Les logiques i/o offrent un cadre de travail diff´erent de celui des logiques modales et sont apparues chez Makinson et van der Torre (2000). Plutˆot que de tenter de d´evelopper une logique d´eontique qui soit en mesure de rendre compte de l’inf´erence normative dans sa totalit´e, ceux-ci introduisent les logiques i/o en guise d’assistants qui peuvent ˆetre utilis´es afin d’aider un processus de transformation (Makinson et van der Torre 2000, p.384). Les logiques i/o sont `a comprendre en termes d’entr´ee et de sortie: on cherche `a d´eterminer certaines r`egles qui permettent de gouverner le processus de transformation qui part d’un input et donne un output.
D’entr´ee de jeu, on consid`ere un langage propositionnel bool´een (qui ob´eit aux r`egles de la logique propositionnelle classique) `a l’aide duquel on d´efinit des paires (a, x) ∈ EBF × EBF , lesquelles sont interpr´et´ees comme des r`egles qui d´eterminent le output x relativement `a l’input a (Makinson et van der Torre 2001, p.155).1 Mˆeme si le parall`ele peut ˆetre fait entre une paire (a, x) et un conditionnel a ⊃ x, la paire ne doit pas ˆetre entendue au sens de l’implication mat´erielle. Cela se comprend notamment en raison du fait qu’une norme (exprim´ee par une paire) est sans valeur de v´erit´e (Makinson et van der Torre 2003b, p.163), sans compter que les r`egles qui gouvernent les paires diff`erent
1Par convention les premi`eres lettres de l’alphabet sont souvent utilis´ees comme des constantes et les derni`eres comme des variables, alors que les lettres p, q, r sont utilis´ees comme variables propositionnelles. Ici, les premi`eres lettres de l’alphabet sont utilis´ees comme variables propositionnelles pour input et les derni`eres comme variables propositionnelles pour output. Par ailleurs, EBF ici est l’ensemble des expressions bien form´ees de la logique propositionnelle classique.
de celles qui r´egissent l’implication.
Un ensemble g´en´erateur G ⊆ EBF × EBF est un ensemble qui contient des paires (a, x) et l’ensemble G(A) = {x : (a, x) ∈ G pour certains a ∈ A} est un ensemble qui contient le outputs x pour certains a ´el´ements d’un ensemble de propositions A relative- ment `a l’ensemble g´en´erateur G. Autrement dit, G est un ensemble de r`egles (de normes) et G(A) est un ensemble de propositions contenant les outputs x pour lesquels a ∈ A et (a, x) ∈ G.
Makinson et van der Torre (2001, p.156) introduisent l’op´eration out(G, A), qui, `a partir d’un ensemble g´en´erateur et d’un ensemble de inputs, donne un ensemble de outputs. Cette op´eration est utilis´ee afin de d´efinir quatre op´erateurs, qui `a leur tour donneront quatre logiques i/o. Soit Cn(A) l’ensemble des cons´equences classiques de A. Soulignons que > ∈ out(G, A) pour toute tautologie classique. Les op´erateurs (qui repr´esentent des op´erations sur des ensembles) sont:
out1(G, A) =def Cn(G(Cn(A)))
out2(G, A) =def \ V Cn(G(V )) t.q. A ⊆ V et V est complet out3(G, A) =def \ B Cn(G(B)) t.q. B = Cn(B), A ⊆ B et G(B) ⊆ Cn(B) out4(G, A) =def \ V Cn(G(V )) t.q. A ⊆ V, G(V ) ⊆ V et V est complet
Examinons chacune de ces d´efinitions une par une.2 La premi`ere d´efinition est telle
que l’ensemble qui contient les outputs pour les paires de G form´ees `a partir des inputs de A est l’ensemble qui contient les cons´equences logiques de l’ensemble qui contient les paires ayant pour inputs les cons´equences logiques de A. Reprenons cette d´efinition `a l’envers: Cn(A) repr´esente l’ensemble des cons´equences de l’ensemble de propositions A. Autrement dit,
Cn(A) = {x : a ∈ A et a `LC x}.
L’ensemble G(Cn(A)) correspond `a l’ensemble qui contient les outputs pour lesquels l’ensemble qui contient les cons´equences de A sont des inputs. Si par exemple G = {(a, x), (a ∨ b, y)}, alors G(a) = {x} et G(Cn(a)) = {x, y}.3 Le output de type
1 est par d´efinition l’ensemble qui contient les cons´equences logiques de G(Cn(A)). In- formellement, on entre l’ensemble A comme input, on consid`ere ses cons´equences, ensuite on consid`ere le output des cons´equences de A (relativement `a G) et enfin les cons´equences du output des cons´equences de A.
La seconde d´efinition requiert l’introduction de la notion d’ensemble complet. Un ensemble est complet lorsqu’il est soit maximalement consistant (i.e., Γ tel que pour tout
2A partir de ces d´` efinitions, les auteurs introduisent aussi out+
i (G, A) = outi(G+, A) avec G+= G ∪ I et I = {(a, a) : a ∈ EBF }. Nous laissons ces d´efinitions de cˆot´e par souci d’´economie. Les auteurs notent que out+2 = out+4 et que cela redonne la logique classique.
3Afin de faciliter la lecture, les auteurs ´ecrivent G(a) ou Cn(a) plutˆot que G({a}) ou Cn({a}) lorsqu’il s’agit d’un singleton.
A ∈ EBF , soit A ∈ Γ ou ¬A ∈ Γ et ⊥ /∈ Γ) ou qu’il est ´equivalent `a l’ensemble de toutes les propositions du langage (Makinson et van der Torre 2001, p.156). Conform´ement au lemme de Lindenbaum, `a savoir que tout ensemble consistant poss`ede une extension max- imalement consistante, il est possible de construire un nombre d´enombrable d’extensions maximalement consistantes pour un ensemble (consistant) de inputs A. Un ensemble complet est un ensemble auquel on ne peut rien ajouter de plus. Dans le cas d’un ensem- ble maximalement consistant, on ne peut rien ajouter de plus sans briser sa consistance Lorsqu’il s’agit de l’ensemble de tous les ´enonc´es du langage, alors clairement rien ne peut y ˆetre ajout´e puisque tous les ´enonc´es s’y trouvent. Dans l’´eventualit´e o`u l’ensemble correspond `a tous les ´enonc´es du langage, ce dernier est trivialement inconsistant.
La d´efinition de out2 consid`ere l’intersection de tous les ensembles des cons´equences
des outputs qui ont V comme input, o`u V est une extension compl`ete de A. Par opposition avec out1 qui ne fait que consid´erer l’ensemble de inputs, out2 permet de prendre en con-
sid´eration tout ce qui est commun avec toute extension compl`ete de l’ensemble de inputs. En plus de consid´erer les outputs de A relativement `a G (ainsi que leurs cons´equences), on consid`ere aussi les outputs des extensions maximalement consistantes de A. Par exemple, si G contient des paires pour lesquelles le input n’est pas ´el´ement de A, alors out2 permet
d’isoler les outputs qui sont consistants avec les outputs de A.
La troisi`eme d´efinition (qui ressemble `a la deuxi`eme) fait appel aux conditions B = Cn(B) et A ⊆ B, ce qui peut sembler ´etrange `a premi`ere vue. En fait, il suffit de remarquer que EBF = Cn(EBF ) et que V = Cn(V ) pour un ensemble V maximalement consistant. Par surcroˆıt, il est trivial que Cn(Cn(A)) = Cn(A) puisque la cons´equence est transitive (i.e., les cons´equences des cons´equences de A sont des cons´equences de A). En ce sens, il est possible de consid´erer toute extension B de A sans pour autant que B soit compl`ete. Il suffit d’avoir B = Cn(X) avec A ⊆ X, ce qui trivialement donne A ⊆ B.
La troisi`eme condition de la d´efinition, soit que G(B) ⊆ Cn(B), signifie que l’ensemble des outputs qui ont B comme input (relativement `a G) est sous-ensemble de l’ensemble des cons´equences de B. De fait, les outputs peuvent ˆetre r´eutilis´es comme inputs. Sachant que G(B) ⊆ Cn(B), cela implique que Cn(G(B)) ⊆ Cn(B): B contient toutes ses con- s´equences et contient G(B), et donc contient toutes les cons´equences de G(B). Mais puisque Cn(G(B)) ⊆ Cn(B), il s’ensuit que l’ensemble des cons´equences de l’ensemble qui contient les outputs qui ont B comme input fait partie de l’ensemble des cons´equences de B. ´Etant donn´e que B est consid´er´e comme input dans G(B), il s’ensuit que les outputs de G(B) sont aussi d’embl´ee consid´er´es en tant qu’inputs. La d´efinition de out3 donne
l’intersection des ensembles de cons´equences de outputs qui ont pour inputs B (relative- ment `a G) lorsque B ´equivaut `a l’ensemble de ses cons´equences, A est sous-ensemble de B et l’ensemble des outputs qui ont pour input B fait partie de B. Cette derni`ere condition am`ene la possibilit´e de r´eutiliser les outputs comme inputs.
Une fa¸con peut-ˆetre un peu plus simple de voir la chose serait de d´efinir out3(G, A) = Cn(G(A∗)) o`u A∗ est le plus petit ensemble ferm´e sous Cn et G tel que
A ⊆ A∗ (Makinson et van der Torre 2000, p.393). Autrement dit, A∗ est le plus petit en- semble pour lequel A est un sous-ensemble et qui est ferm´e sous la relation de cons´equence
et G.
En dernier lieu, la d´efinition de out4 est `a l’image de celle de out2, `a l’exception
que l’on permet de reprendre les outputs comme inputs `a l’instar de out3. Il s’agit de
prendre l’intersection des cons´equences de toute extension compl`ete V de A o`u l’ensemble des outputs de V est sous-ensemble de V .
´
Evidemment, les outputs varient en fonction de l’ensemble g´en´erateur G. Les auteurs nomment ces d´efinitions respectivement le simple minded output, le basic output, le reusable simple minded output et le reusable basic output. Les points cruciaux `a souligner sont que les inputs ne se retrouvent pas dans les outputs (sauf pour les out+i ) et que la contraposition ne s’applique pas dans chacun des cas (Makinson et van der Torre 2000, p.407)
Le lecteur qui consulte les articles portant sur les logiques i/o ne verra peut-ˆetre pas tout de suite ce qui distingue les quatre types de output du point de vue de la s´emantique, sans compter que certains exemples donn´es par les auteurs contribuent `a engendrer la confusion. Par exemple, Makinson et van der Torre (2001, p.159) donnent l’exemple suivant.
Exemple 6.1. Soit G = {(>, ¬a), (a, x)}). Dans ce cas, outi(G, a) = Cn({¬a, x} pour
i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Consid´erons chacun des outputs.
1. out1(G, a) = Cn(G(Cn(a))) et puisque >, a ∈ Cn(a) il s’ensuit que G(Cn(a)) =
{¬a, x} et donc que out1(G, a) = Cn({¬a, x}).
2. Si l’on prend en compte tout G(V ) pour toute extension compl`ete V de a, nous ob- tiendrons encore G(V ) = {¬a, x} pour chaque V , et de fait out2(G, a) =T Cn(G(V )) =
{¬a, x}.
3. G(B) o`u B = Cn(B) et {a} ⊆ B donne aussi seulement G(B) = {¬a, x}, donc out3(G, a) =T Cn(G(B) = {¬a, x}.
4. Le mˆeme raisonnement s’applique que pour 2 et 3.
Mais alors, qu’est-ce qui diff´erencie chacun des outputs? D’abord, il faut insister sur le fait que l’intersection dans les d´efinitions susmentionn´ees ne porte pas sur V mais bien sur Cn(G(V )). Voyons deux exemples afin de mettre en lumi`ere les diff´erences qui se trouvent entre le simple minded et le basic output, d’un cˆot´e, et le simple minded et le reusable simple minded output de l’autre.
Consid´erons l’ensemble G = {(a, x), (b, x)}. Quel est out1(G, a ∨ b) et out2(G, a ∨ b)?
Alors que out1(G, a ∨ b) = Cn(G(Cn(a ∨ b))) = Cn(∅), out2(G, a ∨ b) =T Cn(G(V )) =
Cn(x). En effet, toute extension compl`ete de {a ∨ b} contient soit a, b ou a et b. De fait, dans chacun des cas, G(V ) = {x}. En ce sens, la s´emantique de out2 permet d’aller
chercher ce qui est commun `a toutes les extensions compl`etes de a ∨ b du point de vue de leur output relativement `a G. La distinction entre out1 et out2 se transpose `a out3 et out4.
Quant `a la diff´erence entre out1et out4(ou encore out2et out3), consid´erons l’ensemble
G = {(a, x), (a ∧ x, y)}. Quels sont out1(G, a) et out4(G, a)? D’un cˆot´e, out1(G, a) =
Cn(G(Cn(a))) = Cn(x). De l’autre cˆot´e, out4(G, a) = T Cn(G(V )). Puisque a ∈ V , il
s’ensuit que x ∈ G(V ). Or, consid´erant que G(V ) ⊆ V , il en r´esulte que x ∈ V , et donc que y ∈ G(V ). De fait, out4(G, a) = Cn({x, y}). Le lecteur est invit´e `a consulter les
figures dans Makinson et van der Torre (2000) afin de mieux visualiser les diff´erents types de outputs. Voir Makinson et van der Torre (2000, p.407) pour un r´esumer des propri´et´es des logiques i/o.
Les d´efinitions s´emantiques des diff´erents types de outputs s’accompagnent du cˆot´e de la syntaxe par des r`egles (Makinson et van der Torre 2001, p.157). (SI) signifie que si x est le output de a et que a est une cons´equence logique de b, alors x est le output de b.
(a, x)
(SI) (lorsque b `LC a)
(b, x)
(AND) signifie que si x et y sont les outputs de a, alors x ∧ y est le output de a. (a, x) (a, y)
(AND)
(a, x ∧ y)
(WO) stipule que si y est la cons´equence de x et que x est le output de a, alors y est le output de a.
(a, x)
(WO) (lorsque x `LC y)
(a, y)
(OR) exprime que si x est le output de a et est le output de b, alors c’est aussi le output de a ∨ b.
(a, x) (b, x) (OR)
(a ∨ b, x)
(CT) signifie que si x est le output de a et que y est le output de a ∧ x, alors y est le output de a.
(a, x) (a ∧ x, y) (CT)
(a, y)
Conjointement `a chaque d´efinition de outputs se joignent des r`egles de d´erivation sp´ecifiques. Soit derivi(G) le plus petit ensemble qui contient G, les paires (>, >) o`u >
est une tautologie, et qui est ferm´e sous les r`egles faisant parties de Ri.
R1 = {(SI), (AN D), (W O)}
R2 = {(SI), (AN D), (W O), (OR)}
R3 = {(SI), (AN D), (W O), (CT )}
Les notions de d´erivabilit´e deriv1(G) − deriv4(G) correspondent respectivement aux
outputs out1− out4.4
Les logiques i/o ont ´et´e d´evelopp´ees par Makinson et van der Torre afin de s’appliquer `
a la logique d´eontique. Jusqu’`a pr´esent, nous avons vu que le discours normatif met en jeu deux formes d’inconsistances, `a savoir l’inconsistance propositionnelle et l’inconsistance normative. Le paradoxe de Chisholm met en ´evidence que tout syst`eme qui veut rendre compte des obligations contraires au devoir se doit d’ˆetre capable d’exprimer (dans une certaine mesure) les inconsistances normatives. Or, les logiques i/o permettent d’embl´ee de faire la distinction entre les deux types d’inconsistance. Makinson et van der Torre (2001, p.159) distinguent entre l’inconsistance du output, qui ultimement est une in- consistance propositionnelle, et l’inconsistance entre les inputs et les outputs, qui est une forme d’inconsistance normative. Alors qu’un output de type i est dit inconsistant lorsque ⊥ ∈ outi(G, A), l’inconsistance entre les inputs et les outputs advient lorsque
⊥ ∈ Cn(outi(G, A) ∪ A). Voici l’exemple qu’offrent les auteurs afin de mettre en ´evidence
la diff´erence entre les deux types d’inconsistance.
Exemple 6.2. Soit G = {(>, ¬a), (a, x)}. Informellement, G affirme l’existence d’une obligation conditionnelle: en g´en´eral le output ¬a est pr´ef´er´e, mais s’il advient que a est donn´e, alors le output x sera d´esir´e. Tel que susmentionn´e, outi(G, a) = Cn({¬a, x}) pour
i ∈ {1, 2, 3, 4}. Le output est consistant puisque ⊥ /∈ Cn({¬a, x}). Cependant, le output est inconsistant avec le input puisque ⊥ ∈ Cn({¬a, x} ∪ {a}).
Cela dit, les logiques i/o permettent d’arriver `a un r´esultat ´etrange: consid´erant que a `LC >, la r`egle (SI) nous donne dans l’exemple pr´ec´edent que (>, ¬a) entraˆıne
(a, ¬a).5 Ce r´esultat semble peu probable, surtout si l’on consid`ere que les obligations contraires au devoir surviennent `a un certain moment dans le temps. Par exemple, si a tient pour « Paul vole de l’argent » et x pour « Paul remet l’argent vol´e », alors on obtient que dans toutes circonstances id´eales Paul ne vole pas, que dans une circonstance sous- id´eale o`u Paul vole il remet l’argent vol´e, mais que dans une circonstance o`u Paul vole il ne vole pas. Il ne s’agit pas d’une contradiction `a proprement parler puisqu’il s’agit d’une paire input/output, mais n´eanmoins cela pose probl`eme dans un contexte d´eontique. Plus pr´ecis´ement, une fois que l’action qui ne devait pas ˆetre faite a ´et´e accomplie, on veut mettre de cˆot´e les sc´enarios o`u l’action n’´etait pas faite et se concentrer uniquement sur ceux o`u elle est accomplie.
La strat´egie pour parvenir `a ce r´esultat est d’utiliser une technique propre aux logiques ´epist´emiques:
Our strategy is to adapt a technique that is well-known in the logic of belief change – cut back the set of norms to just below the threshold of making the current situation contrary-to-duty. In effect, we carry out a contraction on the set G of given norms.
4Afin d’obtenir les outputs out+
i , il suffit d’ajouter la r`egle (ID) qui permet d’ajouter (a, a) `a tout moment (Makinson et van der Torre 2001, p.157).
Specifically, we look at the maximal subsets G0 ⊆ G such that out(G0, A) is consistent with input A. (Makinson et van der Torre 2003b, p.170)
Pour ce faire, les auteurs introduisent des contraintes sur les outputs (Makinson et van der Torre 2001, p.160). Soit C un ensembles de contraintes qui contient des propo- sitions. L’ensemble maxf amily(G, A, C) est d´efini comme l’ensemble de tous les plus grands H ⊆ G pour lesquels out(H, A) est consistant avec C (i.e., ⊥ /∈ Cn(out(H, A)∪C)). L’ensemble outf amily(G, A, C) est l’ensemble des outputs g´en´er´es par maxf amily(G, A, C), `
a savoir que outf amily(G, A, C) = {out(H, A) : H ∈ maxf amily(G, A, C)}.
Par exemple (Makinson et van der Torre 2001, p.162), afin de restreindre l’ensemble des normes G en excluant celle qui stipule que Paul ne doit pas voler, on ajoute la contrainte C = {a}. Alors que dans le cas sans contrainte on obtient maxf amily(G, a, ∅) = {G} et outf amily(G, a, ∅) = {Cn({¬a, x})}, l’ajout de la contrainte C = {a} permet d’isoler maxf amily(G, a, a) = {{(a, x)}} puisque
⊥ ∈ Cn(out(G, a) ∪ {a} = Cn(Cn({¬a, x}) ∪ {a}) et outf amily(G, a, a) = {Cn({x})}.6
`
A l’aide de l’imposition d’une contrainte sur les diff´erents types de outputs, Makin- son et van der Torre (2001, p.166) introduisent la notion de contrainte i/o (input/output constraint ). Pour un output out(G, A), l’ajout de la contrainte i/o correspond `a la restric- tion de l’ensemble des outputs `a l’ensemble de inputs maxf amily(G, A, C) pour C = A. Ainsi, on s’assure que l’ensemble de outputs est consistant et que ce dernier est consistant avec l’ensemble des inputs.
Les logiques i/o contraintes s’obtiennent d’un point de vue syntaxique en ajoutant la notion de d´erivation contrainte. Conform´ement aux quatre types de outputs ainsi qu’`a leur notion conjointe de d´erivation, les outputs contraints s’obtiennent de par leur notion respective de d´erivation contrainte, o`u une d´erivation est contrainte lorsque (a, ¬a) /∈ derivi(L) pour tout L ⊆ G (Makinson et van der Torre 2001, p.169). Le lecteur est invit´e
`
a consulter Makinson et van der Torre (2001, p.177) pour un r´esum´e des r´esultats sur les logiques i/o contraintes.
Jusqu’`a pr´esent, les logiques i/o nous offrent une fa¸con de formuler des obligations qui tiennent dans tous les contextes, p. ex., (>, a), et des obligations qui sont contraires au devoir, p. ex., {(>, a), (¬a, x)}. Trait´e de la sorte, un ensemble G est consid´er´e comme un ensemble de normes, lesquelles dictent des obligations (des outputs) dans certains contextes (des inputs). Ainsi, la paire (>, a) signifie que dans toutes circonstances a doit ˆetre alors que {(>, a), (¬a, x)} signifie que a doit ˆetre, mais que si jamais a n’est pas le cas alors x doit ˆetre. Les logiques i/o fournissent donc une mani`ere de traiter des obligations contraires au devoir et des obligations conditionnelles.
Mais qu’en est-il de la permission? Makinson et van der Torre (2003a, pp.391- 2) assument une distinction entre les permissions explicites et implicites, ce `a quoi on
r´ef`ere aussi par le biais de permissions forte et faible. Une permission implicite, voire une permission faible, correspond `a quelque chose qui n’est pas interdit par un ensemble de normes. Par exemple, il est implicitement permis de se baigner en une chaude journ´ee d’´et´e puisque la l´egislation canadienne ne l’interdit pas. Cela dit, le pendant de la permission implicite est la permission explicite, voire la permission forte: une action est explicitement permise lorsqu’un ensemble de norme le mentionne. Par exemple, il est explicitement permis par la l´egislation d’arrˆeter son v´ehicule sur la voie d’accotement d’une autoroute en cas d’urgence, notamment si le v´ehicule tombe en panne. Une autre fa¸con de nommer ces types de permissions serait de les appeler les permissions n´egatives et positives.
D’abord, les auteurs consid`erent la permission implicite conditionnelle. Une action est dite implicitement permise par un ensemble de normes dans un certain contexte lorsque cet ensemble de normes n’interdit pas cette action dans les mˆemes conditions (Makinson et van der Torre 2003a, p.393). Dans le langage des logiques i/o, x ∈ negperm(G, a) si et seulement si ¬x /∈ outi(G, a) pour i ∈ {1, 2, 3, 4}. Consid´erant que G est un ensemble
de normes qui exprime des obligations conditionnelles, quelque chose est implicitement permis dans un certain contexte relativement `a G lorsque la n´egation de ce quelque chose n’est pas obligatoire dans ce contexte. Soulignons que d´efini ainsi, negperm(G, a) n’est pas n´ecessairement consistant.
Outre la notion de permission implicite, les auteurs adaptent aussi leur approche afin de rendre compte de la permission explicite. Toutefois, ces derniers distinguent entre deux types de permission explicite: la permission statique et la permission dynamique (Makinson et van der Torre 2003a, p.392). Voici les trois passages o`u les auteurs les comparent.
Roughly speaking, static positive permission inherits many properties from the un- derlying intput/output operation, and behaves like a diminished obligation. On the other hand, dynamic positive permission behaves like an amplified negative permis- sion (Makinson et van der Torre 2003a, pp.392-3).
Static permission seems to answer to the needs of the citizen, who needs to anticipate the deontic status of his actions. [...] On the other hand, dynamic permission corresponds to the needs of the legislator, who needs to anticipate the effect of changing an existing corpus of norms by adding a prohibition. If prohibiting x in condition a would commit us to forbidding something that has been positively permitted in a certain realizable situation, then adding the prohibition would give rise to a certain kind of incoherence (Makinson et van der Torre 2003a, p.398).
Static positive permission guides the citizen in the deontic assessment of specific ac- tions, and behaves like a weakened obligation. Dynamic positive permission guides the legislator by describing the limits on what may be prohibited without violating static permissions. It behaves like a strenghened negative permission in many re- spects, but differs in those in which the set G of explicit obligations is allowed to vary (Makinson et van der Torre 2003a, p.408).
Ainsi, alors que la permission statique est celle qui d´etermine explicitement le cadre `
a l’int´erieur duquel un agent peut agir, la permission dynamique guide le l´egislateur, qui doit s’assurer de ne pas l´egif´erer `a l’encontre des actions permises statiquement. Voyons maintenant les d´efintions formelles de ces notions.