La logique d´eontique dynamique est d’abord apparue avec les travaux de Meyer (1987, 1988), qui cherchait `a r´epondre aux paradoxes du bon Samaritain et de Forrester. La principale distinction entre la logique stit et la logique dynamique est que cette derni`ere distingue entre les propositions et les actions. Contrairement `a la logique stit, la logique dynamique permet de distinguer entre les effets d’une action et l’action elle-mˆeme.2 Le langage
L = {P rop, Act, (, ), [ ], ; , &, → /, ∪,¯, ∨, ∧, ⊃, ≡, ¬}
est construit `a partir des connecteurs habituels, auxquels on ajoute un op´erateur [ ] ainsi que cinq connecteurs pour les actions. Tout comme pour l’op´erateur stit, l’utilisation des crochets a pour objectif de marquer la similarit´e avec l’op´erateur2. Soit
Act = {∅, U, a1, ..., an, ...}
un ensemble d´enombrable d’actions atomiques et
P rop = {V, p1, .., pn, ..}
un ensemble d´enombrable d’atomes propositionnels. La constante V repr´esente une vi- olation dans un sc´enario et les constantes d’action ∅ et U repr´esentent respectivement l’action qui ´echoue et l’action universelle. Les connecteurs pour les actions se lisent de la mani`ere suivante (Meyer 1988, p.111):
1. ¯α: non α (l’action n´egative, ni´ee); 2. α&β: α et β (la conjonction d’actions); 3. α; β : α et ensuite β (la s´equence d’actions); 4. α∪β: α ou β (le choix inclusif);
5. A → α/β: si A, alors α, sinon β (l’action conditionnelle).
6. [α]A: si α est r´ealis´ee, alors A est une description vraie du monde.3
`
A l’instar des logiques modales, l’op´erateur [ ] poss`ede un op´erateur dual (Meyer 1988, p.114).
hαiϕ =def ¬[α]¬ϕ (def. h i)
2Pour une introduction `a la logique dynamique, voir Harel et al. (2000).
Consid´erons maintenant l’ensemble d’actions complexes Act∗, d´efini r´ecursivement par:
1. si α ∈ Act, alors α ∈ Act∗;
2. si α, β ∈ Act∗, alors ¯α, α; β, α&β, α ∪ β ∈ Act∗.
L’ensemble des expressions bien form´ees EBF est d´efini r´ecursivement de la mani`ere suivante:
1. si p ∈ P rop, alors p ∈ EBF ;
2. si A, B ∈ EBF , alors ¬A, A ⊃ B, A ∨ B, A ∧ B, A ≡ B ∈ EBF ; 3. si A ∈ EBF et α, β ∈ Act∗, alors A → α/β ∈ Act∗;
4. si α, β ∈ Act∗ et A ∈ EBF , alors [α]A ∈ EBF .
Tel que susmentionn´e, une logique d´eontique est dite r´eductible lorsque les op´erateurs d´eontiques se d´efinissent `a l’aide d’´enonc´es qui ne contiennent pas d’op´erateur d´eontique, et donc qu’aucun op´erateur d´eontique n’est pris en tant que primitif (Anglberger 2009, p.180). Dans le cas de la logique d´eontique dynamique, Meyer offre une r´eduction `a l’image de celle pr´esent´ee par Anderson (1958a), lequel d´efinissait Op par2(¬p ⊃ S), c’est-`a-dire « n´ecessairement, si p est faux, alors il y aura une sanction S ». Inspir´e de ce genre de r´eduction, Meyer (1988, p.111) propose les d´efinitions suivantes.
F α =def [α]V (def. F)
Oα =def F ¯α (def. O)
P α =def ¬F α (def. P)
Une action α est interdite si sa performance implique une violation V , elle est obli- gatoire si sa n´egation est interdite, et elle est permise lorsqu’elle n’est pas interdite. Dans le langage de la logique dynamique, O et P signifient:
Oα ≡ [ ¯α]V P α ≡ ¬[α]V
L’axiomatisation de la logique d´eontique dynamique propositionnelle P DeL est simi-
laire `a celle du syst`eme modal K, auquel on ajoute d’autres axiomes afin de rendre compte des relations entre les connecteurs pour actions (Meyer 1988, pp.115-6). `A l’instar de K, P DeL pr´esuppose les axiomes du calcul des propositions, l’axiome de distribution (Dist)
pour [ ], le modus ponens et la r`egle de g´en´eralisation (Nec).
` A (Nec) ` [α]A ` A ⊃ B, ` A (MP) ` B `
A cela s’ajoutent les axiomes pour les actions.
[α]A ≡ [α]A (A1)
[α; β]A ≡ [α]([β]A) (A2)
[α; β]A ≡ [α]A ∧ [α]([β]A) (A3)
[α∪β]A ≡ [α]A ∧ [β]A (A4)
[α]A ∨ [β]A ⊃ [α∪β]A (A5)
[α]A ∨ [β]A ⊃ [α&β]A (A6)
[α]A ∧ [β]A ≡ [α&β]A (A7)
[A → α/β]B ≡ (A ⊃ [α]B) ∧ (¬A ⊃ [β]B) (A8)
[A → α/β]B ≡ (A ⊃ [α]B) ∧ (¬A ⊃ [β]B) (A9)
[∅]A (A10)
L’axiome (A1) exprime le tiers exclu du point de vue de l’action, `a savoir qu’une action est ´equivalente `a la n´egation de sa n´egation. (A2) signifie que l’expression « l’action α suivie de l’action β entraˆıne A » est ´equivalente `a « si l’action α est r´ealis´ee, alors si l’action β est r´ealis´ee alors A est une description vraie du monde ». Soulignons que cet axiome implique que le connecteur pour la s´equence d’actions n’est pas primitif, et que par cons´equent celui-ci aurait pu ˆetre omis.
L’axiome (A3) exprime que si la n´egation de l’action « α suivie de β » entraˆıne A, alors la n´egation de α entraˆıne A et α entraˆıne que la n´egation de β entraˆıne A. Autrement dit, si A est la cons´equence de la n´egation de l’action combin´ee α; β, alors A est r´ealis´e suite `a non α, et, suite `a α, A est r´ealis´e suite `a non β.
(A4) signifie que si A est vrai apr`es un choix entre α ou β, alors A est vrai apr`es que α soit ex´ecut´e et apr`es que β le soit. (A5) exprime que si la n´egation de α m`ene `a A ou la n´egation de β m`ene `a A, alors la n´egation de l’action disjointe α∪β m`ene aussi `a A. De la mˆeme mani`ere, (A6) signifie que si α m`ene `a A ou β m`ene `a A, alors l’action conjointe de α et β y m`ene aussi. Les axiomes (A5) et (A6) doivent cependant mettre en jeu des actions qui ont la mˆeme dur´ee dans le temps.
(A7) stipule que si la n´egation de α m`ene `a A, de mˆeme que la n´egation de β, alors la n´egation de l’action conjointe de α et β y m`enera aussi (et vice versa). L’action conditionnelle, quant `a elle, n’a pas `a ˆetre comprise dans les mˆeme termes que pour une implication mat´erielle. En termes simples, A → α/β signifie que A entraˆıne α et que ¬A entraˆıne β. En ce sens, si cela m`ene `a une description B, alors A entraˆıne que α m`ene `
conditionnelle et l’interpr´etation de (A9). L’expression A → α/β signifie que A entraˆıne non α et que ¬A entraˆıne non β. Notons que ce connecteur ne sera pas utilis´e par la suite. Finalement, l’axiome (A10) signifie qu’une action impossible m`ene `a n’importe quel ´etat. Du cˆot´e de la s´emantique, Meyer (1988, p.127) introduit les notions d’ensemble de simultan´eit´e (synchronicity set ) et de trace de simultan´eit´e. Les ensembles de simultan´eit´e S1, ..., Sn, ..., sont tels que Si est fini, Si 6= ∅ et Si ⊂ Act, et une trace de simultan´eit´e est
une suite ti d’ensembles de simultan´eit´e (laquelle peut ˆetre finie ou non). Ces notions sont
introduites afin de pouvoir rendre compte formellement de la s´emantique qui gouverne les op´erateurs d’action. Informellement, un ensemble de simultan´eit´e correspond `a un sc´enario o`u les actions (atomiques) sont faites au mˆeme moment (ou dans la mˆeme p´eriode de temps) et une trace de simultan´eit´e correspond `a une histoire (voire `a l’´evolution d’un sc´enario).
L’id´ee derri`ere ces notions est qu’une action r´ef`ere aux sc´enarios dans lesquels elle est pos´ee (Meyer 1988, p.128). Afin de pouvoir isoler certaines parties des diff´erentes traces de simultan´eit´e, Meyer (1988, p.128) introduit une fonction de pertinence, qui attribue 1 `
a un ensemble de simultan´eit´e lorsque celui-ci est pertinent et 0 lorsqu’il ne l’est pas, ce qui est not´e S(i).
Soit T1, ..., Tn des ensembles de traces de simultan´eit´e. Meyer (1988, p.128) d´efinit le
domaine du mod`ele comme la collection C d’ensembles qui contiennent des traces infinies, lesquelles contiennent une partie finie pertinente suivie d’une partie infinie non pertinente. Par exemple, T2 peut contenir t1 = S
(1) 1 , S
(1) 4 , S
(0)
5 ..., o`u S1et S4forment la partie pertinente
de t, suivie d’une partie non pertinente infinie. Afin de rendre compte des connecteurs pour l’action conjointe et l’action ni´ee, Meyer d´efinit un op´erateur ∩· pour l’intersection entre les ensembles de simultan´eit´e. S(i1)
1 ∩· S (i2) 2 = S(j) si S1 = S2 = S (o`u j = i1 si i2 ≤ i1, sinon j = i2), sinon S (i1) 1 ∩· S (i2) 2 = ∅ lorsque S1 6= S2.
Comme Meyer (1988, p.129) le mentionne, l’intersection d´efinie par T1∩· T2 est sim-
ilaire `a l’intersection T1 ∩ T2 `a la diff´erence que la premi`ere prend en compte les traces
pertinentes. L’intersection entre deux traces isole les ensembles de simultan´eit´e qui ap- partiennent aux deux traces en plus d’y associer le plus haut niveau de pertinence. En plus de cette nouvelle op´eration, Meyer introduit aussi une op´eration pour rendre compte s´emantiquement de l’action ni´ee: ∼ S(i) = (℘(Act)−S)(i), o`u ℘(Act)−S est le compl´ement de S par rapport `a l’ensemble des parties de Act.
Cela fait, Meyer (1988, p.129) introduit les conditions s´emantiques pour les op´era- teurs d’action. Soit kαk l’ensemble qui contient toutes les traces possibles o`u α peut avoir lieu. Cet ensemble est construit dans le mˆeme esprit que kVAk au chapitre 2: il isole tous
les sc´enarios o`u α peut ˆetre pos´ee (et donc o`u « α est r´ealis´ee » est vrai). Les conditions s´emantiques sont d´efinies r´ecursivement, o`u S1 ◦ S2 est la composition d’ensembles de
kak = {Si : a ∈ Si}(1)◦ (℘(Act)(0))ω (1) kαk = ∼ kαk (2) kα; βk = cut(kαk) ◦ kβk (3) kα∪βk = kαk ∪ kβk (4) kα&βk = kαk ∩· kβk (5) k∅k = ∅ (6) kU k = ℘(Act)(1)◦ (℘(Act)(0))ω (7)
En mots, (1) signifie que l’ensemble qui contient toutes les traces possibles o`u une action atomique a est r´ealis´ee correspond `a un ensemble de traces qui est compos´e de tous les ensembles de simultan´eit´e pertinents qui contiennent a suivi de toutes les combinaisons non pertinentes possibles. (2) signifie que l’ensemble qui contient les traces possibles o`u l’action ni´ee α est r´ealis´ee ´equivaut au compl´ement (relativement `a ℘(Act)) de l’ensemble qui contient toutes les traces possibles o`u α est r´ealis´ee.
La troisi`eme condition indique que l’ensemble qui contient toutes les traces possibles o`u l’action α suivie de β est r´ealis´ee est la composition de l’ensemble qui contient les traces pertinentes possibles o`u α est r´ealis´ee avec celui qui contient les traces possibles o`u β l’est. (4) exprime que l’ensemble qui contient les traces possibles o`u l’action disjointe α∪β est r´ealis´ee correspond `a l’union des ensembles qui contiennent respectivement les traces possibles o`u α et β sont r´ealis´ees.
La condition (5) stipule que l’ensemble qui contient les traces possibles o`u l’action conjointe α&β est r´ealis´ee correspond `a l’intersection qui contient les traces pertinentes possibles o`u respectivement α et β sont r´ealis´ees. (6) indique que l’ensemble qui contient les traces possibles o`u l’action impossible est r´ealis´ee est vide, et finalement (7) stipule que l’ensemble qui contient les traces possibles o`u l’action universelle est r´ealis´ee ´equivaut `
a l’ensemble des parties pertinentes de Act compos´e avec toute les combinaisons non pertinentes possibles.
Ayant maintenant `a sa disposition une s´emantique pour les actions, Meyer (1988, p.133) doit faire le pont entre les traces d’actions possibles et les sc´enarios possibles qui peuvent en r´esulter. Soit W 6= ∅ l’univers du discours qui contient des sc´enarios possibles et r : ℘(Act) × W −→ W une fonction qui identifie l’´etat r(Si, w) subs´equent `a w lorsque
les actions de Si sont accomplies. La fonction R est d´efinie r´ecursivement `a partir de r
(Meyer 1988, p.133):
R(Si, w) = r(Si, w)
R(ti◦ tj, w) = R(tj, R(ti, w))
Consid´erant qu’une trace ti est une suite de Sj, la seconde condition stipule que
sont r´ealis´ees ´equivaut `a l’´etat subs´equent de « l’´etat subs´equent de w lorsque ti est r´eal-
is´e » lorsque tj est r´ealis´e. Autrement dit, l’´etat subs´equent pour une combinaison ti ◦ tj
se comprend de la mani`ere suivante: soit v l’´etat subs´equent de w lorsque ti est r´ealis´e,
i.e. R(ti, w) = v, alors l’´etat subs´equent de ti◦ tj pour w est l’´etat subs´equent de tj pour
v, i.e. R(ti◦ tj, w) = R(tj, v).
´
Etant donn´e Ti un ensemble de traces, R(Ti, w) correspond `a l’ensemble qui contient
les sc´enarios v pour lesquels v est l’´etat subs´equent de w pour une trace ´el´ement de Ti.
R(Ti, w) = {v : v = R(t, w) pour un t ∈ Ti}.
`
A l’aide de cette fonction, Meyer (1988, p.134) d´efinit la fonction
kαkR(w) = R(cut(kαk), w) (def. kkR)
qui permet d’isoler l’´etat subs´equent `a w par rapport `a l’ensemble qui contient les traces pertinentes possibles qui contiennent α. Autrement dit, cut(kαk) isole les traces perti- nentes `a l’int´erieur de kαk et kαkR(w) isole les ´etats subs´equents possibles relativement
aux traces pertinentes de kαk.
Cela fait, il est maintenant possible de red´efinir kαk de fa¸con `a prendre en compte l’´etat w dans lequel on se trouve.
kak(w) = {Si : a ∈ Si}(1)◦ (℘(Act)(0))ω (1’) kαk(w) = ∼ kαk(w) (2’) kα; βk(w) = cut(kαk(w)) ◦ kβk(kαkR(w)) (3’) kα∪βk(w) = kαk(w) ∪ kβk(w) (4’) kα&βk(w) = kαk(w) ∩· kβk(w) (5’) k∅k(w) = ∅ (6’) kU k(w) = ℘(Act)(1)◦ (℘(Act)(0))ω (7’) Seule la signification de la clause (3) change: l’ensemble qui contient toutes les traces possibles o`u l’action α suivie de β est r´ealis´ee dans w est la composition de l’ensemble qui contient les traces pertinentes possibles o`u α est r´ealis´ee dans w avec celui qui contient les traces possibles o`u β est r´ealis´ee dans l’´etat subs´equent `a w relativement `a l’ensemble qui contient les traces pertinentes qui contiennent α. Consid´erant que l’action α; β mar- que la r´ealisation de deux actions cons´ecutives, l’´etat dans lequel β est r´ealis´ee est l’´etat subs´equent de celui dans lequel α est r´ealis´ee. Dans les autres cas, il suffit de rajouter un « relativement `a l’´etat w » `a la lecture que nous avons propos´e des clauses (1)–(7).
Ayant fait le pont entre la s´emantique relative aux actions et celle des propositions, Meyer (1988, p.134) est en mesure d’exprimer la condition pour l’op´erateur d’action con- ditionnelle → /.
kA //α/βk(w) =(kαk(w) si |=w A kβk(w) si 6|=w A
`
A cela s’ajoute la clause (9’), qui est une l´eg`ere modification de (def. kkR) o`u l’on
indexe kαk `a w.
kαkR(w) = R(cut(kαk(w)), w) (9’)
Tout ce mat´eriel nous permet d’en arriver `a la condition de v´erit´e pour [α]A. |=w [α]A ⇔ |=v A pour tout v ∈ kαkR(w)
En mots, cela signifie qu’il est vrai que r´ealiser l’action α entraˆıne A pour un sc´enario w `a condition que A soit vrai pour toute alternative subs´equente v r´esultant de l’action α. Malgr´e que le mod`ele ne soit pas explicitement d´efini chez Meyer, il est possible de repr´esenter la s´emantique `a l’aide d’un mod`ele M = hW, Act, kk(), r, V i, o`u W est l’univers (non vide) du discours, Act est un ensemble d’actions atomiques, kk() est une fonction qui d´etermine l’ensemble des traces pertinentes possibles relativement `a un sc´enario, r une fonction qui d´etermine les ´etats subs´equents possibles et V (A) une fonction qui d´etermine l’ensemble qui contient tous les sc´enarios o`u une proposition A est vraie. Les clauses pour les autres connecteurs sont d´efinies de mani`ere habituelle.
Meyer proposera d’augmenter P DeL avec un axiome de coh´erence pour les obliga-
tions similaire `a l’axiome (D), et il proposera l’introduction de plusieurs constantes de violation afin de rendre compte des conflits normatifs.
En somme, le principal attrait de la logique d´eontique dynamique est que celle- ci permet une distinction nette entre les actions et les propositions, ce qui permet une repr´esentation plus ad´equate des propositions normatives dans la mesure o`u O porte sur des actions plutˆot que sur des propositions. Par surcroˆıt, la logique dynamique poss`ede un avantage sur la logique stit consid´erant qu’elle permet de distinguer entre l’action et son effet dans le monde. Le lecteur trouvera une analyse approfondie de l’approche de Meyer au chapitre 14.