D660 – Objectif 2019 [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Partant d'un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c'est le centre d'un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A,B,C qui forment un triangle équilatéral de côté 6.
Q1 Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre >10 (le diamètre de l'ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q2 Montrer qu'avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre): déterminer le nombre minimum de points d'un ensemble de diamètre >2019.
Solution obtenue à l’aide du logiciel Geogebra
Q₁
Le point D est le centre du cercle C₁ circonscrit au triangle équilatéral ABC.
Le point E est le centre du cercle C₂ circonscrit au triangle ACD. Ce point est sur le cercle C₁ et le triangle CDE est équilatéral.
Le point F est le centre du cercle C₃ circonscrit au triangle CDE.
Le point G est le centre du cercle C₄ circonscrit au triangle CEF.Ce point est sur le cercle C₃ et le triangle CFG est équilatéral. Par ailleursBDG = 150°.
Le point H (huitième point de la suite A,B,C,…,G,H) est le centre du cercle circonscrit C₅ au triangle BDG. Le triangle BGH est équilatéral et DH = BG = 13
2
On en déduit AH = 10.58301… > 10
Q₂
On construit de la même manière le point L centre du cercle C₉ équivalent au point H avec les points intermédiaires I,J,K centres des cercles C₆,C₇ et C₈ tracés à partir du triangle ABD.
On obtient HL = 2 39. D’où le triangle équilatéral HLX de centre D avec le sommet X établi comme précédemment avec trois points intermédiaires à partir du triangle BCD.Le point X est le 16ième de la séquence des points tracés.
On a HL/AB = 39 /3 = 2,08166…. A partir du triangle HLX on poursuit la même construction qu’avec le triangle d’origine ABC. 3*4 =12 points sont nécessaires. Huit étapes avec au total 4 + 8*12 = 100 points < 400 points suffisent pour dépasser le seuil de 2019 : 6( 39 /3)⁸ = 2115,6.. > 2019.
Q₃
Réponse : 13 points (pas nécessairement optimale)
Le point M est le centre du cercle C₁₀ circonscrit au triangle DHK puis le point N est le centre du cercle C₁₁ circonscrit au triangle AIM, puis O est le centre C₁₂ circonscrit au triangle CKN. Enfin le point P est le centre du cercle C₁₃ circonscrit au triangle BLO. On vérifie sur la partie gauche de la feuille de travail Geogebra que le rayon de ce cercle (4835,11..) est largement supérieur à 2019