Définitions
• Deux droites qui ne sont pas sécantes sont dites parallèles.
• Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit.
Exemple :
• Les droites (d2) et (d3) sont parallèles.
On note (d2) // (d3).
• Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires.
On note (d1) ⊥ (d2).
À leur intersection, elles forment quatre angles droits. Il n'est pas nécessaire de coder les quatre angles droits, un seul suffit.
Propriétés
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Exemple :
On sait que (d1) est parallèle à (d) et que (d2) est également parallèle à (d).
On en déduit donc que (d1) et (d2) sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Exemple :
On sait que (d1) et (d2) sont perpendiculaires à (d).
On en déduit donc que (d1) et (d2) sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles et
si une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
Exemple :
On sait que (d1) est parallèle à (d2) et que (d) est perpendiculaire à (d1).
On en déduit donc que (d) est perpendiculaire à (d2).
G2 • Position relative de droites
98
Droites parallèles et perpendiculaires
1
A
B
15Définitions
Propriété 1
Propriété 2
Propriété 3
(d1)
(d) (d2)
(d1)
(d2) (d)
(d1)
(d2) (d)
(d2)
(d3) (d1)
Angles adjacents
Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun, un côté commun et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Exemple :
Les angleŝAOB et̂BOC ont comme sommet commun le point O, comme côté commun la demi-droite [OB) et ils sont placés de part et d'autre de [OB) : ils sont donc adjacents.
Remarque :
Les angles adjacentŝDOE et̂EOF partagent un angle plat.
Leur somme est donc égale à 180°.
On dit qu'ils sont supplémentaires.
Angles correspondants, alternes-internes
• Les angles bleus sont alternes-internes.
Ils sont déterminés par les droites (d), (d') et la sécante (d1).
• Les angles verts sont correspondants.
Ils sont déterminés par les droites (d), (d') et la sécante (d2).
• Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
• Si deux angles correspondants ont la même mesure,
alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
Exemple :
Les angleŝABC et̂BCD sont alternes-internes car ils sont déterminés par la sécante (BC) et les droites (AB) et (CD).
De plus, le codage indique qu'ils ont la même mesure.
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Position relative de droites • G2
99
A
B
Angles et parallélisme
2
Définition
Propriété 1 Définitions
(d)
(d') (d 1) (d2)
A O B
C
O D
E
F
B
C D
A
22 31
• Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.
• Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.
Exemple :
On sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
• Les angles correspondantŝCAB et̂ECD sont déterminés par la sécante (AC) et les droites (AB) et (CD), parallèles entre elles.
Ils ont donc la même mesure.
DonĉCAB= ̂ECD= 36°.
• Les angles alternes-interneŝCBA et̂DCB sont déterminés par la sécante (BC) et les droites (AB) et (CD), parallèles entre elles.
Ils ont donc la même mesure.
DonĉCBA= ̂DCB= 30°.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Exemple :
La droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] en son milieu.
C'est donc la médiatrice du segment [AB].
Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Exemple :
On sait que la droite (d) est la médiatrice du segment [AB] et que le triangle BCD est isocèle en C.
Comme C appartient à la médiatrice de [AB], il est équidistant des extrémités A et B, donc CA = CB.
Comme BCD est isocèle en C, CB = CD.
CA = CB = CD donc le triangle ACD est isocèle en C.
Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Conséquence :
Pour construire la médiatrice d'un segment, il suffit donc de tracer deux arcs de cercle de centre les extrémités du segment, et de même rayon (plus grand que la moitié du segment).
Ces arcs de cercle se coupent en deux points équidistants des extrémités du segment, ils appartiennent donc à la médiatrice de ce segment. On trace alors la droite passant par ces deux points.
G2 • Position relative de droites
40 Définition
Propriété 2
Médiatrice d'un segment
3
Propriété 1
Propriété 2
36°
A B
C
E D 30°
(d)
A
B
B
C
(d) D A
A
B
(d)
