Deux droites perpendiculaires entre elles passent par l’orthocentre H d’un triangle acutangle ABC, l’une comme l’autre n’étant jamais confondue avec une hauteur du triangle..Chacune d’elles coupe les droites qui portent les côtés du triangle et détermine deux segments l’un intérieur au triangle et l’autre extérieur. Par exemple,dans la figure ci-après,sur la droite XbXaXc, le segment bleu XaXb est à l’intérieur du triangle et le segment rouge XaXc est à l’extérieur
Démontrer que lorsque les droites perpendiculaires pivotent autour de H, le produit des longueurs des deux segments intérieurs est toujours égal au produit des longueurs des deux segments
extérieurs.
Soient (X) et (Y) les droites perpendiculaires, θ l’angle de la droite (X) avec la hauteur AH, et Ha, Hb et Hc les pieds des hauteurs issues de A, B et C.
AH=b cosA/sinB, HHa=b cosC/tanB donc HXa=HHa/cosθ =b cosC/(tanB cosθ) ; HXb=AH cosC/cos(C-θ)=b cosAcosC/(sinBcos(C-θ). Or, cosA+cosBcosC=sinAsinB donc cosBcos(C-θ)+cosAcosθ=cosθ(cosA+cosBcosC)+sintsinCcosB=sinCsin(B+θ) Alors XaXb=HXa+HXb=b (cosC/sinB)(cosB/cosθ+cosA/cos(C-θ)
XaXb=b sinC cosC sin(B+θ)/(sinB cosθ cos(C-θ))
De même, XaXc=HXc-HXa ; HXc=-HHc/cos(B+θ) ; HHc=b cosA/tanB
XaXc=b cotanB(-cosA/cos(B+θ)-cosC/cosθ) que l’on transforme comme ci-dessus XaXc=-b cosB sin(C-θ)/cosθ cos(B+θ)
On obtient des relations similaires pour (Y) en changeant B et C et θ en π/2-θ.
YaYc = c sinB cosB cos(C-θ)/cosC sinθ sin(B+θ) YaYb=-c cosC cos(B+θ)/(sinθ sin(C-θ))
Donc XaXb*YaYc=bc sinC cosB /(sinθ cosθ)=XaXc*YaYb
