D1912 – Le ratio de la cocyclicité
On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC. Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC et AB respectivement en E et F.
On désigne par K et L les symétriques de E et F par rapport à I.
Démontrer :
a) que les quatre points B, C, K et L sont sur un même cercle, b) que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangle AEF.
Solution proposée par Patrick Gordon
Nous commencerons par établir un résultat qui vaut pour un triangle quelconque et répond directement à la seconde question. Puis, pour un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC, nous établirons une seconde propriété qui nous permettra de répondre à la première question.
1. Propriété générale
Dans un triangle ABC, le cercle passant par B, C et le centre du cercle inscrit I a son centre sur la droite IA.
Le centre de ce cercle (appelons-le D) est sur les médiatrices de IB et IC. Il est donc homothétique (I, ½) de l'intersection des perpendiculaires en B à IB et en C à IC. Mais ces dernières droites sont les bissectrices extérieures en B et C et concourent donc sur la
bissectrice intérieure de A, au centre du cercle exinscrit à l'angle A, que nous appellerons J (IJ est un diamètre du cercle passant par B, C, I).
Ainsi, les points A, I, D sont alignés.
Cette propriété est valable dans tout triangle. Celle qui suit est spécifique aux triangles ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC
2. Propriété spécifique
Dans un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC, le cercle passant par B, C et le centre du cercle inscrit I est égal au cercle de diamètre IA.
Le cercle inscrit (de centre I) et le cercle exinscrit à l'angle A (de centre J) sont homothétiques par rapport à A dans le rapport des segments de tangentes menées à ces cercles depuis A. Sur le côté AC, le premier de ces segments est AE. Notons AE' le second : on sait que AE = p–a, que EC = p–c et que CE' = p–b. Donc AE' = p, et le rapport d'homothétie est donc p / (p–a).
Dans un triangle présentant la propriété de l'énoncé on a, par hypothèse, p = 2a, donc p – a = a et par conséquent le rapport d'homothétie est 2.
On a donc AJ = 2 AI, donc AI = IJ.
Mais IJ est un diamètre du cercle passant par B, C, I. Ce cercle est donc égal au cercle de diamètre AI.
Comme en outre (et d'une manière générale, pour tout triangle ABC), ces deux cercles sont, on l'a vu, tangents extérieurement en I, ils sont symétriques par rapport à I.
Dès lors, les réponses aux questions de l'énoncé vont de soi :
a) E et F étant sur le cercle de diamètre IA, leurs symétriques K et L par rapport à I sont sur le cercle passant par B, C et I.
b) Que le cercle passant par B, C, I et K et L soit tangent au cercle de diamètre IA (circonscrit au triangle AEF) a déjà été démontré : ils sont tangents en I.
