D177. Immuablement ´ egaux

D177. Immuablement ´ egaux

Appliquons le th´eor`eme de M´en´ela¨us successivement dans les trianglesAXbXc

et AY_bY_c avec la droiteBC comme s´ecante:

X_aX_c XaXb

× CX_b

CA × BA BXc

= 1

et YaYc

Y_aY_b × CYb

CA × BA BY_c = 1 d’o`u:

XaXc×YaYb

XaXb×YaYc

= CXb×BYc

CYb×BXc

Il faut donc d´emontrer que le terme de droite est ´egal `a 1.

SoitDl’intersection de HC avec le cercle circonscrit `aHX_bY_b. On a:

AX\_cH =Y\_bX_bD

Donc les trianglesX_bY_bHetX_cY_cH sont semblables, ce qui prouve la propo- sition.

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Propri´et´es additionnelles de la figure:

Construisons les points E, F et G qui partagent dans le mˆeme rapport les segments orient´es XcYc, XaYa et XbYb. Le raisonnement pr´ec´edent pris `a l’envers montre que ces 3 points sont align´es.

En particulier (comme sur le dessin), les milieux des segments sont align´es. Or ce sont les centres des cercles circonscrits aux triangles HX_aY_a, HX_bY_b et HX_cY_c. Ils ont le pointH en commun, donc aussi l’axe radicalHH⁰ en com- mun.

H⁰ se trouve sur le cercle circonscrit `aABC:

EH\⁰G=EHG\ =BHC\ =π−BAC\

Pour la 2`eme ´egalit´e: BHE\ =CDG\ =CHG\ (d’abord la similitude, puis la sym´etrie dans le cercle de centreG)

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