D177 - Immuablement égaux [*** à la main]
Deux droites perpendiculaires entre elles passent par l’orthocentre d’un triangle acutangle, l’une comme l’autre n’étant jamais confondue avec une hauteur du triangle..Chacune d’elles coupe les droites qui portent les côtés du triangle et détermine deux segments l’un intérieur au triangle et l’autre extérieur. Par exemple,dans la figure ci-après,sur la droite XbXaXc, le segment bleu XaXb est à l’intérieur du triangle et le segment riuge XaXc est à l’extérieur
Démontrer que lorsque les droites perpendiculaires pivotent autour de H, le produit des longueurs des deux segments intérieurs est toujours égal au produit des longueurs des segments extérieurs.
Solution proposée par Bernard Vignes
On désigne par B' et C' les pieds des hauteurs issues de B et de C dans le triangle ABC.
Comme BHYc = 90° ‒ BHXc = 90° ‒ B'HXb = CXbH et que HBYc et HCXb sont complémentaires du même angle BAC, les triangles BHYc et CXbH sont semblables.
De la même manière les triangles BHXc et CYbH sont semblables.
D'où BH/BYc = CXb/CH et BH/CYb = BXc/CH, ce qui entraine BH.CH = BYc.CXb (segments jaunes de la figure supra) = CYb.BXc (cf segments verts) (1)
Par ailleurs le théorème de Menelaüs appliqué une première fois au triangle AXbXc avec la droite BC et une deuxième fois au triangle AYbYc toujours avec cette même droite, donne les deux relations:
AB/BXc*XcXa/XaXb*XbC/CA=1 et AB/BYc*YcYa/YaYb*YbC/CA = 1.
D'où AB*YcYa*YbC*BXc*Xa.Xb*CA = BYc*YaYb*CA*AB*XcXa*XbC
Après élimination des termes communs aus deux membres et compte tenu de la relation (1), on obtient YcYa*XaXb (segments bleus) = YaYb*XcXa (segments rouges) C.q.f.d.
