Malgr´e que les logiques d´eontiques dynamiques aient l’avantage face aux logiques d´eon- tiques standards d’ˆetre en mesure de distinguer entre les les propositions descriptives et les actions (sur lesquelles portent les op´erateurs d´eontiques), il n’en demeure pas moins que la logique d´eontique dynamique d´evelopp´ee par Meyer (1988) ne permet pas de distinguer entre les obligations de groupe et les obligations individuelles. De fait, P DeL ne permet
pas de sp´ecifier `a qui la norme est adress´ee. Puisque les normes l´egales sont adress´ees `a des individus sp´ecifiques, Royakkers (1998, p.65) est d’avis qu’une logique d´eontique visant `a formaliser le discours l´egal se doit d’ˆetre en mesure de sp´ecifier les agents `a qui les normes s’adressent.
L’ouvrage de Royakkers (1998), intitul´e Extending deontic logic for the formalisation of legal rules, est une version retravaill´ee de la th`ese de doctorat de l’auteur, o`u ce dernier cherchait `a formaliser les contradictions inh´erentes au discours l´egal. La consistance nor-
mative, par opposition avec la consistance logique4, est telle que l’on ne trouve pas d’´enonc´e
B pour lequel `a la fois OB et O¬B sont dans l’ensemble des cons´equences logiques d’un ensemble de propositions Γ (Royakkers 1998, p.41). La consistance normative s’exprime g´en´eralement `a l’aide du sch´ema d’axiome (D) de la logique d´eontique standard, lequel est propositionnellement ´equivalent `a l’´enonc´e suivant:
¬(OA ∧ O¬A)
Soulignons que si une logique admet cet axiome, alors un ensemble d’´enonc´e(s) nor- mativement inconsistant sera aussi par le fait-mˆeme logiquement inconsistant. En effet, si Γ est normativement inconsistant, alors il y a B tel que OB et O¬B se trouvent dans l’ensemble de ses cons´equences, et donc OB ∧ O¬B et ¬(OB ∧ O¬B) se trouveront aussi dans l’ensemble des cons´equences de Γ. Par cons´equent, l’ajout de (D) permet de r´eduire l’inconsistance normative `a l’inconsistance logique.
La principale innovation de Royakkers est d’augmenter la logique d´eontique afin de rendre compte des individus `a qui les normes s’adressent. Consid´erant que la logique d´eontique standard et que la logique d´eontique dynamique permettent respectivement de repr´esenter les ´enonc´es du type Ougth-to-be et Ought-to-do, Royakkers propose d’augmenter chacun de ces syst`emes. Dans ce qui suit, nous avons choisi de pr´esenter bri`evement son analyse de la logique d´eontique standard ´etant donn´e que cela nous am`enera `a expliciter certaines consid´erations relatives aux diff´erentes interpr´etations de l’op´erateur O. Notre pr´esentation sera toutefois restreinte aux points innovateurs de sa proposition, princi- palement afin que nous puissions nous concentrer sur le syst`eme de logique d´eontique dynamique qu’il avance ainsi que sur les applications qu’il en fait.
Dans le chapitre 4 de son livre, Royakkers (1998, p.67) propose d’indexer l’op´erateur O de la logique d´eontique standard `a un agenti, lequel peut ˆetre consid´er´e autant comme
une constante qu’une variable sur laquelle on quantifie. Du cˆot´e de la s´emantique, cela se traduit par l’indexation de la relation R sur le mod`ele s´emantique `a un agent i et `a l’augmentation du mod`ele par un ensemble d’agents Ag.
Cet op´erateur repr´esente l’obligation personnelle et permet de d´efinir quatre autres op´erateurs (Royakkers 1998, p.78), ayant chacun une interpr´etation bien sp´ecifique.
O+(A) =def ∀i∈Ag Oi(A) (def. O+)
P+(A) =def ∃i∈Ag Pi(A) (def. P+)
O−(A) =def ∃i∈Ag Oi(A) (def. O−)
P−(A) =def ∀i∈Ag Pi(A) (def. P−)
Ces op´erateurs repr´esentent respectivement l’obligation g´en´erale, la permission non sp´ecifique, l’obligation non sp´ecifique et la permission g´en´erale. L’obligation (ou la per- mission) g´en´erale est valable pour tous les agents, alors que l’obligation (ou la permission)
4Un ensemble de propositions Γ est logiquement consistant s’il n’y a pas d’´enonc´e B pour lequel B et ¬B se trouvent `a la fois dans l’ensemble des cons´equences logiques de Γ.
non sp´ecifique ne s’adresse qu’`a au moins un individu (cf. Royakkers 1998, p.79 pour les relations entre ces op´erateurs). Du cˆot´e s´emantique, chaque op´erateur sera repr´esent´e par une restriction. Par exemple, alors qu’usuellement nous avons OA vrai pour w si et seule- ment si A est vrai pour tout v t.q. wRv, nous aurons OiA vrai pour w si et seulement si
A est vrai pour tout v t.q. wRiv. Dans le cas de O+, nous obtenons que O+(A) est vrai
pour w si et seulement si pour tout i, A est vrai pour tout v t.q. wRiv. Pour O−, il suffira
d’avoir au moins un i qui satisfait la condition.
L’int´erˆet de l’approche de Royakkers est l’introduction de groupes d’agents. Celui-ci propose deux interpr´etations de la notion d’obligation collective, `a savoir l’interpr´etation stricte et l’interpr´etation faible (Royakkers 1998, p.85). L’interpr´etation stricte est telle que l’obligation s’adresse `a tout le groupe, alors que pour l’interpr´etation faible elle ne s’adresse qu’`a un sous-groupe. Pour des raisons d’´economie, nous n’allons pr´esenter que l’interpr´etation stricte. L’augmentation du mod`ele standard, afin de rendre compte des groupes d’agents, se fait de mani`ere similaire `a ce qui a ´et´e susmentionn´e. En un mot, il suffit d’indexer la relation R `a un groupe d’agent X.
Alors que dans le cas de l’obligation personnelle Oil’agent i est membre de l’ensemble
d’agents Ag, l’obligation collective OX met en jeu un groupe qui est membre de l’ensemble
des parties de Ag, c’est-`a-dire que X ∈ ℘(Ag) et donc X ⊆ Ag. Le mod`ele s´emantique M = hW, Ag, RAg, ai est d´efini `a l’aide d’un ensemble d’agents Ag 6= ∅ et d’un ensemble
RAg = {RX : X ∈ ℘(Ag)} de relations index´ees `a des groupes d’agents (cf. Royakkers
1998, p.84). W est un ensemble non vide de sc´enarios possibles et a est une fonction qui attribue des valeurs de v´erit´e aux propositions dans W . La clause s´emantique pour OX
est simplement que OXA est vrai pour w si et seulement si A est vrai pour tout v t.q.
wRXv. Dans le cas de l’obligation collective stricte, Royakkers admet le sch´ema d’axiome
(D), et donc RX est s´erielle.
Cela fait, Royakkers (1998, p.88) introduit les obligations collectives fortes (O⊕) et faibles (O ). Alors que l’obligation O+(A) signifie que tous les agents ont l’obligation A,
O⊕(A) exprime que tout groupe X poss`ede une obligation collective forte, o`u l’obligation s’applique `a tous les groupes. A partir de l’op´` erateur O index´e `a un groupe d’agents X, l’auteur d´efinit quatre op´erateurs d’obligations collectives, `a l’instar des obligations personnelles g´en´erales et non sp´ecifiques.
O⊕(A) =def ∀X∈℘(Ag)OX(A) (def. O⊕)
O (A) =def ∃X∈℘(Ag)OX(A) (def. O )
P (A) =def ∀X∈℘(Ag)PX(A) (def. P )
P⊕(A) =def ∃X∈℘(Ag)PX(A) (def. P⊕)
Les clauses s´emantiques sont d´efinies similairement. Par exemple, O⊕(A) est vrai pour w si et seulement si pour tout X, A est vrai pour tout v tel que wRXv. Le lecteur
est invit´e `a consulter Royakkers (1998, p.94) concernant les relations entre les diff´erents op´erateurs d´eontiques et les deux interpr´etations de l’obligation collective.
Passons maintenant `a l’analyse de la logique d´eontique dynamique. Nous allons suivre la pr´esentation de l’auteur, introduisant d’abord la logique d´eontique dynamique
afin de la modifier par la suite pour rendre compte des agents et des groupes d’agents. Royakkers utilise essentiellement l’approche propos´ee par Meyer (1988), qu’il modifiera afin de mieux servir son propos. Soit le langage suivant:
L = {(, ), Act, P rop,¯, &, ∪, ¬, ⊃, ∧, ∨, [ ], any, fail, skip, change}
D’embl´ee, on remarque que Royakkers (1998, p.52) exclut les s´equences d’actions et les actions conditionnelles, repr´esent´ees chez Meyer par les connecteurs ; et → /. L’ensemble Act = {any, change, α1, ..., αn, ...} contient un nombre d´enombrable d’actions
atomiques ainsi que les actions any (l’action universelle, « peu importe laquelle ») et change (« peu importe laquelle sauf skip »). L’ensemble Act∗ d’actions complexes est d´efini r´ecursivement `a l’instar de chez Meyer et la lecture des connecteurs est similaire:
1. si α ∈ Act, alors α ∈ Act∗; 2. fail, skip ∈ Act∗;
3. si α, β ∈ Act∗, alors α, α&β, α ∪ β ∈ Act∗.
Alors que l’action skip n’apporte aucun changement au sc´enario, fail repr´esente l’action qui ´echoue et apr`es laquelle aucun sc´enario n’est accessible (Royakkers 1998, p.53). P rop = {p1, ..., pn, ...} est un ensemble d´enombrable d’atomes propositionnels et l’ensemble
des expressions bien form´ees (EBF ) est d´efini r´ecursivement par: 1. si p ∈ P rop, alors p ∈ EBF ;
2. si A, B ∈ EBF et α ∈ Act∗ , alors ¬A, A ⊃ B, A ∨ B, A ∧ B, [α]A ∈ EBF .
L’axiomatisation de la logique dynamique chez Royakkers se fait `a l’instar de celle de P DeL, ou encore de la logique modale K. On prend les r`egles de g´en´eralisation (Nec),
de d´etachement (MP) ainsi qu’une r`egle de substitution d’´equivalences pour les actions (Subst).5 ` A (Nec) ` [α]A ` A ⊃ B ` A (MP) ` B α = β (Subst) ` [α]A ≡ [β]A
5Comme le souligne Royakkers (1998, p.62), la r`egle (Subts) est formellement inad´equate puisqu’elle met en jeu une expression qui n’est pas bien form´ee. Cela dit, il serait ais´e de d´efinir l’identit´e sur les actions, et de fait il s’agit d’une lacune mineure. L’identit´e est `a entendre en termes de classe d’´equivalence.
`
A cela s’ajoutent les axiomes du syst`eme, prenant pour acquis ceux de la logique propositionnelle classique (Royakkers 1998, p.63).
[α](A ⊃ B) ⊃ ([α]A ⊃ [α]B) (A1)
[α ∪ β]A ≡ ([α]A ∧ [β]A) (A2)
([α]A ∨ [β]A) ⊃ [α&β]A (A3)
[skip]A ≡ A (A4)
[fail]A (A5)
L’axiome (A1) est l’axiome de distribution habituel, (A2) exprime que si un choix entre deux actions m`ene `a une description A, alors chaque action individuellement y m`ene. Le troisi`eme axiome signifie que si deux actions m`enent individuellement `a une description A, alors les deux actions faites conjointement y m`enent aussi. L’axiome (A4) stipule que faire l’action skip ´equivaut `a ne rien faire, et finalement (A5) signifie que n’importe quoi est vrai lorsque le syst`eme ´echoue.
Du cˆot´e de la s´emantique, Royakkers (1998, p.53) utilise, `a l’instar de Meyer, la notion d’ensemble de simultan´eit´e (synchroniticity set ). D’entr´ee de jeu, {fail}, {skip} et tout sous-ensemble non vide de Act sont des ensembles de simultan´eit´e. Soit S1, ..., Sn, ...
des ensembles de simultan´eit´e et T1, ..., Tn, ... des ensembles d’ensembles de simultan´eit´e.
Maintenant, soit Tfail une op´eration sur les ensembles telle que (cf. Royakkers 1998, p.54):
Tfail = (
T − {{fail}} s’il y a un Si ∈ T t.q. S 6= {fail}
{{fail}} sinon
Autrement dit, Tfail est l’ensemble qui contient les ensembles de simultan´eit´e qui ne
contiennent pas l’action fail lorsqu’il y a au moins un ensemble de simultan´eit´e diff´erent de l’ensemble qui contient fail, et si aucun ensemble de simultan´eit´e dans T est diff´erent de celui qui contient fail, alors T est l’ensemble qui contient l’ensemble qui contient fail (T − {{fail}} ´etant le compl´ement de {{fail}} relativement `a T ). Les op´erations s´emantiques ensemblistes repr´esentant respectivement les actions n´egatives, disjointes et conjointes sont donn´ees par ∼, t et u.
∼ S = (℘(Act) ∪ {skip}) − S ∼ T = u{∼ S : S ∈ T } T1t T2 = (T1∪ T2)fail T1u T2 = ( T1∩ T2 si T1∩ T2 6= ∅ {{fail}} sinon
En mots, l’op´eration u est similaire `a l’intersection ensembliste usuelle dans la mesure o`u l’intersection n’est pas vide, sans quoi T1 u T2 se r´esume `a l’ensemble qui contient
l’ensemble de simultan´eit´e qui contient fail. L’op´eration t est similaire `a l’union ensemb- liste `a l’exception qu’elle s’assure d’exclure l’ensemble de simultan´eit´e fail lorsqu’au moins
un ensemble de simultan´eit´e de T1 ou T2 y est diff´erent. Finalement, ∼ S pour un en-
semble de simultan´eit´e S est le compl´ement de S relativement `a l’ensemble des parties de Act joint avec l’ensemble qui contient skip, et ∼ T pour un ensemble d’ensembles de simultan´eit´e ´equivaut `a l’intersection u de tous les ∼ S pour lesquels S est ´el´ement de T . Ayant ces op´erations en main, Royakkers (1998, p.55) d´efinit r´ecursivement la s´e- mantique pour les connecteurs d’actions.
kαk = {Si : α ∈ Si} pour un atome α kαk = ∼ kαk kα ∪ βk = kαk t kβk kα&βk = kαk u kβk kskipk = {{skip}} kfailk = {{fail}}
kanyk = ℘(Act) ∪ {{skip}} kchangek = ℘(Act)
Cela fait, on ajoute une fonction qui permet de d´eterminer les sc´enarios accessibles suite `a l’accomplissement de certaines actions. Soit l’ensemble:
Ω = ℘(Act) ∪ {{fail}} ∪ {{skip}}
Soit W un ensemble de sc´enarios et W ∗ l’ensemble qui contient les sous-ensembles de W qui eux contiennent au plus un ´el´ement. La d´efinition de W ∗ a pour objectif de pouvoir sp´ecifier qu’aucun sc´enario n’est accessible apr`es avoir pos´e l’action qui ´echoue. Royakkers (1998, p.60) introduit une fonction ρ : (Ω × W ) −→ W ∗ telle que:
ρ({fail})(w) = ∅ ρ({skip})(w) = {w}
Autrement dit, il n’y a aucun monde possible accessible `a w lorsque l’action fail est pos´ee et le monde accessible `a w apr`es l’action skip est w lui-mˆeme.6 A supposer que`
les ensembles de sc´enarios ne sont pas vide, l’auteur utilise ρ afin de d´efinir la fonction R : ℘(W ) −→ ℘(W ) telle que pour W0 ⊆ W et Si ∈ Ω:
R(Si)(W0) = [ w∈W0 ρ(Si)(w) R(Ti)(W0) = [ Si∈Ti R(Si)(W0)
6Notons qu’il y a une coquille dans la notation utilis´ee par Royakkers. Ce dernier ´ecrit ρ({skip})(w) = w plutˆot que ρ({skip})(w) = {w}. Or, ρ a pour image W ∗, qui est un ensemble de singletons (et sans lequel l’auteur ne pourrait pas ´ecrire ρ({fail})(w) = ∅).
En ce sens, la fonction R permet de d´eterminer pour un ensemble de simultan´eit´e et un ensemble de mondes possibles l’ensemble de tous les sc´enarios accessibles suite aux actions pos´ees dans Si, de mˆeme que pour un ensemble d’ensembles de simultan´eit´e Ti. `A
l’aide de cette fonction, Royakkers (1998, p.61) d´efinit r´ecursivement une fonction s´eman- tique kkR: kαkR(w) = R(kαkR)(w) kαkR(W0) = [ w∈W0 kαkR(w)
Le lecteur aura certainement remarqu´e que cette approche est fort similaire `a celle de Meyer. L’id´ee de base est la mˆeme: d´eterminer les ensembles qui indiquent quelles actions sont pos´ees et d´efinir une fonction qui permet d’isoler l’ensemble des alternatives possibles `a un sc´enario (ou un ensemble de sc´enarios) relativement `a un ensemble d’actions pos´ees. Le mod`ele s´emantique M = hW, Act, kkR, ai est d´efini usuellement, avec W un
ensemble de sc´enarios, Act un ensemble d’actions atomiques, kkR une fonction qui isole les
sc´enarios accessibles et a une fonction qui attribue des valeurs de v´erit´e aux propositions.7
La clause s´emantique pour l’op´erateur dynamique est la mˆeme que chez Meyer, `a savoir que [α]A est vrai pour w si et seulement si A est vrai pour tout sc´enario v accessible `a w lorsque α est pos´ee. Les autres clauses s´emantiques sont d´efinies de mani`ere usuelle.
|=w [α]A ⇔ |=v A pour tout v ∈ kαkR(w)
L’originalit´e de Royakkers est d’augmenter la logique d´eontique dynamique afin de rendre compte des agents et groupes d’agents. Pour ce faire, il modifie la s´emantique en introduisant de nouvelles d´efinitions pour les ensembles de simultan´eit´e. D’abord, il augmente le langage L `a l’aide des connecteurs ∪? et &? pour les actions individuelles
et ∪0 et &0 pour les actions collectives. Soit Ag un ensemble d’agent. Royakkers (1998, p.98,111) d´efinit r´ecursivement un ensemble Ev d’´ev`enements par la condition suivante:
si i ∈ Ag, alors
(a) si α ∈ Act∗, alors [i : α] ∈ Ev;
(b) si α, β ∈ Ev, alors α, α ∪?β, α&?β ∈ Ev.
Notons une certaine ambigu¨ıt´e quant `a la notion d’´ev`enement ni´e α. En effet, Roy- akkers (1998, p.104) consid`ere que [i : β] = [i : β], et donc la n´egation se comporte de la mˆeme mani`ere pour les ´ev`enements et les actions, mais les autres connecteurs diff`erent. Par surcroˆıt, cela signifie que « il est faux que i fait l’action β » est ´equivalent `a « i fait l’action β », ce qui est contestable sur le plan philosophique (cf. chapitres 3 et 14). Cela
7Autre coquille: d´efini ainsi, fail et skip ne font pas partie du mod`ele s´emantique. Il faudrait plutˆot Act ∪ {fail} ∪ {skip}.
va `a l’encontre de la distinction entre ne pas faire (omettre) et ne pas faire d´elib´er´ement (s’abstenir).
La mˆeme augmentation (ainsi que la mˆeme critique) s’op`ere pour les ´ev`enements collectifs Ev0 (o`u X ∈ ℘(Act) et Act est un ensemble non vide d’agents):
1. si α ∈ Act∗, alors [X : α] ∈ Ev0;
2. si α, β ∈ Ev0, alors α, α ∪0β, α&0β ∈ Ev0.
Dans chacun des cas, les ensembles EBF? et EBF0 sont d´efinis respectivement par
l’ajout des clauses suivantes:
1. si α ∈ Ev, alors [α]A ∈ EBF?;
2. si α ∈ Ev0, alors [α]A ∈ EBF0.
Au niveau axiomatique, Royakkers (1998, p.107 et p.120) ne fait qu’ajouter les ax- iomes (A2?) et (A3?) pour les ´ev`enements individuels et (A2’) et (A3’) pour les ´ev`enements
collectifs. Les autres sch´emas d’axiomes et r`egles s’appliquent aux modalit´es [i : α] et [X : α].
[α ∪?β]A ≡ ([α]A ∧ [β]A) (A2?)
([α]A ∨ [β]A) ⊃ [α&?β]A (A3?)
[α ∪0β]A ≡ ([α]A ∧ [β]A) (A2’)
([α]A ∨ [β]A) ⊃ [α&0β]A (A3’)
Ces diff´erents op´erateurs d’action permettent de construire trois logiques dynamiques distinctes DDL, DDL? et DDL0.
`
A l’instar des op´erations ∼, u et t, Royakkers (1998, p.101) d´efinit les op´erations ∼?, u? et t? pour les op´erateurs individuels et ∼0, u0 et t0 pour les op´erateurs collectifs. Dans
le cas des op´erateurs individuels, il faut d’abord reconsid´erer les ensembles de simultan´eit´e. Soit Sij un ensemble de simultan´eit´e pour un agent i qui contient des ´ev`enements (relatifs `
a i). Soit Si∗ l’ensemble qui contient tous les ensembles de simultan´eit´e pour l’agent i (incluant [i : skip]). Soit Σ l’ensemble qui contient le produit cart´esien de tous les Si∗ (o`u i ∈ Ag). Une trace t est un ´el´ement de Σ, c’est-`a-dire une suite d’ensembles de simultan´eit´e (qui peuvent mettre en jeu diff´erents agents).
Tout cela peut informellement ˆetre consid´er´e de la mani`ere suivante. On consid- `ere d’abord tous les ensembles de simultan´eit´e possibles pour un agent i. En faisant le produit cart´esien de tous les ensembles de simultan´eit´e pour tous les agents i, on obtient un ensemble de n-uplets (o`u Ag contient n agents) qui propose toutes les combinaisons d’actions possibles pour tous les agents. En ce sens, une trace t correspond `a un n-uplet et repr´esente les actions pos´ees par chacun des agents. Cela permettra d’´evaluer les sc´enarios accessibles suite aux actions de tous les agents.
Maintenant, soit Ti un ensemble de traces.8 Les op´erations sont d´efinies `a l’instar
des op´erations susmentionn´ees pour la logique d´eontique dynamique, `a l’exception que l’on consid`ere des traces plutˆot que des ensembles de simultan´eit´e.
Tifail? = (
Ti− {{fail}} s’il y a un t ∈ Ti t.q. t 6= {fail}
{{fail}} sinon ∼? t = Σ − {t} ∼? Ti = u?{∼? t : t ∈ Ti} T1 t? T2 = (T1∪ T2)fail T1 u? T2 = ( T1∩ T2 si T1∩ T2 6= ∅ {{fail}} sinon
Royakkers (1998, p.101) d´efinit r´ecursivement la s´emantique pour les connecteurs d’actions et d’´ev`enements individuels.
ki : αk = {t ∈ Σ : α ∈ Sij et Sij est dans t} pour un atome α kαk = ∼? kαk ki : α ∪ βk = ki : αk t?ki : βk ki : α&βk = ki : αk u?ki : βk ki : αk = ∼? ki : αk kα ∪?βk = kαk t?kβk kα&?βk = kαk u?kβk
ki : skipk = {t ∈ Σ : skip ∈ Sij et Sij est dans t} kfailk = {{fail}}
kanyk = Σ
kchangek = Σ − ki : skipk
Encore une fois, la signification de ces conditions est similaire `a ce que l’on trouve en logique dynamique sans agent. La premi`ere clause exprime que l’ensemble qui contient les ´ev`enements o`u il est vrai que i pose l’action atomique α est l’ensemble qui contient les traces dans lesquelles se trouvent les ensembles de simultan´eit´e qui contiennent α pour i. L’´ev`enement ni´e α est repr´esent´e par le compl´ement de α relativement `a Σ. Les ´ev`enements qui mettent en jeu des actions disjointes et conjointes s’interpr`etent de la mˆeme mani`ere, `
a l’exception que l’on parle de trace d’ensembles de simultan´eit´e plutˆot que d’ensembles de simultan´eit´e. Les ´ev`enements disjoints et conjoints se repr´esentent s´emantiquement
8Les autres conditions pour les ensembles de simultan´eit´e restent les mˆemes, c’est-`a-dire que {fail}, {skip} et [i : A] pour tout sous-ensemble non vide A de Act∗ sont des ensembles de simultan´eit´e.
par les op´erations ensemblistes d´efinies plus haut, et finalement les constantes d’actions s’interpr`etent trivialement selon leur signification respective.
En somme, du point de vue syntaxique, la notation change mais l’interpr´etation s´emantique requiert simplement que l’on prennent en compte des combinaisons d’actions possibles pour tous les agents, par opposition avec de simples ensembles de simultan´eit´e. En un certain sens, nous aurions pu parler d’ensembles collectifs de simultan´eit´e, lesquels repr´esenteraient toutes les actions pos´ees par tous les agents `a un moment donn´e et ´equiv- audrait `a la notion de trace.
On ajoute au mod`ele s´emantique M = hW, Act, Ag, kkR, ai un ensemble non vide
d’agents, o`u kkR est red´efinie en termes de traces.9
ρ({fail})(w) = ∅ R(t)(w) = ρ(t)(w)
R(Ti)(w) = {v : v = R(t)(w) pour tous les t ∈ Ti}
kαkR(w) = R(kαk)(w)
La fonction ρ identifie le sc´enario accessible `a w lorsque toutes les actions (atom- iques) d’une trace t sont r´ealis´ees par les agents. ´Evidemment, l’action qui ´echoue ne m`ene `a aucun sc´enario possible. Lorsqu’une trace met en jeu des ´ev`enements complexes, l’ensemble des sc´enarios accessibles `a w est donn´e par R(Ti)(w), qui contient les sc´enarios
accessibles `a chaque trace t de Ti. La clause s´emantique pour [i : α]A est identique `a celle
de [α]A, `a l’exception des remarques susmentionn´ees par rapport `a kαkR(w). Il est vrai
pour w que i pose l’action α, ce qui rend la description A vraie, `a condition que A soit vraie pour tout sc´enario accessible `a w apr`es que i ait pos´e l’action α.
Dans le cas de la logique dynamique mettant en jeu des groupes d’agent, la s´eman- tique de DDL0 est identique `a celle de DDL?, `a l’exception du fait que l’on red´efinit les op´erations sur des traces collectives plutˆot que sur des traces (cf. Royakkers 1998, pp.111- 121). Que ce soit pour DDL, DDL? ou DDL0, la d´efinition de l’obligation se fait `a l’instar
de chez Meyer, o`u V est une constante de violation et [ ] la modalit´e appropri´ee.
F (α) =def [α]V, (def. F)
Notons au passage que Royakkers propose la mˆeme analyse pour la logique d´eontique dynamique que pour la logique d´eontique standard concernant les obligations g´en´erales, non sp´ecifiques, collectives fortes et collectives faibles. `A ce sujet, le lecteur peut consulter le chapitre 5 de l’ouvrage de Royakkers.
En guise de conclusion, notons que les travaux de Royakkers sont fortement in- spir´es de ceux de Dignum et al. (1996), qui utilisent une logique dynamique augment´ee de