Q₁ Démontrer que le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

D1843 − Un bel alignement [*** à la main]

Soit un triangle scalène ABC. Le cercle de centre C et de rayon CA coupe la droite [AB] en un deuxième point D et le cercle de centre B et de rayon BA coupe la droite [AC] en un deuxième point E.

On trace le point P symétrique de A par rapport au côté BC puis le cercle (Γ) circonscrit au triangle ADE. La droite [PD] coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F tandis que la droite [PE] coupe ce même cercle en un deuxième point G.

Les droites [BF] et [CG] se rencontrent en H, les droites [DE] et [FG] se rencontrent en I et les droites [AG] et [EH] se rencontrent en J.

Q₁ Démontrer que le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Q₂ Démontrer que les trois points B,I et J sont alignés.

Solution proposée par Bernard Vignes

Q₁ Lemme n°1 : les points B,D,P,C,E sont cocycliques.

Soit BAC = α et BCA = γ. Comme BA = BE par construction et que P est symétrique de A par rapport à BC, on a les relations d’angles BAC = BEA = BPC  B,P,C,E sont cocyliques. Comme CA = CD , BAC = BDC = BPC  D,P,C,E sont cocyliques.

Il en résulte que B et D sont sur le cercle circonscrit au triangle PCE.

Lemme n°2 : A est au milieu de l’arc EF du cercle circonscrit au triangle ADE.

EDF = 180°–EDP = PCE = 2BCA = 2γ et BDE = BCE = BCA = γ.

D’où BDF = BDE = γ.

Corollaire : comme AFE = ADE = AGE = AEF = AGF = ADF = γ et que P est symétrique de A par rapport à BC, les triangles PEF et PGD sont isocèles de sommet P et les points D et F sont

symétriques des points G et E par rapport à la droite AP.

Lemme n°3 : les triangles ABC et AFG sont semblables.

FAG = EAD = BAC d’une part et AGF = BCA = γ d’autre part.

On passe donc du triangle AFG au triangle ABC par une similitude de centre A, d’angle de rotation FAD et de coefficient d’homothétie AB/AF. Par cette similitude le cercle (ADE) devient le cercle (ABC) et le point d’intersection de ces deux cercles est le point H qui est à l’intersection de la droite [BF] et de la droite [CG].

Q₂ Les six points coycliques A,E,G,H,D et F constituent les sommets d’un hexagramme mystique de Pascal. Les points B,I et J respectivement à l’intersection des cordes AD et FH, DE et FG, AG et EH sont donc alignés.