons essayer de faire dans la section suivante. Notons que ces résultats seront discutés dans la section 3.6.2.

3.4.3.4 Tentative d’extraction de la contribution triviale

La contribution triviale n’étant pas négligeable autour du maximum de X3,3(ω, T ), il

est important de savoir l’extraire du signal mesuré. Cependant, il n’existe pas de prédic- tion théorique sur la manière dont les contributions singulière et triviale se combinent pour donner le signal non linéaire mesuré. Nous ignorons donc si elles se somment, se multiplient, ... Remarquons toutefois que nos mesures sont en bon accord entre avec les prédictions théoriques de Tarzia et al à f /fα > 1 (confère figure 3.7) et avec le calcul de

Déjardin et Kalmykov à f /fα < 0.04. De ce fait, nous pouvons avancer l’hypothèse que

les contributions singulière et triviale se somment (i.e. sont découplées) dans la limite où l’une des deux domine l’autre.

Hypothèse de travail Nous avons donc testé l’hypothèse suivante : à une tem- pérature T donnée, la contribution triviale t(ω) et la contribution singulière s(ω) se somment pour donner le signal mesuré m(ω). Sous cette hypothèse, les signaux me- surés aux températures T1 et T2 avec T1 < T2 s’écrivent : mT1(ω) = sT1(ω) + tT1(ω) et

mT2(ω) = sT2(ω) + tT2(ω). Or la contribution triviale est indépendante de la température

donc tT1(ω) = tT2(ω) = t(ω). La contribution singulière voit sa valeur maximale aug-

menter d’un facteur α entre T2 et T1. Cependant, sa dépendance en fréquence dépend de

la température via les valeurs des exposants b et a. Toutefois, pour f /fα ≤ 2.5, les écarts à la courbe maîtresse dûs à la diminution de b avec la température sont négligeables. Pour f /fα ≤ 2.5, nous pouvons donc écrire : sT1(ω) = αsT2(ω). La contribution triviale

est donnée par :

t(ω) = mT1(ω) − αmT2(ω)

1 − α (3.52)

La dépendance en fréquence de t(ω) est donc très sensible à la valeur de α. Or, nous ne savons pas la calculer avec précision. Toutefois, d’après les travaux théoriques de Tarzia et

al, la partie singulière de X3,3(ω, T ) devrait avoir une dépendance en température proche

de celle de T. ˆχT. Nous calculerons donc α à partir des données de T. ˆχT représentées sur la figure 3.8 et nous ne retiendrons de nos résultats que l’aspect qualitatif.

190 195 200 205 210 215 220 225 230 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 max (X 3,3 ( ,T)) |X 3,3 ( ,T)| en f / f=2.5 N * corr;3 N c o r r ;3 ,3 H ( , ( T ) ) / ( N c o r r ;3 ,3 H ( , ) à T = 2 0 4 . 7 K ) Température (K)

Figure _{3.17 – Impact de la contribution dite triviale sur la dépendance en tem-}

pérature de Ncorr. Les triangles verts représentent la dépendance en température de maxω|X3,3(ω, T )|, issue des séries de mesure n°2 et 3, et les losanges violets celle de |X3,3(ω, T )| en f /fα = 2.5. Les carrés bleus symbolisent la quantité Ncorr;3∗ (T ) obtenue en écrivant |X3,3(f /fα, T )| = Ncorr;3∗ (T )

 f fα

−b(T )

. Les données ont été normalisées à 1 à T = 204.7K. N∗

corr;3(T ) augmente comme |X3,3(f /fα = 2.5)|. De ce fait, la diminution de l’exposant b avec la température ne peut pas expliquer que |X3,3(f /fα = 2.5)| augmente plus rapidement que maxω|X3,3(ω, T )|. Celà est dû au fait que plus on s’éloigne du maximum de |X3,3(ω, T )|, plus l’importance relative de |X3,3;trivial| diminue. Notons que ces résultats seront discutés dans la section 3.6.2.

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 |X 3,3;trivial | d'après D. & K. |X 3,3;trivial | extrait Phase de X 3,3;trivial d'après D. & K. Phase de X 3,3;trivial extrait f / f M o d u l e -90 0 90 180 270 P h a se ( d e g . )

Figure _{3.18 – Comparaison entre la dépendance en fréquence de la contribution}

triviale extraite de nos données à T = 201.3K et 204.7K et celle de la contribution triviale calculée à partir des travaux de Déjardin et Kalmykov [145]. Les modules tracés en noir sont portés sur l’axe de gauche et les phase tracées en bleue sur l’axe de droite. La comparaison entre les deux quantités n’est valide que pour f /fα ≤ 2.5. Dans cette gamme de fréquence, les dépendances en fréquence de leurs phases sont proches. Pour f /fα < 0.02 et f /fα ≈ 0.21, |X3,3;trivialextrait | est proche de |X3,3;trivial|. Cependant, pour f/fα compris entre 0.02 et 0.18, écrire que les contributions triviale et singulière se somment semble incorrect.

Contribution triviale extraite Nous avons travaillé à partir des données acquises à 201.3K, 204.7K, 210.2K et 217.9K. Nous avons ainsi pu étudier les dépendances

en fréquence des contributions triviales extraites Xextrait

3,3;trivial. Ces dernières sont toutes similaires. C’est pourquoi une seule est représentée sur la figure 3.18. Il s’agit de Xextrait

3,3;trivial calculée à partir des mesures prises à 201.3K et 204.7K. Sur la figure 3.18, la contribution

triviale X3,3;trivial calculée à partir des travaux de Déjardin et Kalmykov est tracée à

titre comparatif. Comme l’équation 3.52 n’est valide que pour f /fα ≤ 2.5, les quantités

Xextrait

3,3;trivial et X3,3;trivial ne peuvent être comparées au delà de f /fα = 2.5. Les phases de Xextrait

3,3;trivial et de X3,3;trivial ont qualitativement la même dépendance en fréquence. Cependant, elles sont séparées de 30 à 40°. A f /fα < 0.02, |X3,3;trivialextrait | présente un plateau dont l’amplitude est inférieure à celle de X3,3;trivial. Pour 0.02 < f /fα < 0.18, le module de Xextrait

3,3;trivial présente un minimum et sa phase un maximum. Celà indique que dans cette gamme de fréquence, l’hypothèse selon laquelle les contributions triviale et singulière se somment est inexacte. Celà peut être relié au fait que dans cette gamme de fréquence, les contributions triviale et singulière sont du même ordre de grandeur. Autour de f /fα = 0.21 i.e. dans la zone où X3,3(ω, T ) atteint son maximum, |X3,3;trivialextrait | a une valeur proche de celle de |X3,3;trivial|.

Pour résumer, nous concluons qu’en général la contribution triviale et la contribu- tion singulière ne se somment pas. Toutefois, une simple addition donne des résultats qualitativement raisonnables lorsqu’une des deux contributions domine l’autre.

Conclusion L’étude fine des écarts à la courbe maîtresse ne dépendant que de f /fα

– Contrairement aux prédictions théoriques de Tarzia et al réalisées à T > TM CT, l’exposant b qui caractérise la première décroissance en loi de puissance de X3,3(ω, T ) dépend de la température. La dépendance en fréquence de la partie singulière dé- pend donc un peu de la température ;

– A hautes fréquences, dans le régime α, un changement de pente est visible sur |X3,3(ω)| ;

– La contribution triviale est non négligeable autour du maximum en fréquence de

X3,3(ω, T ). Sa valeur maximale est indépendante de la température.

En l’absence de prédictions théoriques sur la manière dont les contributions triviale et

singulière se combinent autour du maximum en fréquence de X3,3(ω, T ), il est difficile de

quantifier l’impact de la contribution triviale sur la dépendance en température de Ncorr.

Toutefois, il semblerait que nous sous-estimons la croissance de Ncorr. Dans la section

suivante, les mesures de X3,1(ω, T ) seront présentées. D’après les travaux théoriques

menés en collaboration avec M. Tarzia, X3,1(ω, T ) devrait être piquée pour un rapport

f /fα plus grand que X3,3(ω, T ). De ce fait, il est possible que l’importance relative de

la contribution triviale soit plus faible au maximum de X3,1(ω, T ) qu’au maximum de

X3,3(ω, T ) et donc que maxωX3,1(ω, T ) soit un meilleur estimateur de la croissance du

nombre moyen de molécules dynamiquement corrélées Ncorr.