Les droites remarquables dans un triangle
Chapitre : 12
Fait par : ahmed barahna
Plus d’information visitez le site web:
www.ahmedbarahna.jimdo.com
Activité 1:
1) Tracer le segment 𝐴𝐵 tel que AB = 4cm .
2) Construire ∆ la médiatrice du segment 𝐴𝐵 .
3) Soit M un point de ∆ , comparer les distances MB et MA
Solution :
1) 2)
∆ la médiatrice du segment 𝐴𝐵
Définition 1 :
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce
segment perpendiculairement en son milieu.
Exemple :
(∆) la médiatrice du segment 𝐴𝐵 car (∆) passe par le milieu de 𝐴𝐵 Et (∆) ⊥ (𝐴𝐵)
Propriété 1:
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant à ses extrémités.
3) MB = MA
Exemple :
On a le point E appartient à (∆) la médiatrice du segment 𝐴𝐵
Alors EA = EB
Propriété 2:
Si un point est équidistant à les extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
Exemple :
On a MA = MB
Alors M appartient à la médiatrice du segment 𝐴𝐵
Activité 2:
ABC est triangle
1) Tracer (𝐷1) la médiatrice du segment 𝐴𝐵 2) Tracer (𝐷2) la médiatrice du segment 𝐴𝐶 3) Tracer (𝐷3) la médiatrice du segment 𝐵𝐶
4) Soit O le point d’intersection des droites (𝐷1) , (𝐷2) et (𝐷3) 5) Comparer les distances OA , OB et OC
Solution :
Propriété 3:
Les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle
La médiatrice du triangle ABC
O le Centre du cercle circonscrit au triangle ABC
Définition 2 :
La médiatrice d’un triangle est la médiatrice de l’un de ses côtés.
Exemple :
(𝐷1) La médiatrice du triangle ABC 5) OA = OB = OC
Exemple :
• Le centre du cercle circonscrit à un triangle a un angle obtus existe à l’extérieur
du triangle
• Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse
Remarque 1 :
• Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle , il suffit de construire seulement Deux médiatrices de ce triangle
Activité 3
ABC est triangle
1) Tracer la bissectrice d’angle 𝐴𝐵𝐶 2) Tracer la bissectrice d’angle 𝐴𝐶𝐵 3) Tracer la bissectrice d’angle 𝐵𝐴𝐶
4) Les bissectrices du triangle sont concourantes en point I
5) Tracer H le projeté orthogonale du point I sur le côté 𝐴𝐵 Tracer k le projeté orthogonale du point I sur le côté 𝐴𝐶 Tracer L le projeté orthogonale du point I sur le côté 𝐵𝐶 6) Comparer les distances IH ,IK et IL
Solution :
1) 2) 3) 4) 5)
Définition 3 :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux angles de même mesure ( la bissectrice d’un triangle) .
La bissectrice du Triangle ABC
6) IH = IK = IL
Propriété 4:
Les bissectrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle
Activité 4
ABC est triangle
1) Tracer les hauteurs du triangle ABC
2) Tracer H le point d’ intersection des hauteurs du triangle ABC
Solution :
1)
La droite ( AH) est appelée une hauteur Du triangle ABC
Définition 4 :
La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par l’un des
sommets de ce triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Exemple :
Propriété 5:
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un seule point appelé orthocentre de ce triangle
Exemple :
La droite ( AH) est appelée une hauteur Du triangle ABC
• L’orthocentre d’un triangle rectangle
est le sommet d’angle droit • L’orthocentre d’un triangle a un angle obtus existe à l’extérieur du ce triangle
Activité 5
ABC est triangle tels que , A’ le milieu du segment ,B’ le milieu du segment , C’ est le milieu du segment .
1)Tracer la figure
2) Tracer G le point d’intersection des droites (A’A) ,(B’B) et (C’C) 3) Partager le segment en trois parties égaux
4) Déduire AG en fonction de AA’ et A’G en fonction de AA’
BC
AC AB
AA '
Solution : 1)
2) 3)
Définition5 :
Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé
Exemple :
La droite (BB’) est la médiane qui passant par le sommet B
Propriété 6:
Les médianes d’un triangle sont concourantes en un seule point appelé le centre de gravité de ce triangle
G le centre de gravité
Propriété 7:
ABC est un triangle , tel que A’ est le milieu du segment Si G son centre de gravité alors :
BC
3 '' 1 3 '
2 AA et A G AA
AG
Exemple
:On a : G le centre de gravité du triangle MNP Et : P’ le milieu de segment
Alors :
MN
3 ' ' 1
3 '
2PP et P G PP
PG
Exercice d’application :
ABC est un triangle , tel que A’ est le milieu du segment 1) Tracer G le centre de gravité du triangle ABC
2) Calculer AG et A’G sachant que AA’ = 9cm
3)Calculer AA puis A’G sachant que AG = 4cm
• Si le triangle ABC est équilatéral alors : la hauteur, la bissectrice ,la médiane et la médiatrice sont confondues.
• Triangle équilatéral
Cas particuliers :
• Triangle isocèle
• Si le triangle ABC est isocèle en A,
alors : la hauteur, la bissectrice et la médiane issue de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues
Exercice 1
Le gouverneur du Marrakech a décidé de construire une fontaine
équidistant à les trois villages suivants : Oukaimden , Aremd et Tachedirt . Où doit-il la placer précisément ?
Plus d’information visitez le site web : www.ahmedbarahna,jimdo,com
