383. De belles collections de palindromes
Q1 Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros.
Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.
Q2 Démontrer que quelle que soit la valeur de n > 1, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.
Q3 Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?
Solution proposée,par Gaston Parrour
Préliminaire aux trois questions Dans la suite, Sn est la somme de tous les palindromes à n chiffres On peut considérer que 1, 2 , 3, … , 9 sont des palindromes à n = 1 chiffre → S1 = 45
Avec n = 2 chiffres les palindromes 11 , 22 , 33 ... , 99 ont pour somme → S2 = 495 = 11xS1 Retrouvons S2 :
0<a désigne un chiffre et le chiffre a' son complément à 10 : (a + a' = 10)
Considérons ∑ (aa + a'a') où xx est un palindrome à 2 chiffres et ∑ somme sur a (a=1 ,à 9) chaque terme (aa + a'a') est égal à 110 ,
la somme considérée est donc égale à 110 x 9 = 990
Dans cette somme figurent (par symétrie ) : 2 fois (11+99) , 2 fois (22+88) , etc … Ainsi ==> S2 = [∑ (aa + a'a') ] / 2 S2 = 495 = 11xS1
Avec n = 3 chiffres les palindromes sont de la forme aba où a varie de 1 à 9 , b varie de 0 à 9 pour le chiffre ''b'' (non aux extrémités du nombre), soit b' son complément à 9 (b + b' = 9) En procédant comme ci-dessus par ''regroupement'' et avec b (donc b') fixé tout d'abord : Considérons la somme ∑ (aba + a'b'c') pour a = 1, 9
chaque terme (aba + a'b'a') est égal à 1100 ,
la somme considérée, à b fixé, est donc égale à 1100 x 9 = 9900 à partir de cela : puisque b peut prendre 10 valeurs,
→ la double somme sur a (a=1,9) et sur b (b=0,9) est ∑∑ (aba + a'b'c') = 99 103
On observe pour S3 (comme pour S2 précédemment) que tous les doublets (aba , a'b'c') figurent 2 fois dans la double somme ci-dessus. Donc ainsi
S3 = [∑∑ (aba + a'b'a') ] / 2 (double somme sur a et sur b) ==> S3 = 495x102 = 11x S1 x102
N.B. En comparant → S3 = S2 x 102 :
un facteur 10 est du au passage de nombres à 2 chiffres à des nombres à 3 chiffres,
et de plus ici un autre facteur 10 est du aux 10 choix possibles pour ''b'' (''b'' non aux extrémités du nombre palindrome)
→ En poursuivant ainsi
n = 4 chiffres les nombres palindromes sont de la forme abba Pour ces nombres à quatre chiffres :
toute somme partielle est10 fois celle correspondante pour S3
(abba + a'b'b'a') =11000
du point de vue du décompte de la multiplicité, on retrouve le cas n = 3 , en effet : 9 valeurs pour ''a'' aux extrémités (a =1,9)
les chiffres médians définis par seulement les 10 valeurs possibles de b
→ La multiplicité est donc la même que celle de S3 → (9 x10) / 2 ==> S4 = 10 x S3 =11xS1x103
→ Il est clair que ce qui précède se généralise à partir du nombre n de chiffres des palindromes considérés : n impair → le passage à n pair suivant se fait par multiplication par 10
n pair → le passage à n impair suivant se fait par multiplication par 102
D'où le tableau suivant : n nombre de chiffres des palindromes constituant Sn , N0 nombre de zéros de Sn n | 2 3 4 5 6 7 8 9 …
N0 | 0 2 3 5 6 8 9 11 … Conclusion de ce préliminaire :
→ pour une parité de n donnée, le nombre N0 de zéros est constant modulo 3 Plus précisément :
n pair (2 ≤ n) → N0 ≡ 0 (modulo 3) soit n = 2+2k → N0 = 3k n impair (3 ≤ n) → N0 ≡ 2 (modulo 3) soit n = 3+2k → N0 = 2 +3k
Q1 Déterminer l’entier n tel que la somme Sn de tous les entiers palindromes de n chiffres se termine par 17 zéros. Donner Sn
Avec la conclusion précédente :
N0 = 17 = 2 + 3x5 donc n est impair et n = 3 + 2x5
La sommes de tous les palindromes à n= 13 chiffres possède 17 zéros ==> S13 = 11 x S1 x1017 (S1 = 45)
Q2 Quelle que soit la valeur de n > 1, la somme des chiffres de la somme Sn de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.
Avec ce qui précède Sn = 11xS1x10N0 [pour tout couple (n , N0) défini en conclusion du préliminaire]
Pour tout 1<n : les chiffres différents des zéros qui terminent Sn, sont dus à 11 x S1 = 495
==> pour tout n (1<n) , la somme s(Sn) des chiffres de Sn, est constante → s(Sn) = 18
Q3 Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?
Avec la conclusion du préliminaire :
→ un nombre de zéros N0 ≡ 1 (modulo 3) est impossible à réaliser quel que soit m Avec
N0 = 2019 , N0 ≡ 0 (modulo 3) [2019 = 673x3] alors m est pair et m = 2 + 673x2 → m = 1348 N0 = 2020 , N0 ≡ 1 (modulo 3) → il n'existe pas d'entier ''m'' répondant à la question
N0 = 2021 , N0 ≡ 2 (modulo 3) [2021 = 2+673x3] alors m est impair et m = 3 + 673x2 → m = 1349
