Deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes en formant un angle droit.
Exemple 1 :
Les droites (d) et (d') sont perpendiculaires.
On note (d) (d').
Exemple 2 :
Construis la droite (d') perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M.
On place l'un des côtés de l'angle droit de l'équerre sur la droite (d), et l'autre côté sur le point M.
On trace la droite le long du côté de l'équerre.
On prolonge la droite
à l'aide de la règle. On nomme la droite (d') et on code l'angle droit.
Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes.
Remarque : Deux droites parallèles sont soient confondues, soit n'ont aucun point commun.
Exemple 1 :
Les droites (d) et (d') sont parallèles. On note (d) // (d').
Exemple 2 :
Construis la droite (d'') parallèle à la droite (d) passant par le point N.
On place un côté de l'angle droit de l'équerre sur la droite (d), et la règle sur l'autre côté de l'angle
L'équerre coulisse le long de la règle, jusqu'au point N, sans bouger la règle. On trace la droite le long du
On nomme la droite (d'').
Droites perpendiculaires
1
(d) (d')
M (d)
(d')
M (d)
(d')
M (d)
M (d)
(d')
Droites parallèles
2
N
(d)
N
(d)
N
(d)
N
(d) (d'') (d)
(d')
Définition
Définition
114
droit. côté de l'équerre.
Deux droites sont :
• soit sécantes ;
• soit parallèles.
Deux droites sécantes sont :
• soit perpendiculaires ;
• soit non perpendiculaires.
Remarque : On peut résumer ceci dans un organigramme.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Exemple :
Construis la médiatrice du segment [OS].
On place le milieu du segment [OS] et on code les longueurs égales.
On trace la droite perpendiculaire au segment [OS] qui passe par son milieu.
On prolonge cette droite à l'aide de la règle.
On code l'angle droit.
Distance d'un point à une droite
Position relative de deux droites
3
Propriété 1
Définition
Propriété 2
Position relative de deux droitesSécantes
Parallèles
Perpendiculaires
Non perpendiculaires Confondues
Distinctes
1
1 Une infinité 0 Nombre de points communs
Médiatrice d'un segment
4
Médiatrice de [OS]
O
S
O
S
¤
¤
Médiatrice de [OS]
O
S
¤
¤
Distance et droites
5
A
O
S
¤
¤
(d) A
Soit une droite (d) et un point A n'appartenant pas à (d).
La distance du point A à la droite (d) est la longueur AH, où H désigne le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A.
Exemple :
Soit (d) une droite et A un point n'appartenant pas à (d). Mesure la distance du point A à la droite (d).
On trace la droite perpendiculaire à (d) qui passe par le point A.
On mesure la longueur AH, où H est le pied de la perpendiculaire à (d).
Points équidistants d'une droite
L'ensemble des points situés à une même distance d'une droite (d) est constitué de deux droites parallèles à (d), situées de part et d'autre de (d).
Exemple : Soit (d) une droite. Construis l'ensemble des points situés à 3 cm de cette droite.
On trace une perpendicu-laire (∆) à (d). Elle coupe (d) en H. On place un point M sur (∆), tel que MH = 3 cm, et un point M' sur (∆), de l'autre côté de (d), tel que M'H = 3 cm.
On trace les parallèles à (d) qui passent respectivement par M et par M'. L'ensemble recherché est constitué des deux droites roses.Distance entre deux droites parallèles
La distance entre deux droites parallèles est la plus courte distance entre deux points de ces deux droites.
Remarque : Cette distance est constante. Elle ne dépend pas des points choisis.
Soient (d) et (d') deux droites parallèles. Soit un point A sur (d).
La distance entre (d) et (d') est la longueur AB, où B est le point d'intersection de cette perpendiculaire et de (d').
Exemple : Soient (d) et (d') deux droites parallèles. Quelle est la distance entre ces deux droites ?
C
Définition
Règle Règle
H (∆) M
(d)
M' 3 cm
3 cm H
(∆) M
(d)
M' 3 cm
3 cm
B
Définition
(d) A
H
116
A
(d) (d')
B
On place un point A
sur (d). On trace la perpendi-
culaire à (d') passant par A.
Elle coupe (d') en B. La distance entre ces deux droites est la longueur AB.
Exercices « À toi de jouer ! »
Recopie et complète les phrases avec les mots : « parallèles », « perpendiculaires » ou « sécantes et non perpendiculaires ».
a. Les droites (AB) et (AD) semblent … . b. Les droites (AB) et (BC) semblent … . c. Les droites (GE) et (FA) semblent … . d. Les droites (AB) et (CF) semblent … . e. Les droites (BC) et (GE) semblent … .
Écris trois phrases avec les mots
« parallèle » et « perpendiculaire », comme dans l'exemple ci-dessous :
« La droite (d2) est la droite perpendiculaire à la droite (d3) passant par le point B. »
Sur une feuille quadrillée, trace la droite (d) perpendiculaire à la droite (d) passant par le
Sur du papier blanc (sans quadrillage), reproduis une figure analogue à celle-ci.
a. Trace la droite (d) parallèle à la droite (AB) passant par le point C.
b. Trace la droite (d') perpendiculaire à la droite (AC) passant par le point B.
Après avoir tracé chaque segment ci- dessous, trace leur médiatrice.
a. Le segment [RT] de longueur 4,8 cm.
b. Le segment [UV] de longueur 5,6 cm.
Construis un triangle OMN, rectangle en O, tel que OM = 4 cm et ON = 5,5 cm.
Quelle est la distance...
a. du point M à la droite (ON) ? b. du point N à la droite (OM) ?
Soit (∆) une droite. Construis en rouge l'en- semble des points situés à 3,5 cm de (∆).
Soit (∆) une droite. Colorie en bleu l'en- semble des points situés à moins de 2 cm de (∆).
Quelle est la distance entre les droites (d1)
1 4
A E
D C
B
G F
2
5
6
7 A
(d1)
(d3) (d2)
B
A
(d) (d')
B A
(d) (d') (d)
(d')
3
8
9
(d) P
A
C B
(d4) (d1)
(d2) (d3)
