D177. Immuablement égaux
Deux droites perpendiculaires entre elles passent par l’orthocentre H d’un triangle acutangle ABC, l’une comme l’autre n’étant jamais confondues avec une hauteur du triangle. Chacune d’elles coupe les droites qui portent les côtés du triangle et détermine deux segments l’un intérieur au triangle et l’autre extérieur. Par exemple,dans la figure ci-après,sur la droite XbXaXc, le segment bleu XaXb est à l’intérieur du triangle et le segment rouge XaXc est à l’extérieur.
Démontrer que lorsque les droites perpendiculaires pivotent autour de H, le produit des longueurs des deux segments intérieurs est toujours égal au produit des longueurs des deux segments extérieurs
Solution proposée par Gaston Parrour
Sur les droites perpendiculaires et mobiles passant par l'orthocentre H, montrons :
→ le produit des longueurs internes au triangle ABC est égal produit des longueurs externes au triangle XaXb . YaYc = XaXc.YaYb ( R ) quelle que soit la position des droites mobiles
N.B. Lorsque l'une de ces droites se confond avec une des hauteurs du triangle ABC, on obtient une forme indéterminée dans l'un des membres de ( R ). Cela peut être considéré comme un cas limite de la relation ( R ) Par exemple :lorsque Xa est en B, à droite de ( R ) on obtient XaXc = 0 ,et puisqu'alors YcYa est parallèle à AC, Yb est rejeté à l'infini et YaYb est infini
Notation dans la suite, un angle est noté ∠ XYZ : il a son sommet en Y et ses côtés sont selon YX et YZ 1- La parallèle à AB passant par Xb coupe le côté BC en D (trait interrompu-court en rouge sur la figure) : Dans les triangles semblables Xc B Xa et Xa D Xb
DXb/BXc = XaXb/XaXc (1) et dans les triangles semblables D C Xb et B C A
DXb/AB = CXb/AC ==> DXb = (AB/AC) CXb (2) → Les égalités (1) et (2) conduisent à (AB/AC) CXb/BXc = XaXb/XaXc (3) De façon analogue :
2 - La parallèle à AC passant par Yc coupe le côté BC en E (trait interrompu-court en vert sur la figure) On peut procéder comme ci-dessus, ou bien noter que :
le rôle de A est inchangé, les rôles à l'intérieur des couples (B,C) (Xa ,Ya) (Xb ,Yc) et (Xc ,Yb) sont échangés → obtient alors une relation (4) analogue à la relation (3) ci-dessus
(AC/AB) BYc/CYb = YaYc/YaYb (4) D E
Pour tirer parti des relations (3) et (4) :
3 - Relation entre les deux membres de gauche des égalités (3) et (4) :
a - Les triangles Xc B H et H C Yb sont semblables : deux angles sont respectivement égaux → ∠ C Yb H = ∠ B H Xc (angles à côtés perpendiculaires) (5) ∠ Yc Xc H = ∠ C H Yb (angles à côtés perpendiculaires) (6) Dans ces triangles semblables, les côtés correspondants vérifient :
BXc/HB = HC/CYb (7) b - Les triangles B Yc H et C H Xb sont semblables : deux angles sont respectivement égaux → ∠ B Yc H = pi/2 - ∠ Yc Xc H
∠ C H Xb = pi/2 - ∠ C H Yb ,
et avec la relation (6), les deux angles considérés à gauche de ces égalités sont égaux
∠ B Yc H = ∠ C H Xb (5') D'autre part
∠ H B Yc = pi/2 – ∠ B A C = ∠ H C Xb (6') Dans ces triangles semblables, les côtés correspondants vérifient :
HC/CXb = BYc/HB (8) → Avec les relations (7) et (8) obtenues :
HB.HC = BXc.CYb = BYc.CXb ==> CYb/BYc = CXb/BXc (9) Conclusion
La relation (9) rapprochée des relations (3) et (4), conduit à la relation (R ) (écrite ici sous forme de rapports) XaXb/XaXc = YaYb/YaYc
