D1931– Trois jeux de perpendiculaires
1er jeu
La droite qui relie l’orthocentre H d’un triangle ABC au milieu M du côté BC, coupe le cercle circonscrit au triangle ABC en un point P. Démontrer que les droites AP et PM sont
perpendiculaires entre elles.
Solution proposée par Patrick Gordon
Soit H' le point où la hauteur AH recoupe le cercle circonscrit au triangle ABC. On sait que H' est symétrique de H par rapport à BC.
Dans la symétrie par rapport à la médiatrice de BC, HH' devient un segment KK'. Comme H', K' est sur le cercle circonscrit. HH'KK' est un rectangle de centre M. Donc K' n'est autre que l'une des intersections P et P' de HM avec le cercle. Disons que c'est le point P'.
Or l'angle AH'P' est droit. AP' est donc un diamètre. Donc AP et PM sont perpendiculaires entre elles.
2ème jeu
O est le centre du cercle circonscrit au triangle isocèle ABC de sommet A et de base BC. D est le milieu de AB et E est le centre de gravité du triangle ACD. Démontrer que les droites OE et CD sont perpendiculaires entre elles.
On utilisera le produit scalaire. Tous les segments ci-après sont des vecteurs.
On appellera G le centre de gravité du triangle ABC.
Remarquons tout d'abord que :
DE =2/3 DF (car DF est une médiane du triangle ADC) DF = 1/2 BC (par homothétie)
Donc DE = 1/3 BC.
Donc,
OE = OD + DE = OD + 1/3 BC Par ailleurs,
DC = DB + BC = 1/2 AB + BC.
D'où le produit scalaire :
OE.DC = 1/2 OD.AB + BC.(1/6 AB + 1/3 BC + OD)
Le premier terme est nul et 1/6 AB + 1/3 BC = 1/3 (DB + BC) = 1/3 DC = DG
Ainsi :
OE.DC = BC.(DG + OD) = BC.OG
Mais BC.OG = 0 car le triangle ABC est isocèle. CQFD.
3ème jeu
Un cercle de centre P passant les sommets A et C d’un triangle ABC coupe le côté BA au point D et le côté BC au point E. Les cercles circonscrits aux triangles ABC et BDE se coupent en un deuxième point Q. Démontrer que les droites BQ et BQ sont perpendiculaires entre elles.
Dans l'inversion de pôle B qui conserve le cercle (P),
la droite DE devient le cercle circonscrit au triangle ABC,
la droite AC devient le cercle circonscrit au triangle BDE.
Q, intersection des cercles circonscrits aux triangles ABC et BDE est donc l'inverse de l'intersection (qu'on notera Q') des droites AC et DE.
Dans cette même inversion, P' inverse de P est le pied sur BP de la polaire de B par rapport au cercle (P). Mais Q' est sur la polaire de B par rapport à ce même cercle, donc Q'P' est
perpendiculaire à BP', et BQ' est donc un diamètre du cercle circonscrit à BQ'P', qui est donc orthogonal à BQ'.
Or, dans l'inversion, ce dernier cercle devient la droite PQ et la droite BQQ' est inchangée.
Donc BQ est perpendiculaire à PQ.
