Enoncé D177 (Diophante) Immuablement égaux Deux droites perpendiculaires entre elles passent par l’orthocentre

Enoncé D177 (Diophante) Immuablement égaux

Deux droites perpendiculaires entre elles passent par l’orthocentreH d’un triangle acutangle ABC, l’une comme l’autre n’étant jamais confondue avec une hauteur du triangle. Chacune d’elles coupe les droites qui portent les côtés du triangle et détermine deux segments l’un intérieur au triangle et l’autre extérieur. Par exemple, dans la figure ci-après, sur la droite X_bX_aX_c, le segment bleuX_aX_b est à l’intérieur du triangle et le segment rouge X_aX_cest à l’extérieur

Démontrer que lorsque les droites perpendiculaires pivotent autour de H, le produit des longueurs des deux segments intérieurs est toujours égal au produit des longueurs des deux segments extérieurs.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Le triangle étant acutangle, H lui est intérieur et les angles BHC, CHA, AHB sont obtus : aucun ne peut être contenu dans les qua- drants définis par les deux droites ; ainsi aucun côté du triangle n’est exempt des points d’intersection des quatre demi-droites avec le périmètre ; un côté a deux points d’intersection, les deux autres en ont un. Sans perte de généralité, on peut supposer que le côté BC est celui contenant deux points d’intersection (cas de la figure).

Je note D, E, F les pieds des hauteurs sur BC, CA, AB. Prenant pour unité de longueur le diamètre du cercle circonscrit, on a

HD= cosBcosC,HE = cosCcosA,HF = cosAcosB.

SoitZ l’angle (HXa, HD=HYa, BC) ; 0< Z < C. C−Z= (Y b_E, Y_bH) = (HE, HX_b).

B+Z = (Y_cH, CA) =π/2 + (HY_c, HF) =π−(HF, HX_c).

On en tire les distances de H aux 6 points d’intersection HXa= HD

cosZ = cosBcosC cosZ HX_b = HE

cos(C−Z) = cosCcosA cos(C−Z) HXc= HF

cos(π−B−Z) =−cosAcosB cos(B+Z) HY_a= HD

sinZ = cosBcosC sinZ HY_b = HE

sin(C−Z) = cosCcosA sin(C−Z) HY_c= HF

sin(π−B−Z) = cosAcosB sin(B+Z)

puis les longueurs des segments intérieurs, en utilisant les relations entre somme et produit de sinus ou de cosinus, et la conditionA+B+C =π XaXb =HXa+HXb= sinCcosCsin(B+Z)

cosZcos(C−Z)

Y_aY_c=HY_a+HY_c= sinBcosBcos(C−Z) sinZsin(B+Z)

Le “produit bleu” X_aX_b·Y_aY_c= sin(2B) sin(2C) 2 sin(2Z) On obtient de même, pour les segments extérieurs XaXc=HXc−HXa= sinBcosBsin(C−Z)

−cosZcos(B+Z) YaY_b =HY_b−HYa= −sinCcosCcos(B+Z)

sinZsin(C−Z) Le “produit rouge”X_aX_c·Y_aY_b = sin(2B) sin(2C)

2 sin(2Z) , égal au “produit bleu”, CQFD.