Une bonne partie de la litt´erature portant sur la logique d´eontique vise ses applications en informatique et en programmation. L’approche de Boella et van der Torre (2006c), qui jumelle les logiques i/o de Makinson et van der Torre (2000, 2001, 2003a) avec l’analyse de Jones et Sergot (1996), s’ins`ere dans cette cat´egorie.9 En effet, leur objectif est de
d´evelopper des outils formels pertinents `a la mod´elisation de l’architecture d’un syst`eme normatif, facilitant ainsi l’automatisation des raisonnements. Dans ce qui suit, l’id´ee est de d´efinir r´ecursivement un syst`eme normatif par le biais d’op´erations input/output. L’obectif est de d´ebuter `a partir de d´efinitions de base (p. ex., la permission, l’obligation, les contraintes institutionnelles, etc.) et ensuite de d´eterminer les outputs combin´es de ces op´erations, l’objectif ultime ´etant d’obtenir une op´eration qui repr´esente le syst`eme global. En ce sens, l’objectif est de d´efinir un syst`eme normatif comme une seule op´eration input/output, o`u l’on « entre A et on obtient B ».
L’approche de 2006c est notamment bas´ee sur ce qui a ´et´e pr´esent´e dans Boella et van der Torre (2006a), o`u les auteurs introduisent l’architecture d’un syst`eme normatif. D’entr´ee de jeu, Boella et van der Torre (2006c, p.27) utilisent l’approche de Jones et Sergot (1996), `a laquelle ils ajoutent un axiome pour la transitivit´e (Tran) ainsi que la condition (C4) sur le mod`ele s´emantique. Cette derni`ere signifie simplement que si Y est vrai pour les alternatives `a w o`u X est vrai et que Z est vrai pour les alternatives `a w o`u Y est vrai, alors Z est vrai pour les alternatives `a w o`u X est vrai.10
((A ⇒s B) ∧ (B ⇒sC)) ⊃ (A ⇒sC) (Tran)
Y ∈ fs(w, X) et Z ∈ fs(w, Y ) ⇒ Z ∈ fs(w, X) (C4)
Cela dit, Boella et van der Torre (2006c, p.27) reformulent la logique des count-as conditionals de Jones et Sergot en termes de logique i/o. Alors que chez Makinson et van der Torre on parlait d’ensemble g´en´erateur G, Boella et van der Torre parlent d’ensemble de paires CA (pour count-as), lequel s’´evalue relativement `a un syst`eme normatif ou `a une institution s.
L’ensemble CA est fonction de l’ensemble de normes qui caract´erise le syst`eme nor- matif. L’op´eration outCA(CA, s, a) est r´egie par les r`egles (AND), (OR) et (T), la derni`ere
exprimant la transitivit´e.
(a, x)(x, y)
(T) (a, y)
Empruntant l’id´ee de contrainte institutionnelle exprim´ee par l’op´erateur modal Ds
de Jones et Sergot, Boella et van der Torre (2006c, p.29) introduisent l’ensemble de paires
9Voir aussi notamment Boella et van der Torre (2003b, 2004, 2006a,b,c).
10Dans leur article, Jones et Sergot (1996, p.438) acceptent l’axiome par d´efaut simplement parce qu’ils n’ont pas de contre-exemple en tˆete pour le rejeter. Nous l’avons mis de cˆot´e dans la pr´esentation de leur approche puisqu’ils n’insistent pas sur ce dernier.
IC (institutional constraints), dont le output outIC(IC, s, a) est r´egi par les r`egles (SI),
(WO) et (Id).
(Id) (a, a)
La d´efinition de outIC est plutˆot simple:
outIC(IC, s, a) =def Cn({a} ∪ {a ⊃ y : (a, y) ∈ IC}) (def. outIC)
Autrement dit, le output des contraintes institutionnelles pour un input a correspond `
a l’ensemble des cons´equences de a avec a ⊃ y pour toute paire (a, y) ∈ IC.
L’axiome (Ds) de Jones et Sergot est remplac´e par la r`egle suivante sur les outputs.
x ∈ outCA(CA, s, a)
(outIC+CA)
x ∈ outIC+CA(IC, CA, s, a)
Le output outIC+CA r´epond aux r`egles (AND), (OR), (T), (SI), (WO) et (Id) et est
s´emantiquement d´efini r´ecursivement par (Boella et van der Torre 2006c, p.30):
outIC+CA(IC, CA, s, X) (def. outIC+CA)
=def outIC(IC ∪ CA, s, X)
=def Cn(X ∪ {x ⊃ y : x ∈ X et (x, y) ∈ IC ∪ CA})
En mots, cela signifie que outIC+CA est par d´efinition l’ensemble des outputs de IC
en union avec CA relativement `a une institution s et `a un input X. Tout ce qui est un output outCA est un output outIC+CA, mais certaines contraintes institutionnelles peuvent
ne pas ˆetre des count-as. Le output outIC+CA(IC, CA, s, x) ´equivaut donc `a l’ensemble
des cons´equences des tous les {x, x ⊃ y} pour lesquels x ⊃ y est soit dans IC ou dans CA. Cela fait, les auteurs introduisent une op´eration pour les obligations conditionnelles (Boella et van der Torre 2006c, pp.30-1). L’introduction de l’obligation conditionnelle se fait exactement dans le mˆeme esprit que la d´efinition de l’ensemble g´en´erateur G chez Makinson et van der Torre. En effet, Boella et van der Torre introduisent l’ensemble de paires O, o`u chaque paire de O donne une obligation (output) conditionnelle `a un contexte (input). L’op´eration outi
O est d´efinie au mˆeme titre que les outputs 1–4 chez Makinson et
van der Torre. Ensuite, les auteurs introduisent le output relatif aux contraintes institu- tionnelles, `a l’ensemble CA ainsi qu’`a l’ensemble d’obligations conditionnelles. L’op´eration outIC+CA+O est donn´ee par la r`egle (nous avons omis le i):
x ∈ outIC+CA(IC, CA, s, a), y ∈ outO(O, s, x)
(outIC+CA+O)
Cette r`egle est accompagn´ee par la d´efinition s´emantique suivante.
outIC+CA+O(IC, CA, O, s, a) (def. outIC+CA+O)
=def outO(O, s, outIC+CA(IC, CA, s, a))
=def outO(O, s, outIC(IC ∪ CA, s, a))
=def outO(O, s, Cn({a} ∪ {a ⊃ y : (a, y) ∈ IC ∪ CA}))
En d’autres termes, le output conjoint outIC+CA+O ayant a comme input correspond
au output outO (relativement `a l’ensemble g´en´erateur O) lorsque le input est l’ensemble
des cons´equences logiques de l’ensemble {a, a ⊃ y} qui contient tous les a ⊃ y pour lesquels (a, y) est soit une contrainte institutionnelle, soit un count-as.
Conform´ement `a ce que l’on trouve dans Makinson et van der Torre (2001), Boella et van der Torre (2006c, pp.31-2) introduisent aussi les contraintes sur les outputs afin de mieux rendre compte des obligations conditionnelles. Toutefois, ces derniers utilisent une notion qui avait ´et´e laiss´ee de cˆot´e chez Makinson et van der Torre, `a savoir la notion de meet, voire de geatest lower bound. Tel que mentionn´e au d´ebut de ce chapitre, l’ensemble outfamily est obtenu apr`es avoir mis comme input l’ensemble maxfamily, lequel permet de d´eterminer tous les sous-ensembles de l’ensemble g´en´erateur qui sont consistants avec le output. Cela dit, outfamily est une collection d’ensembles, laquelle contient tous les outputs des sous-ensembles de l’ensemble g´en´erateur qui, lorsque pris en tant que input, sont consistants avec le output.
Il y a deux op´erations possibles sur outfamily que nous avions laiss´e de cˆot´e dans la pr´esentation de Makinson et van der Torre, principalement en raison du fait que ces notions, bien que mentionn´ees, n’´etaient pas `a l’´etude dans leur article. Ces deux op´era- tions sont celles du meet et du join, voire du greatest lower bound et du least upper bound, repr´esent´ees respectivement par:
\
outf amily(G, A, C) [
outf amily(G, A, C)
En un mot, le meet identifie le plus petit ensemble commun `a tous les membres de outfamily (l’intersection) alors que le join s´electionne le plus grand (l’union). `A l’aide de la d´efinition du meet, Boella et van der Torre d´efinissent un nouvel output, soit out∩O, o`u C est un ensemble de contraintes (`a ne pas confondre avec l’ensemble des contraintes institutionnelles IC).
out∩O(O, s, a, C) =def
\
outf amily(O, s, a, C) (def. out∩O) Le i a encore une fois ´et´e laiss´e de cˆot´e afin de ne pas encombrer l’´ecriture. Ayant cette op´eration en main, Boella et van der Torre (2006c, p.32) d´efinissent r´ecursivement out∩IC+CA+O par:
out∩IC+CA+O(IC, CA, O, s, a) (def. out∩IC+CA+O) =def out∩O(O, s, outIC+CA(IC, CA, s, a), outIC+CA(IC, CA, s, a))
=def
\
outf amily(O, s, outIC+CA(IC, CA, s, a), outIC+CA(IC, CA, s, a))
=def
\
outf amily(O, s, Γ, Γ) Ici, nous avons:
Γ = Cn({a} ∪ {a ⊃ y : (a, y) ∈ IC ∪ CA})
Autrement dit, l’op´eration out∩IC+CA+O garantit la consistance du output des obli- gations avec les contraintes institutionnelles en isolant le plus petit ensemble commun `a tous les membres de outfamily.
Ayant trait´e des obligations conditionnelles et de l’ajout de contraintes au syst`eme normatif afin que les obligations soient consistantes avec les contraintes institutionnelles de s, Boella et van der Torre (2006c, p.32) introduisent un ensemble de paires P repr´esentant des permissions conditionnelles. Conjointement `a cet ensemble, il d´efinissent l’op´eration suivante.
outP(P, s, A) (outP)
=def {Cn(x) : (ai∧ ... ∧ an, x) ∈ P pour certains ai, ..., an ∈ A}
Cette d´efinition est univoque: le output outP relativement `a l’input A correspond `a
l’ensemble qui contient les ensembles des cons´equences de x pour lesquels x est la permis- sion conditionnelle `a la conjonction de certaines propositions membres de A. Autrement dit, on observe toutes les combinaisons possibles des propositions de A en termes de con- jonction, on isole les x qui sont les permissions conditionnelles `a ces combinaisons et on d´etermine l’ensemble qui contient les ensembles des cons´equences de chacun de ces x.
En plus des permissions explicites introduites par le output outP, les auteurs d´efinis-
sent l’op´eration merge afin de d´eterminer l’ensemble qui contient non seulement les per- missions explicites, mais aussi les permissions qui d´ecoulent du fait que quelque chose est obligatoire (ce qui valide le sch´ema d’axiome (D) des syst`emes standards).
merge(X, Y ) = {Cn(x ∪ Y ) : x ∈ X} (def. Merge) En ce sens, l’op´eration merge d´etermine l’ensemble qui contient tous les ensembles des cons´equences de x∪Y , o`u x est un ensemble de permissions et Y un ensemble d’obligations. Dans cette d´efinition, X est donc un ensemble de sous-ensembles de propositions, alors que Y est un ensemble de propositions, conform´ement `a la d´efinition de outP.
Les derni`eres ´etapes consistent `a d´efinir les outputs du syst`eme global. Pour ce faire, les auteurs doivent d’abord d´efinir le output conjoint outIC+CA+P, d´efini de la mˆeme
outIC+CA+P(IC, CA, P, s, a) (def. outIC+CA+P)
=def outP(P, s, outIC+CA(IC, CA, s, a))
=def outP(P, s, outIC(IC ∪ CA, s, a))
=def outP(P, s, Cn({a} ∪ {a ⊃ y : (a, y) ∈ IC ∪ CA}))
Ce dernier est r´egi par la r`egle suivante.
x ∈ outIC+CA(IC, CA, s, a), y ∈ outP(P, s, x)
(outIC+CA+P)
y ∈ outIC+CA+P(IC, CA, P, s, a)
Cela fait, il reste deux op´erations `a d´efinir. En premier lieu, l’op´eration out∩IC+CA+P +O s’assure que le output conjoint de IC, CA, P et O est consistant avec les contraintes institu- tionnelles. Dans la d´efinition qui suit, nous avons ´ecrit outIC+CA plutˆot que
outIC+CA(IC, CA, s, a) afin de faciliter la lecture.
out∩IC+CA+P +O(IC, CA, P, O, s, a) (def. out∩IC+CA+P +O) =def out∩O(O, merge(outIC+CA+P, outIC+CA), s, outIC+CA)
=def
\
outf amily(O, s, merge(outIC+CA+P, outIC+CA), outIC+CA)
Autrement dit, on prend le plus petit ensemble commun `a tous les outputs de O consistants avec les outputs de IC et CA et qui ont pour input l’ensemble qui contient toutes les combinaisons possibles entre les permissions (prises en consid´erations avec les contraintes institutionnelles) et les contraintes institutionnelles. En d’autres termes, on prend comme input l’ensemble de tous ce qui est permis (au sens large, et non seulement explicite) en fonction des contraintes institutionnelles et des count-as afin de d´eterminer le plus petit output consistant avec les contraintes institutionnelles.
Finalement, l’op´eration outIC+CA+P +O+P d´etermine le output du syst`eme normatif
global. Cette op´eration est d´efinie par (nous avons encore laiss´e de cˆot´e ce qui se trouve dans la port´ee des op´erations):
outIC+CA+P +O+P(IC, CA, P, O, s, a) (def. outIC+CA+P +O+P)
=def merge(outIC+CA+P, out∩IC+CA+P +O)
Somme toute, l’id´ee de Boella et van der Torre est de d´efinir r´ecursivement un sys- t`eme normatif `a l’aide d’op´erations input/output. Ayant d´efini ´etape par ´etape les dif- f´erents types de outputs ainsi que leurs combinaisons possibles, les auteurs parviennent `a la d´efinition d’un syst`eme normatif en termes d’entr´ee et de sortie. Voici une reconstruc- tion de l’explication `a partir de la derni`ere d´efinition. Prenons out1 pour les d´efinitions
de outP et outO, avec P (A) et O(A) d´efinis dans le mˆeme esprit que G(A) au d´ebut de
normatif est consid´er´e comme le merge de outIC+CA+P et de out∩IC+CA+P +O. Le merge
est l’ensemble qui contient l’ensemble des cons´equences de X ∪ out∩IC+CA+P +O pour tout X ∈ outIC+CA+P. Un X ∈ outIC+CA+P est un ´el´ement de outP, o`u outP = Cn(P (Cn(Γ))),
Γ ´etant l’ensemble qui contient les cons´equences des unions de {a} avec {a ⊃ y} pour tous y tel que (a, y) ∈ IC ∪ CA. En ce sens, un X ∈ outIC+CA+P est un ensemble qui contient
les cons´equences de {a} ∪ {a ⊃ y} pour un y tel que (a, y) ∈ IC ∪ CA. De fait, le merge consiste `a prendre les cons´equences de X ∪ out∩IC+CA+P +O pour chaque X qui contient les cons´equences de {a} ∪ {a ⊃ y} pour un y tel que (a, y) ∈ IC ∪ CA. De mani`ere informelle, outIC+CA+P ´equivaut `a consid´erer le outP ayant comme input toutes les paires
de IC ∪ CA qui partagent le mˆeme output. On prend cela, on observe les cons´equences, on regarde ce que cela donne comme output relativement `a P lorsqu’on met ces cons´equences en input et on observe les cons´equences du tout. Quant `a out∩IC+CA+P +O, il s’agit du plus petit sous-ensemble partag´e par tous les outputs consistants avec outIC+CA et ayant
comme input des sous-ensembles de merge(outIC+CA+P, outIC+CA). En ce sens, on prend
l’ensemble qui contient les cons´equences de X ∪ outIC+CA pour tout X ∈ outIC+CA+P
(o`u outIC+CA contient les cons´equences de tout ce que a implique dans IC ∪ CA) et
ensuite on d´etermine l’intersection de outO(O, s, Γ) consistant avec IC ∪ CA pour tout
Γ ⊆ merge(outIC+CA+P, outIC+CA).
L’approche de Boella et van der Torre est d´ecid´ement tr`es complexe et il est ´evident que de tenter de la r´esumer en quelques phrases simples nous ´eloignerait de la subtilit´e du formalisme. N´eanmoins, par souci p´edagogique, voici comment nous pourrions tenter de la r´esumer: le syst`eme normatif est consid´er´e comme une entit´e qui se comprend en termes de inputs et de outputs; on entre des donn´ees dans la « boˆıte », on brasse et ensuite on observe ce qui sort. La « boˆıte » du syst`eme normatif et divis´ee en « sous-boˆıtes ». Dans le cas des obligations conditionnelles, on entre le input, on ajoute certaines contraintes pour s’assurer que le r´esultat est coh´erent (et ainsi ´eviter le paradoxe de Chisholm), on brasse et on observe ce qui sort (c’est-`a-dire les obligations qui s’appliquent). Il est aussi possible de regarder la « sous-boˆıte » de la permission de la mˆeme mani`ere. Au total, on peut cr´eer une « boˆıte » qui est constitu´ee d’une ou plusieurs « sous-boˆıte(s) » afin d’observer ce qui se passe lorsqu’on augmente l’information que l’on prend en compte. Au final, le syst`eme normatif peut se comprendre ainsi (en supposant qu’`a chaque ´etape on brasse la boˆıte!): on entre un input a, on regarde les permissions contextuelles `a a relativement `a l’ensemble de permissions explicites et l’ensemble de contraintes institutionnelles (i.e., tout ce que a implique dans le cadre du syst`eme normatif s), on observe les cons´equences de cela en rapport avec toutes les obligations qui tiennent dans ce contexte, et on brasse `a nouveau la boˆıte afin d’observer les cons´equences que cela nous donne.
En un mot, l’op´eration input/output d’un syst`eme normatif consiste `a prendre en compte tout ce que le syst`eme pr´esuppose (les contraintes institutionnelles, les implications consid´er´ees vraies dans le syst`eme, les ´equivalences entre les actions et les descriptions de faits, les count-as, etc.), toutes les permissions explicites et obligations relatives au input et finalement `a consid´erer les cons´equences logiques du tout. Malgr´e l’int´erˆet de ce genre de d´efinition r´ecursive pour la programmation de syst`emes normatifs, l’approche de Boella et van der Torre n’est pas destin´ee `a servir `a l’analyse du discours et des raisonnements. Par
surcroˆıt, les auteurs assument qu’un syst`eme l´egal se r´eduit `a une op´eration inputs/outputs bien d´efinie, ce qui est non seulement contest´e par la majorit´e des juristes mais va aussi `
a l’encontre des principes qui guident l’interpr´etation des lois (cf. Cˆot´e 2006): au moment de la r´edaction des lois, le l´egislateur ne pouvait pas pr´evoir toutes les fa¸cons possibles dont un syst`eme l´egal pouvait ´evoluer, et par cons´equent, si a posteriori il faut r´e´evaluer cette l´egislation `a la lumi`ere de l’information actuelle, il faut se questionner sur l’intention du l´egislateur et sur l’esprit de la loi, chose qui n’est pas d´efinissable d’embl´ee par un ensemble de contraintes institutionnelles et de count-as.
Pour une extension de l’article de 2006c o`u l’on cherche `a rendre compte autant des syst`emes normatifs que des nmas, le lecteur peut consulter Boella et van der Torre (2006b).
* * *
En guise de conclusion, les logiques i/o offrent une alternative aux logiques modales, fournissant un cadre de travail permettant d’´eviter le dilemme de Jørgensen. Ainsi, en les utilisant en vue de l’analyse des raisonnements, les logiques i/o permettent l’analyse des inf´erences normatives dans une s´emantique autre que celle des mondes possibles. Cela dit, le principal int´erˆet de ce genre d’approche se trouve surtout en informatique, et d’ailleurs la lourdeur du formalisme inh´erent aux logiques i/o rend leur applications en argumen- tation et en analyse du discours une tˆache difficile. Passons maintenant aux approches alg´ebriques.