Le livre de Horty (2001), intitul´e Agency and deontic logic, est `a ce jour probablement l’ouvrage le plus complet qui propose une analyse de la logique d´eontique dans le cadre d’une logique stit. Bien que le propos de Horty ne soit pas ax´e sur l’analyse du discours
13Nous avons modifi´e (C3) avec une formulation ´equivalente afin d’exprimer explicitement l’explication que l’on trouve `a la page 38: if i makes it punishable for j not to bring it about that ϕ, then i makes it punishable for an arbitrary k to bring it about that ¬ϕ (P¨orn 1970, p.38).
l´egal (ce dernier propose plutˆot une analyse de la notion d’agentivit´e (agency) dans un cadre utilitariste), nous avons jug´e bon de pr´esenter sa position consid´erant que celle-ci offre une excellente vue d’ensemble concernant l’int´erˆet d’utiliser une logique stit pour l’analyse du discours normatif. Malgr´e que l’approche de Horty vise l’analyse de ce que les agents doivent faire (ought-to-do), l’analyse qu’il propose prend place dans le cadre plus large de ce qui doit ˆetre (ought-to-be). Cela se justifie par le fait que ce qu’un agent doit faire peut ˆetre identifi´e par ce qui doit ˆetre en vertu des actions de cet agent (Horty 2001, p.4). En ce sens, ce qu’un agent doit faire est subsum´e par ce qui doit ˆetre dans le monde:
The study of what agents ought to do, it is thought, can naturally be subsumed under the broader study of what ough to be, for the simple reason that among the various things that ought or ought not to be are the things that agents do, the actions they perform or refrain from (Horty 2001, p.3).
Ainsi, l’objectif de Horty est de « formuler pr´ecis´ement l’id´ee `a savoir que ce qu’un agent doit faire peut s’identifier par ce qui doit ˆetre suite aux actions d’un agent (traduction libre, mes italiques, Horty 2001, p.5) ».14
Malgr´e que le syst`eme syntaxique ne soit pas explicitement d´efini dans l’ouvrage, nous allons tenter de pr´esenter la syntaxe implicite `a l’approche de Horty.15 Le langage
L = {(, ), P rop, ¬, ∧,2, [a stit], O, }
comprend un ensemble d´enombrable de propositions P rop = {p1, ..., pn, ...}, les con-
necteurs logiques ¬ et ∧, `a partir desquels les autres connecteurs ∨, ⊃ et ≡ sont d´efinis usuellement (Horty 2001, p.9), et l’op´erateur modal 2 repr´esente la n´ecessit´e historique. Consid´erant qu’un mˆeme sc´enario peut faire partie de plusieurs histoires diff´erentes, la n´ecessit´e historique est `a comprendre en termes de ce qui est fix´e pour toute histoire:
The formula 2A is taken to mean that A is settled, or historically necessary; ♦A, that A is still open as a possibility. The intuitive idea is that2A should be true at some moment if A is true at that moment no matter how the future turns out, and that ♦A should be true if there is still some way in which the future might evolve that would lead to the truth of A (Horty 2001, p.9).
Autrement dit, ce qui est historiquement n´ecessairement vrai pour un sc´enario est ce qui est vrai pour toute histoire qui passe par ce sc´enario. Reformulons cette id´ee: soit une histoire une suite de sc´enarios wi, . . . , wj, . . . , wk. La notion de n´ecessit´e historique
signifie que ce qui est n´ecessairement vrai pour wj correspond `a ce qui est vrai pour toute
histoire incluant wj.
14Malgr´e cette remarque, Horty assumera n´eanmoins deux op´erateurs primitifs de types Ought-to-be et Ought-to-do.
15Horty (2001, p.18) laisse de cˆot´e les consid´erations syntaxiques relatives `a la th´eorie de la preuve de son approche.
L’op´erateur [a stit]A, plus pr´ecis´ement [{a} stit]A comme nous le verrons bientˆot, signifie l’agent a r´ealise A, o`u A est un ´etat du monde qui advient suite aux actions ou aux choix de l’agent a.16
A statement of the form [a stit]A, expressing the idea that the agent a sees to it that A, is defined as true at an index (w,h) just in case the action performed by a at that index garantees the truth of A; the action might result in a variety of possible outcomes, but the statement A must be true in each of them (Horty 2001, p.15).
L’op´erateur O repr´esente ce qui doit ˆetre, alors que d´enote ce qui doit ˆetre fait, o`u ne s’applique qu’aux propositions de la forme [a stit]A et signifie a doit r´ealiser A (Horty 2001, p.79).
En vertu de la clause s´emantique (4) d´efinie plus bas,2 peut ˆetre axiomatis´e comme une modalit´e de type S5.17 En effet, le sch´ema (M) est trivial en vertu de la condition (4)
et le sch´ema (5) peut ais´ement ˆetre d´emontr´e. Th´eor`eme 3.1. 2 est une modalit´e de type S5.
D´emonstration: Supposons que |=Mw,h ♦A mais que |=Mw,h ¬2♦A. D’une part, cela
signifie que 6|=Mw,h 2¬A, et donc qu’il y a au moins une histoire h
0 ∈ H
w pour laquelle
|=Mw,h0 A. D’autre part, cela signifie que 6|=Mw,h 2♦A, et donc qu’il y a un k ∈ Hw tel
que |=Mw,k ¬♦A. Or, cela implique que |=Mw,k 2¬A, et donc que |=Mw,h0 ¬A pour tout
h0 ∈ Hw, ce qui contredit l’hypoth`ese de d´epart. Le sch´ema d’axiome (5) ♦A ⊃ 2♦A est
donc valide, ce qui conjointement `a (M) signifie que2 est une modalit´e axiomatisable par S5.18
Par ailleurs, [a stit] est aussi un op´erateur de type S5, alors que O est de type KD45 (Horty 2001, p.17 et pp.35-6,43).19 L’op´erateur quant `a lui est une modalit´e
de type KD (cf. Horty 2001, p.79). Notons aussi que n’est pas une modalit´e de type KD45 consid´erant que l’it´eration de l’op´erateur n’est pas permise, ´etant une modalit´e de type Ougth-to-do (cf. Horty 2001, p.74). Prenant tout cela en compte, l’approche de Horty peut ˆetre axiomatis´ee `a l’aide des sch´emas d’axiomes suivants, assumant les sch´emas d’axiomes ainsi que les r`egles d’inf´erence du syst`eme modal K.
16A l’instar de Broersen, nous utilisons [a stit]A plutˆ` ot que [a stit : A] afin d’insister sur le fait que l’op´erateur [a stit] est une modalit´e.
17Voir le tableau 3.2 pour les types de modalit´e.
18Une mani`ere plus triviale de voir la chose est de consid´erer les sch´emas (M) , (4) et (B), ce qui est aussi ´equivalent `a S5 (cf. Garson 2006, p.222).
2A ⊃ A (M2)
♦A ⊃ 2♦A (52)
[a stit]A ⊃ A (Mstit)
¬[a stit]¬A ⊃ [a stit]¬[a stit]¬A (5stit)
¬(OA ∧ O¬A) (DO)
¬O¬A ⊃ O¬O¬A (5O)
OA ⊃ OOA (4O)
¬( [a stit]A ∧ [a stit]¬A) (D )
Le principe devoir implique pouvoir est repr´esent´e par les axiomes (♦O) et (♦ ) pour les modalit´es de types Ought-to-be et Ought-to-do.
OA ⊃ ♦A (♦O)
[a stit]A ⊃ ♦[a stit]A (♦ )
Finalement, la coh´erence entre ce qui doit ˆetre et ce qui doit ˆetre fait est exprim´ee par le sch´ema d’axiome suivant (Horty 2001, p.80):
¬( [a stit]A ∧ O[a stit]¬A) (DO )
L’ensemble des expressions bien form´ees EBF peut ˆetre d´efini r´ecursivement par: 1. si p ∈ P rop, alors p ∈ EBF ;
2. si A, B ∈ EBF , alors ¬A, A ∧ B ∈ EBF ; 3. si A ∈ EBF , alors 2A, [a stit]A, OA ∈ EBF ; 4. si A ∈ EBF , alors [a stit]A ∈ EBF .
Comme Horty (2001, p.6) le mentionne, son approche repose sur les logiques tem- porelles (theory of branching time) propos´ees par Prior (1967) et Thomason (1970, 2002). Ces logiques, qui reposent sur la notion d’arbre temporel, con¸coivent le pass´e comme d´eter- min´e mais l’avenir comme incertain (ind´etermin´e). Une structure temporelle S = hU, <i est compos´ee d’un univers U non vide de moments, lesquels peuvent aussi ˆetre consid- ´er´es comme des sc´enarios, `a l’int´erieur duquel se trouve une relation d’ordre transitive et antir´eflexive <. Dans une structure temporelle, une histoire h est une suite temporelle maximale de moments li´es par la relation <, et Hw repr´esente l’ensemble des histoires qui
contiennent le moment w (Horty 2001, pp.6,8). Hw = {h : w ∈ h}
En ce sens, Hw repr´esente l’ensemble des suites d’´ev`enements possibles pouvant
passer par w. Un mod`ele temporel M = hU, <, ai est d´efini `a partir de la structure S, `
a laquelle on ajoute une fonction a qui d´etermine les paires moment/histoire auxquelles les propositions dans U appartiennent (Horty 2001, p.8).20 La v´erit´e dans le mod`ele est
d´efinie r´ecursivement (Horty 2001, pp.9-10)21:
|=M(w,h) p ⇔ (w, h) ∈ a(p) (1)
|=M(w,h) ¬A ⇔ 6|=M(w,h) A (2)
|=M(w,h) A ∧ B ⇔ |=M(w,h) A et |=M(w,h) B (3)
|=M(w,h) 2A ⇔ |=M(w,h0) A pour toute histoire h
0 ∈ H
w (4)
La v´erit´e et la validit´e sont d´efinies comme `a l’habitude, o`u valide signifie vrai pour toute interpr´etation M(w,h), c’est-`a-dire pour tout mod`ele M index´e `a une paire mo-
ment/histoire (Horty 2001, p.9).
Jusqu’`a pr´esent, seul un mod`ele temporel a ´et´e d´efini. Afin de pouvoir d´efinir un mod`ele stit, Horty (2001, p.11) introduit l’ensemble:
kAkMw = {h ∈ Hw : |=M(w,h) A}
Cet ensemble contient toutes les histoires h o`u la proposition A est vraie selon le mod- `ele M au moment w. Clairement, nous avons kAkMw ⊆ Hw, c’est-`a-dire que l’ensemble
qui contient les histoires o`u A est vrai pour w est un sous-ensemble de l’ensemble qui contient toutes les histoires qui passent par le moment w. Il est aussi ´evident que k¬AkM
w = Hw − kAkMw , `a savoir que l’ensemble qui contient les histoires o`u A est faux
est le compl´ement relatif `a Hw de l’ensemble qui contient les histoires o`u A est vrai. Un
mod`ele stit est obtenu en ajoutant un ensemble non vide d’agent(s) Ag et une fonction de choix Ch au mod`ele temporel (Horty 2001, p.14).
M = hU, <, Ag, Ch, ai La fonction de choix Chw
a est index´ee `a un moment w et `a un agent (ou groupe
d’agents) a. Informellement, la fonction Chw
a isole les histoires possibles qui s’offrent `a a
au moment w (Horty 2001, p.13). En ce sens, Chwa est un ensemble d’histoires.
L’auteur utilise l’expression Chwa(h) afin de r´ef´erer `a l’action que a pose au moment w afin d’obtenir l’histoire h (Horty 2001, p.13). Autrement dit, alors que Chw
a offre l’ensemble
des alternatives possibles, Chw
a(h) d´enote le choix effectu´e par a au moment w. Il s’agit
d’un ensemble d’histoires s´electionn´ees par les actions de a. La clause s´emantique ajout´ee pour obtenir un mod`ele stit est la suivante (Horty 2001, p.15).
|=M(w,h) [a stit]A ⇔ Ch
w
a(h) ⊆ kAk M
w (5)
20C’est-`a-dire que a(A) = {(w, h) : A ∈ w et w ∈ h}.
21Le mod`ele tel que d´efini dans le livre inclut des clauses pour les op´erateurs repr´esentant le pass´e et le futur. Cela dit, ces op´erateurs ne seront pas r´eutilis´es dans l’ouvrage, et de fait nous les avons laiss´es de cˆot´e.
Cette clause est justifi´ee par le fait que l’on assume que si un agent a r´ealise A (o`u A est une description du monde), alors A est vrai suite aux actions pos´ees par a.
The idea that an agent a sees to it that A is taken to mean that the truth of the proposition A is guaranteed by an action, or choice, of a (Horty 2001, p.12).
En ce sens, la clause signifie que s’il est vrai que a r´ealise A, alors l’ensemble des choix possibles que a peut faire au moment w et qui m`enent `a l’histoire h est un sous-ensemble de l’ensemble qui contient les histoires o`u la proposition A est vraie au moment w.
Notons au passage que cela marque la principale distinction entre l’approche de Broersen, bas´ee sur une logique Xstit, et la logique stit. Dans le mod`ele propos´e par Horty, l’effet de l’action est imm´ediat et prend place dans le mˆeme moment (dans le mˆeme sc´enario), alors que chez Broersen l’effet de l’action prend place dans le sc´enario suivant. La principale distinction entre Xstit et stit est que Xstit diff´erencie entre les sc´enarios et les moments alors que pour stit il s’agit de la mˆeme chose.
Soulignons aussi que Horty utilise en fait l’op´erateur [a cstit], qui repr´esente le « Chellas stit » (Horty 2001, p.14), inspir´e des travaux de Chellas (1969) et auquel nous avons r´ef´er´e par [a stit]. Horty (2001, p.16) met en opposition l’op´erateur [a cstit] avec un op´erateur d´elib´eratif [a dstit], lequel diff`ere du premier de par l’ajout d’une condition n´egative sur la clause s´emantique (Horty 2001, p.16).
|=M(w,h) [a dstit]A ⇔ Ch w a(h) ⊆ kAk M w et kAk M w 6= Hw
Cette condition n´egative vise `a rendre compte du fait que les ´etats du monde r´ealis´es par un agent apr`es d´elib´eration sont des ´etats qui n’´etaient pas in´evitables (Horty 2001, p.16). Autrement dit, l’op´erateur [a dstit] est caract´eris´e par le fait que si a r´ealise A apr`es d´elib´eration, alors A n’est ni une tautologie ni une n´ecessit´e historique.22 En effet, si kAkMw = Hw, alors A est vrai pour toute histoire passant par le moment w, et donc
par la clause (4) A est une n´ecessit´e historique. Cela dit, apr`es une discussion sur les vertus de chacun des op´erateurs (cf. Horty 2001, pp.16-19), Horty (2001, p.19) en vient `a montrer que les op´erateurs [a cstit] et [a dstit] sont interd´efinissables, et donc qu’il suffit de prendre le « Chellas stit » comme primitif (Horty 2001, p.29).
[a dstit]A =def [a cstit]A ∧ ¬2A (def. dstit)
En plus de d´evelopper un mod`ele qui permet de rendre compte de l’action d’un individu, Horty (2001, p.32) adapte le mod`ele afin rendre compte des actions faites en groupe (group agency). Pour ce faire, Horty (2001, p.31) introduit dans le mod`ele un ensemble Se de fonctions de s´election s : Ag −→ Hw qui associent une histoire `a un agent.
Sew = {s : s(a) ∈ Chwa}
Informellement, les fonctions de s´election isolent, lorsqu’elles sont regroup´ees, les histoires compatibles avec les choix de tous les agents. En effet, cette fonction doit satisfaire la condition (I), qui stipule que l’intersection de tous les s(a) pour tout a ∈ Ag n’est pas vide.23
\
a∈Ag
s(a) 6= ∅ (I)
Cette condition assure qu’il y a au moins une histoire h dans laquelle chaque agent peut r´ealiser son choix ind´ependamment du choix des autres agents (Horty 2001, p.31). `A l’aide de cet ensemble, Horty red´efinit la fonction Chw
Γ relativement `a un groupe d’agents
Γ ⊆ Ag.24
ChwΓ = {\
a∈Γ
s(a) : s ∈ Sew}
Cela fait, Horty (2001, p.32) modifie la clause s´emantique pour l’op´erateur [Γ stit] par: |=M(w,h) [Γ stit]A ⇔ Ch w Γ(h) ⊆ kAk M w (5’)
Il pose comme d´efinition:
[a stit]A =def [{a} stit]A (def. [a stit])
En mots, (5’) exprime qu’un groupe d’agent r´ealise A `a condition que l’ensemble des histoires accessibles au groupe soit sous-ensemble de l’ensemble qui contient les histoires o`u A est vrai.
La conception que Horty se fait de l’ensemble des choix d’un groupe s’explique par le fait qu’il consid`ere qu’un groupe d’agents se r´esume aux agents qui le composent.
As our example suggests, group actions can be defined as patterns of individual actions: an action available to a group of agents can be defined as an intersection of the actions available to the individual agents belonging to that group, one action for each agent (Horty 2001, p.30).
Notons que cette conception serait critiqu´ee par Carmo et Pacheco (2001, p.137), lesquels soutiennent qu’un groupe ne se r´eduit pas aux agents individuels qui le composent. Ayant expos´e sa logique de l’action, l’auteur en vient `a consid´erer les op´erateurs d´eontiques.25 L’auteur en vient `a d´evelopper un mod`ele utilitariste en introduisant une
23Soulignons que la notation devrait plutˆot ˆetre T
a∈Ag{s(a)} 6= ∅. La condition ne vise pas `a dire que chaque histoire s(a) contient au moins un mˆeme sc´enario, ce qui est trivial consid´erant que chaque h ∈ Hw, mais bien que l’ensemble des histoires accessibles lorsque l’on consid`ere chaque agent n’est pas vide.
24Idem: nous devrions plutˆot lire Chw Γ =
T
a∈Γ{s(a)} : s ∈ Sew.
25Par souci d’´economie, nous ne consid´ererons que les op´erateurs de type Ought-to-be et Ought-to-do, laissant de cˆot´e les obligations conditionnelles analys´ees `a l’aide d’une relation de pr´ef´erence.
fonction de valeur V ainsi qu’un ordre partiel v. Le mod`ele utilitariste g´en´eral est d´efini `
a partir d’un mod`ele stit.
M = hU, <, Ag, Ch, a, V, vi
Soulignons que le mod`ele utilitariste ne pr´esuppose aucune th´eorie morale autre qu’une forme d’utilitarisme en son sens large (Horty 2001, p.38). En effet, l’auteur ne pr´ecise pas quels crit`eres permettent de d´eterminer l’ordre partiel, mais ne fait que pr´e- supposer une s´emantique des pr´ef´erences qui assume que certains sc´enarios sont meilleurs que d’autres, nonobstant ce que signifie la relation ˆetre meilleur que. Informellement, la fonction Vw(h) d´etermine la valeur d’un moment w relativement `a une histoire h. La rela-
tion d’ordre partiel v est une relation r´eflexive, transitive et antisym´etrique et repr´esente informellement la pr´ef´erence. Le mod`ele doit satisfaire deux conditions (Horty 2001, p.41): 1. V : U × ℘(U ) −→ R est une fonction qui associe `a chaque paire (w, h) une valeur
dans les nombres r´eels;
2. l’assignation de valeurs pour une histoire ne varie pas d’un moment `a l’autre, c’est- `
a-dire que Vw(h) = Vw0(h) pour tout moment w ∈ h et w0 ∈ h.
La premi`ere condition vise simplement `a fournir un moyen de quantifier la valeur accord´ee `a une histoire alors que la seconde signifie que la valeur d’une histoire est bas´ee sur l’histoire dans son ensemble. La clause s´emantique pour O est repr´esent´ee par (6).
|=M(w,h)OA ⇔ il y a h
0 ∈ H
w t.q. (6)
1. |=M(w,h0) A et
2. |=M(w,h00) A pour tout h00∈ Hw t.q. Vw(h0) v Vw(h00)
Autrement dit, il est vrai que A devrait ˆetre pour un moment w dans la mesure o`u A est vrai dans au moins une histoire h0 qui passe par w et o`u A est vrai pour toute autre histoire qui a une plus grande valeur que h0 (Horty 2001, p.37). La premi`ere sous-condition assure qu’il est possible de r´ealiser A alors que la seconde implique que toute histoire o`u A est vrai a plus de valeur qu’une histoire o`u A est faux.
Bien que Horty (2001, p.45) propose une analyse de ce qui doit ˆetre fait en termes de ce qui doit ˆetre, ce dernier en vient `a d´efinir un op´erateur primitif pour repr´esenter ce qui doit ˆetre fait plutˆot que de le d´efinir en fonction de O. La principale raison pour cette manœuvre est que la r´eduction de ce qui doit ˆetre fait `a ce qui doit ˆetre pose probl`eme dans un cadre utilitariste (cf. Horty 2001, p.58 et le gambling problem). Horty (2001, p.74) introduit l’op´erateur , lequel ne porte que sur des expressions bien form´ees de type [a stit]A et signifie que l’agent a doit r´ealiser A. Informellement, la clause s´emantique pour cet op´erateur est que a doit r´ealiser A `a condition que pour toute action accessible `a a pour un moment w qui ne garantit pas la v´erit´e de A, il y a une autre action pr´ef´erable qui la garantit (Horty 2001, p.77). Afin de bien saisir cette clause, il faut cependant introduire
quelques notions. Consid´erons d’abord le cas de la pr´ef´erence entre les propositions (Horty 2001, p.60). Une proposition A est dite pr´ef´erable `a une proposition B pour un moment w `a condition que toute histoire o`u A est vrai pour w soit pr´ef´erable `a toute histoire o`u B est vrai pour w. Formellement:
B v A ⇔ kBkMw v kAkMw
⇔ V (h) v V (h0) pour tout h ∈ kBkMw et h0 ∈ kAkMw Soit Sw
a = ChwAg−{a} l’ensemble qui comprend les choix accessibles `a tous les agents
excluant ceux accessibles `a l’agent a (Horty 2001, p.67). Chaque s ∈ Saw repr´esente une histoire accessible `a un agent autre que a. L’expression k ∩ s repr´esente l’intersection entre deux histoires `a un moment w. Autrement dit, k ∩ s repr´esente ce qui est vrai conjointement de k et de s au moment w. En ce sens, k ∩ s peut ˆetre vue comme une proposition complexe qui d´ecrit ce qui est vrai de w `a la fois dans l’histoire k et l’histoire s. Ayant cela en tˆete, Horty (2001, p.68) introduit une relation de dominance entre les choix (actions) des agents. Informellement, cette relation vise `a exprimer que l’histoire r´ealis´ee par un agent (en vertu de ses actions ou de ses choix) est pr´ef´erable `a une autre dans la mesure o`u les actions de l’agent m`enent `a une histoire qui a une plus grande valeur peu importe les actions des autres agents. Si l’on consid`ere que k ∩ s repr´esente la suite des ´ev`enements qui prend place apr`es les actions de a avec celles d’un autre agent b, alors la relation de dominance exprime que k est pr´ef´erable `a toute autre histoire k0 accessible `
a a peu importe le choix de n’importe quel agent b.26 Formellement, nous avons: k k0 ⇔ k ∩ s v k0∩ s pour tout s ∈ Sw
a
Autrement dit, k domine k0 `a condition que k soit pr´ef´erable `a k0 nonobstant les actions des autres agents. Ayant tout cela en tˆete, la clause s´emantique pour s’exprime formellement par la condition suivante (Horty 2001, p.77)27:
|=M(w,h) [a stit]A ⇔ pour tout k ∈ Ch
w a t.q. k /∈ kAk M w (7) il y a k0 ∈ Chwa t.q. 1. k ≺ k0 2. k0 ∈ kAkMw
3. k00 ∈ kAkMw pour tout k00 ∈ Chw a t.q. k
0 k00
En mots, cela signifie qu’il est vrai que a doit r´ealiser A au moment w `a condition que pour toute histoire k o`u A est faux, il y a une histoire k0 o`u A est vrai qui est strictement
26On trouve une coquille au niveau de la notation dans l’approche de Horty relativement `a la relation de dominance. En effet, relativement `a la condition (7), ce dernier ´ecrit k ⊆ kAkMw plutˆot que k ∈ kAkMw . Or, k est une histoire et kAkMw est un ensemble d’histoire, et de fait k peut ˆetre un membre de kAkMw mais n’est pas un sous-ensemble.
27Notons que Chw
a doit ˆetre fini afin de s’assurer qu’il y ait au moins une suite d’´ev`enements pr´ef´erable. Voir Horty (2001, p.73) pour l’argument en faveur de cette condition.
pr´ef´erable `a k et pour laquelle toute autre histoire k00 o`u A est vrai est pr´ef´erable `a k0.