A348. Dociles et rebelles
Un nombre entier N positif est appelé « docile » si on sait trouver deux entiers a et b positifs distincts (a > b) tels que a + b = N et la somme des chiffres de a est égale à celle de b. A contrario, l’entier N est dit « rebelle ».Par exemple, l’entier 11 est docile car 10 + 1 = 11 tandis que l’entier 10 est rebelle.
Q1 Prouver que l’entier 2014 est docile de multiples façons : 1) b est à 1 chiffre,
2) b est à 2 chiffres, 3) b est à 3 chiffres,
4) a et b sont des nombres premiers,
5) les chiffres de a et de b sont tous différents.
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers rebelles.
Q3 Trouver au moins 8 entiers rebelles pairs > 20.En existe-t-il plus de 9 ?
Solution proposée par Gaston Parrour
Notations et préliminaires.
Etant donné un nombre entier n = a + b Sn est la somme de ses chiffres Sa la somme des chiffres de a Sb la somme des chiffres de b
d = Sa-Sb est la différence (algébrique) de ces deux sommes On conviendra dans la suite, à partir d'un nombre entier n :
de considérer sa partition initiale n = (n-1) + 1 a désignera le nombre décroissant à partir de (n-1) ,
b le nombre croissant depuis 1 ; cela en respectant la condition a > b au sens strict d0 est la valeur initiale de d : d0 = S(n-1) - 1 (résultant de la partiton initiale)
==> Remarquons : une partition où Sa = Sb n'est envisageable que si d est pair Lorsque que a décroît, on distingue :
- changement de chiffre unité pour a (-1) ou pour b (+1) - : Sa diminue d'une unité le gain Ga pour Sa = -1 Sb augmente d'une unité le gain Gb pour Sb =+1
Soit un gain Gi = 1 (modulo 2) pour une somme Si ( i désigne a ou b concerné) - changement de dizaine :
pour a qui diminue : … r 0 → … (r-1) 9 Ga = +9 (unité) -1(dizaine) = +8
pour b qui augmente, même résultat au signe près : Gb = - 8 Soit un gain Gi = 0 (mod 2) pour une somme Si
Il est aisé de poursuivre avec changement du chiffre de centaine, de millier, etc … → On observe l'alternance suivante :
(A) Gi = 1 pour les puissances paires de 10 (unité, centaine, etc …) (B) Gi = 0 pour les puissances impaires de 10 (dizaine, millier, etc …) ( i étant a ou b)
N.B. Dans la suite on parlera ainsi d'évolution de type (A) ou de type (B)
Cela permet de suivre l'évolution de la parité de d, à partir de celle initiale de d0 , au cours des diverses partitions de n
Q1 L'entier 2014 est docile 1) b est à un chiffre
Avec ce qui précède :
2014 = 2013 (a) + 1 (b) d0 = Sa - Sb = 5
d0 est impaire, une évolution de type (A) pour les deux (ici il s'agit de variation d'une unité) ne change pas la parité résultante de d car Ga + Gb = 2 =0 (mod 2)
Donc il faut qu'il y ait par exemple un changement de dizaine pour l'un en même temps qu'un changement d'unité pour l'autre. Cette situation se produit lorsque a passe de 2010 à 2009 et b de 4 à 5
Alors Ga + Gb = 0 + 1 (mod 2) et la parité de d est changée : 2014 = 2010 + 4 d = -1 puis
2014 = 2009 + 5 d = 6
→ d pair inférieur à 9 permet ici , la « répartition » de d = 6 : -3 pour a et +3 pour b : conduisant à la partition suivante avec d = 0 :
==> 2014 = 2006 + 8 d = 0 (Sa = Sb = 8) Il s'agit ici de la seule solution à un chiffre
Remarque : le nombre initial (2014) se terminant par 4, après le changement de dizaine d'un nombre (a ou b), l'autre se termine toujours par 5.
→ I ci (avec n= 2014) d doit donc être pair et inférieur ou égal à 8 pour qu'une partition cherchée soit possible (1) 2) b est à deux chiffres
Première apparition de b à deux chiffres : 2014 = 2004 + 10 d = 5
Cette partition est avec les deux types d'évolution (A) et (B) présents ==> changement de parité de d d est ainsi impair jusqu'au passage de la partition
2014 = 2000 + 14 d = -3 à la partition
2014 = 1999 + 15 d = 22 ,
à nouveau les types (A) et (B) sont présents d'où un nouveau changement de parité pour d.
Mais d pair plus grand que 8 interdit la répartition de d/2 à l'intérieur de dizaines inchangées (remarque en 1) ci-dessus) Puisque b est recherché à 2 chiffres :
---> Seules les unités et les dizaines de a et de b sont autorisées à changer ici
Avec 1900 < a < 1999 (égalité possible), à mesure que la décroissance de a se poursuit depuis 1999 : d décroit par pas de 2 unités sauf à un changement de dizaine de a ou de b ;
à chaque changement de dizaine de a ou de b (non simultanés ici) : Ga+Gb = 1 (mod 2) donc la parité de d change
de plus la valeur de d = Sa-Sb est alors égale à celle du début de changement de dizaine précédent diminué d'une unité
Donc partant de d = 22 pour a = 1999,
→ après un changement de dizaine pour b puis un changement de dizaine à nouveau pour a , on obtient : 2014 = 1989 + 25 d = 20
Autrement dit :
→ à chaque fois que les dizaines de a diminuent d'une unité, d est pair et se retrouve diminué de 2 unités (2) Ici on veut arriver à d pair et inférieur ou égal à 8
pour obtenir d=8
(22-8)/2 ==> 7 dizaines enlevées à a = 1999 ==> le nouvel a est a = 1929 2014 = 1929 + 85 d = Sa-Sb = 8
Avec d = 8 on peut alors répartir en -4 pour a et +4 pour b, soit une partition acceptable ==> 2014 = 1925 + 89 d = 0 Sa = Sb = 17
pour obtenir d = 6
(22-6)/2 ==> 8 dizaines enlevées à a = 1999 soit
2014 = 1919 + 95 d = Sa-Sb = 6 soit avec -3 et +3, pour a et b ==> 2014 = 1916 + 98 d = 0 Sa = Sb = 17
→ On ne peut poursuivre ici : il faut alors considérer le cas de b à trois chiffres.
3) b est à 3 chiffres
première partition de ce type 2014 = 1914 + 100 d = 14
d ne peut s'annuler avant le changement de centaine pour a (et changement d'unité pour b) alors Ga=Gb=1 (modulo 2) :
→ parité conservée ici pour d (au passage de la centaine pour a) : 2014 = 1900 + 114 d = Sa-Sb = 4
2014 = 1899 + 115 d = Sa-Sb = 20
(1) ==> Pour obtenir la partition souhaitée de 2014 : d= Sa-Sb doit être pair et au maximum égal à 8
→ Tout d'abord le cas où a et b conservent le même chiffre des centaines (3) A l'intérieur d'une même centaine on peut utiliser la propriété indiquée en (2) ci-dessus :
Avec 1800 < a < 1899 et 100 < b < 199 (égalités permises) , pour obtenir d = 8,
il faut (20-8)/2 = 6 changements de dizaine de a La partition correspondante est
2014 = 1839 + 175 (d = 8)
L'équipartition de 8 en -4 et + 4 respectivement conduit alors à la solution à 3 chiffres pour b : ==> 2014 = 1835 + 179 d= 0 Sa = Sb = 17 (sol 1) d = 6
(20-6)/2 = 7 changements de dizaine de a sont nécessaires : 2014 = 1829 + 185 (d = 6)
puis équipartition de -3 ,+3, d'où la partition solution
==> 2014 = 1826 + 188 d = 0 Sa = Sb = 17 (sol 2)
d = 4
(20-4)/2 = 8 changements de dizaine, ce qui conduit à 2014 = 1819 + 195 d= 4
puis équipartition de -2 , + 2 pour une partition acceptée
==> 2014 = 1817 + 197 d = 0 Sa = Sb = 17 (sol 3) → Une étape suivante avec d = 2 n'est pas possible : elle mettrait en jeu une valeur de b plus grande que 199
Remarque : il est clair qu'en acceptant le changement de centaine pour a et pour b, on retrouve à nouveau une famille de solutions.
Ainsi pour la gamme suivante 200 < b < 299 et 1700 < a < 1799 , la même démarche conduit à 2014 = 1799 + 215 avec d = 18
A partir de cela on trouve les solutions suivantes :
==> 2014 = 1745 + 269 d = 0 (Sa = Sb = 17) (sol 4) ==> 2014 = 1736 + 278 d= 0 ( '' )
==> 2014 = 1727 + 287 d = 0 ( '' ) ==> 2014 = 1718 + 296 d = 0 ( '' )
==> on obtient ainsi plusieurs partions avec b à 3 chiffres par centaines considérées ; cela jusqu'à 900 < b < 999 et 1000 < a < 1099 ( a > b
4) a et b sont des nombres premiers
On pourrait utiliser ce qui précède pour rencontrer éventuellement une partition de 2014 en deux nombres premiers.
→ On peut aussi noter que lorsque Sa = Sb , on obtient pour valeur commune de ces sommes soit 8 (rencontrée avec b à un chiffre)
17 (rencontrée avec b à 2 ou 3 chiffres)
En fait pour un entier n écrit en base 10, la somme de ses chiffres est nécessairement égale à n modulo 9 Sn = n (mod 9)
Avec n = a + b où a et b sont entiers, on a donc Sa + Sb = Sn (mod 9)
→ Dans le cas particulier n = 2014 ==> Sn = 7 et on impose Sa= Sb=S Donc 2S = 7 + K9
Cette égalité exige (par parité) que K impair : K = 1 ==> S = 8
K = 3 ==> S = (34)/2 = 17 ( seules valeurs de K accessibles avec n = 2014 )
==> On peut donc répondre à cette question en considérant les nombres premiers b à deux ou 3 chiffres dont la somme des chiffres Sb est égale à 8 ou à 18.
Alors on doit avoir : a = (2014 – b) premier également et Sa = Sb
Remarque : la somme des unités des deux nombres premiers cherchés se termine ici par 4 → Avec cela, les possibilités de chiffre des unités pour a premier et b premier sont : unité de a unité de b
1 3
3 1 7 7
A l'examen d'une simple table de nombres premiers :
→ Sb = 8 , aucun nombre premier b à 2 chiffres n'est retenu (car a non premier ou bien Sa > 8) Recherche de b premier à 3 chiffres
→ Avec le nombre premier b = 503 auquel correspond le nombre premier a = 1511 , la partition est 2014 = 1511 + 503 a = 1511 est premier et Sa=Sb=8
→ Sb = 17, on voit que le seul candidat b premier à deux chiffres est b = 89 et il est exclu par le tableau précédent.
Recherche de b premiers à 3 chiffres
→ Deux nombres premiers b sont retenus auxquels correspond à chacun un nombre a également premier : b1 = 647 auquel correspond a1 = 2014 – b1 = 1367 premier et Sa=Sb=17
b2 = 827 a1 = 2014 - b2 = 1187 premier et Sa=Sb=17 Trois solutions pour la partition de 2014 en deux nombres premiers :
==> 2014 = 1511 + 503 Sa=Sb= 8 2014 = 1367 + 647 Sa=Sb= 18 2014 = 1187 + 827 Sa=Sb=18
5) les chiffres de a et b sont tous différents
→ on remarque dans (sol 4) ci-dessus que les chiffres constituant a et b sont tous différents : La partition suivante de 2014 constitue une solution cherchée :
(sol 4) ===> 2014 = 1745 + 269
Ceci n'exclut pas l'existence d'autres solutions de ce type parmi les partitions avec b à 3 chiffres
Q2 Il existe une infinité d'entiers rebelles
On peut préciser des conditions suffisantes pour obtenir un nombre rebelle:
A partir de ce qui précède, pour avoir affaire à un entier n rebelle il suffit :
1) qu' à partir de la première partition n = (n-1) +1 d0 = S(n-1) -1 soit impair
2) que cette parité se conserve lorsque a décroît depuis (n-1)
→ Montrons qu'avec cela on peut générer une infinité d'entiers rebelles 1 - Considérons le cas d'un entier n à 2 chiffres :
→ pour satisfaire strictement le point 2) ci-dessus , il faut :
soit un changement d'unité simultané pour a et b ( type (A) et (A) des préliminaires) C1 ou un changement de dizaine simultané pour a et b ( type (B) et (B) des préliminaires) C2 → les nombres n à 2 chiffres suivants satisfont au point 2) :
19, 29, 39, … , 99
→ parmi ces nombres, d0 est impair [ point 1) ] pour
29, 49, 69, 89 N. B . on peut leur adjoindre le cas évident à un chiffre n = 9
==> les 5 nombres { 9, 29, 49, 69, 89 } sont rebelles (E) 2 - cas n à 3 chiffres :
→ pour satisfaire strictement le point 2) ci-dessus, il faut ajouter aux conditions C1 et C2, la condition suivante : un changement de centaine simultané pour a et b ( type (A) et (A) des préliminaires) C3
→ les nombres entiers n à trois chiffres suivants satisfont au point 2) : 199, 299, 399, 499 … , 999
→ parmi ceux-là, d0 est impair pour les nombres : 199, 399, 599, 799, 999
==> les 5 nombres { 199, 399, 599, 799, 999 } sont rebelles
3 – Pour n à 4 chiffres, (de la même façon) en exigeant de plus un changement simultané de millier ( type (B) et (B) des préliminaires) et une valeur initiale d0 de d impaire
==> les entiers n à 4 chiffres suivants satisfont aux conditions suffisantes 1) et 2) ci-dessus {2999, 4999, 6999, 8999 } ; ils sont rebelles.
==> En poursuivant ainsi, on peut générer une infinité de nombres n entiers rebelles ( Ces nombres n sont ici impairs )
Q3 Trouver au moins 8 entiers rebelles pairs > 20. En existe-t-il plus de 9 ?
8 entiers rebelles pairs > 20 :
A la question précédente, des conditions suffisantes (notées 1) et 2) ) ont été utilisées pour obtenir un nombre rebelle.
En particulier, lorsque on se limite aux nombres n à deux chiffres, on a obtenu l'ensemble des n impairs suivants : { 29, 49, 69, 89 } (E') Considérons n' = n +/- 9 où n est un nombre de (E')
comparons d0 de la première partition de n à d'0 de la première partition de n' correspondant première partition de n :
n = a + 1 ==> d0 = Sa -1 première partition de n' :
n' = a' + 1 avec a' = a +/- 9 cela conduit à Sa' = Sa , d'où d'0 = Sa' -1 = d0
→ la condition suffisante 1) - parité initiale de d'0 - est satisfaite pour tous les n', puisqu'elle est satisfait pour les n de (E') → pour la condition suffisante 2) :
a priori, il n'est pas possible, pour les nombres n' pairs, de satisfaire le critère C1 : simultanéité du changement de dizaine lorsque a' décroit.
En appelant « pas », la décroissance d'une unité de a', il y a ici décalage d'un pas :
→ Ce décalage d'un pas dans le changement des dizaines entre a' et b' , produit le passage temporaire à une valeur paire de d'.
La valeur de d' redevient impaire au pas suivant lorsque l'autre nombre change aussi de dizaine
On vérifie simplement : sur l'ensemble des valeurs prises par d', les valeurs temporaires paires de d' vont en décroissant (avec a décroissant) lors de tels changements de dizaine
→ A la valeur d' =0 correspond ici la partition n' = (n'/2) + (n'/2) refusée car a > b strictement ==> Il n'y a donc pas de partition possible avec a > b et Sa = Sb pour ces nombres pairs
==> A partir de (E') sont ainsi créés 8 nombres pairs rebelles : 20, 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98
N.B. En considérant le nombre rebelle 9, on crée aussi le nombre pair rebelle 9+9 = 18 (0 n'est pas retenu ici) ==> D'où 9 entiers pairs rebelles :
==> { 18, 20, 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98 }
Parmi ces 9 entiers pairs rebelles, ici seulement 7 > 20 répondent à la question → On remarque que les premiers de ces nombres sont 19+/-1 39+/-1 59+/-1 79+/-1
→ Le nombre 100 qui complète cela parce qu'il est 99+1 associé alors à 98 = 99-1, est-il rebelle ? Avec 100 = 99 + 1 d'0 = 17 (condition suffisante 1) satisfaite)
Lorsque a' décroit, le changement de dizaine pour a' se fait avec un décalage d'un pas par rapport à celui de b' Et comme pour les cas précédents, la seule partition avec d'=0 se produit pour 100 = 50 + 50 (refusée) ==> 100 est un nombre pair rebelle, il s'ajoute aux nombres pairs rebelles déjà trouvés
==> { 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98, 100 } constitue un ensemble de 8 nombres pairs rebelles > 20
==> A ce stade en prenant en compte les nombres pairs rebelles à plus d'un chiffre et en incluant 10 donné en énoncé, on a :
11 nombres pairs sont rebelles dont 8 > 20 {10, 18, 20, 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98, 100 }
Existe-t-il d'autres nombres n pairs rebelles ? Avec n = a+ b et d'= Sa-Sb :
→ La situation « favorable » qui a conduit à d'=0 exactement lorsque a = n/2 et b = n/2 ,
n'est plus présente pour des nombres pairs semblables à 100 (centaines qui satisfont à la condition 1) d'0 impair) ; comme 300, 500, …
En effet pour ces nombres plus grands que 100, d'=0 se produit pour a > n/2 et b < n/2 donc une partition de n parfaitement acceptable.
Compte tenu du mécanisme utilisé ci-dessus pour trouver ces nombres pairs rebelles :
– un d0 = S(n-1) – 1 impair qui se maintient « globalement » impair lorsque a décroit ;
« globalement » : signifie que les passages inévitables par d pair ont lieu pour un pas de a – l'annulation de ce d pair (qui décroit avec a) se fait lorsque a = b = n/2 ,
on peut dire (du moins dans cette approche) :
→ Il n'existe pas d'autres nombres pairs rebelles supérieurs à 100
==> On peut donner une preuve plus complète de cela de la façon suivante :
D'une façon générale avec Sn ,Sa , Sb sommes des chiffres respectivement de n, a et b :
Sa + Sb = Sn (modulo 9) (cf. Q1 (4) )
Il s'y ajoute le fait que Sa+Sb > Sn l'égalité ayant lieu si la somme n = a+b se fait sans retenue Ici on impose Sa=Sb=S
Avec cela
2S = Sn + K9 où K est un entier positif ou nul ( parité de K dictée par celle de Sn ) ==> On peut utiliser cela pour préciser ce qui précède :
Avec n = 100 on a Sn = 1 donc K impair
les valeurs de S sont S = 5 + k9 où k est un entier positif ou nul
→ partant de n = 100 = 99 + 1 seule la valeur S = 5 se révèle accessible. Elle apparaît pour la première fois pour a = b = 50 ce qui n'est pas accepté, et 100 est rebelle (résultat déjà établi) Avec n = 300 - dont on a dit , bien que semblable à n= 100 (même parité de d'0), qu'il n'est pas rebelle : avec Sn = 3, les valeurs de S sont S = 6 + k9
On observe effectivement que n = 300 = 150+150 satisfait à S=Sa=Sb=6 → MAIS ici S=6 se produit DEJA pour a > 150 En effet :
Partant de 300 = 299 +1 Sa =20 Sb =1 les parités de Sa et Sb sont opposées au départ.
Pour ces nombres pairs, on a vu qu'elles sont semblables au passage d'une dizaine pour a ou b, ainsi 300 = 290 + 10 Sa = 11 et Sb = 1 (Etap1) Puisque la valeur attendue est S = 6, il suffit que Sa diminue de 5 unité au profit de Sb
Cela peut se faire en conservant les mêmes parités pour Sa et Sb à partir de (Etap1), c'est-à-dire en opérant sur les dizaines :
300 =240 + 60 Sa=Sb= S=6 et 300 est docile ==> Ceci montre que pour ces nombres pairs, dès que n > 100 :
- on peut toujours réaliser Sa = Sb = une certaine valeur attendue de S ; et cela pour a > n/2 - on a pu préciser au passage une façon d'atteindre la partition de n en a et b qui réalise ceci . → Pour illustrer tout cela dans un cas de nombre pair quelconque, prenons par exemple n = 875594 Tout d'abord Sn = 38 , d'où les valeurs de S=Sa=Sb attendues :
S = 19 +k9 (mêmes notations que ci-dessus)
On peut remarquer que a=b= n/2 = 437797 conduit à S = 37 qui est bien une valeur attendue de S
Mais puisqu'ici la première valeur attendue pour S est S= 19, on peut s'attendre a fortiori (en comparaison du cas n=
300 ci-dessus) à ce que cela se produise certainement pour a > n/2
Ainsi partant de 875 594 = 875593 + 1 où Sa = 37 et Sb = 1 sont de parité opposée, Sa et Sb ont même parité pour
875 594 = 875000 + 594 où Sa = 20 Sb = 18 (même parité)
la diminution d'une unité pour Sa au profit de Sb se fait alors au passage des milliers suivants (qui conserve la parité relative : Gi = 0 pour a et b cf. préliminaires):
875 594 = 874 000 + 1594 où Sa = 19 et Sb = 19 ==> Ce nombre est donc docile
