D1935
Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle acutangle ABC qui a pour orthocentre H et dans lequel le sommet B se projette en I sur le côté AC, démontrer que la droite d’Euler est la bissectrice de l’angle CHI si et seulement si l’angle en A est égal à 60°.
--- La droite d'Euler joint H et le centre O du cercle circonscrit au triangle. Elle est bissectrice de l'angle CHI si et seulement si O est équidistant des deux hauteurs (CH) et (BH).
Soient B' et C' les points où les hauteurs BH et CH recoupent le cercle circonscrit.
La condition précédente équivaut à l'égalité des cordes BB' et CC', ou à l'égalité des angles au centre BOB' et COC', ou encore des angles inscrits BCB' et CAC'.
Soient α, β, γ les angles en A, B, C du triangle acutangle ABC.
BCB' = BCA + ACB' = γ + (90° – α ) car H et B' sont symétriques par rapport au côté AC.
CAC' = CAB + BAC' = α + (90° – β ) car H et C' sont symétriques par rapport au côté AB.
D'où la condition γ – α = α – β , ou γ + β = 2.α , ou 180° = 3.α, ou α = 60°.
Remarque :
Les cordes égales BB' et CC' sont alors les diagonales du trapèze isocèle BC'B'C, dont les deux bases BC' et CB' sont perpendiculaires à la droite d'Euler OH.
