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Dans un triangle, le symétrique de l’orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Classe de première 10 Mardi 15 mai 2012 Devoir de rattrapage

Exercice 1 (12 points)

Le but de l’exercice est de vérifier, dans un cas particulier, la propriété : « Dans un triangle, le symétrique de l’orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit ».

Le plan est rapporté à un repère orthonormé , , . On donne les points 2 ; 6 , 8 ; 2 et −3 ; −9 1. Faire une figure que l’on complétera par la suite.

2. Γ est le cercle d’équation + − 2 + 4 − 60 = 0. Déterminer le centre et le rayon de Γ, le tracer. Démontrer que appartient à Γ (on admettra que et appartiennent aussi à Γ).

3. Donner une équation de la droite Δ perpendiculaire à passant par . 4. Soit 5 ; 3 . Démontrer que est l’orthocentre du triangle .

5. Vérifier que ′ 7 ; 1 est le projeté orthogonal de sur .

6. Quelles sont les coordonnées du symétrique de par rapport à ? Vérifier l’énoncé proposé.

Exercice 2 (8 points)

Le but de l’exercice est de déterminer la valeur exacte du cosinus de !

". 1. Pourquoi a-t-on cos&!

" = − cos!

" ?

2. On pose = cos!". Exprimer cos "! en fonction de . 3. Exprimer cos&!" en fonction de cos "!.

4. Déduire des questions 1, 2, 3 que – = 2 2 − 1 − 1.

5. Prouver que cette équation est équivalente à + 1 2 − 1 4 − 2 − 1 = 0.

6. Mais combien vaut cos!" ?

(2)

Exercice 1 1.

2. L’équation + − 2 + 4 − 60 = 0 se met sous forme canonique − 1 − 1 + + 2 − 4 − 60 = 0 soit − 1 + + 2 = 65. Γ est donc le cercle de centre Ω 1 ; −2 et de rayon

√65. Si on remplace par 2 et par 6, on obtient 1 + 8 = 1 + 64 = 65 donc appartient à Γ.

3. ***** −11 ; −11 . + ; appartient à ∆ si et seulement si ******+ et ***** sont perpendiculaires, donc si et seulement si ****** ∙ ***** = 0, ce qui s’écrit −11+ − 2 − 11 − 6 = 0 soit − 2 + − 6 = 0. ∆ a donc pour équation + = 8.

4. Comme les coordonnées de vérifient l’équation de ∆, est sur la hauteur issue de du triangle .

Calculons ****** ∙ ***** : ****** 3 ; −1 et ***** 5 ; 15 donc ****** ∙ ***** = 3 × 5 − 15 = 0. Ainsi et sont perpendiculaires et est sur la hauteur issue de . Point d’intersection de deux hauteurs, est bien l’orthocentre du triangle.

5. ′ est le projeté de sur si et seulement si ′ appartient à et à ∆. ******* 1 ; 1/ et

***** −11 ; −11 sont colinéaires, donc ′ appartient à . Comme les coordonnées de ′ vérifient + = 8, ′ appartient à ∆. ′ est bien le projeté de sur .

6. Le symétrique de par rapport à est aussi son symétrique par rapport à ′, donc ******* =′ 2*******′. ******* 2 ; −2/ donc ******** 2 ; −4/ et / 9 ; −1 . Comme 9 − 1 + −1 + 2 = 64 + 1 = 65, le symétrique ′ de l’orthocentre du triangle est bien sur le cercle circonscrit.

Exercice 2 1. &!

" = 0 −!" donc cos&!" = cos 0 cos!"− sin 0 sin!"= − cos!".

2. La formule de duplication donne cos !

" = 2345 !

"− 1 = 2 − 1.

3. La même formule donne cos&!

" = 2345 !

" − 1.

4. Finalement, cos&!

" = 2 2 − 1 − 1 en remplaçant dans l’égalité du 3 cos !

" par sa valeur

obtenue au 2.

Comme d’après le 1, cos&!

" = − , on a bien – = 2 2 − 1 − 1.

5. On développe les deux côtés. Je laisse la vérification au lecteur.

6. cos!" est donc une des racines de + 1 2 − 1 4 − 2 − 1 . Il n’est pas égal à −1 ni à 6 qui

sont les cosinus de 0 et !7, il est donc racine de 4 − 2 − 1. Le calcul du discriminant est

∆= 4 + 16 = 20, les racines sont 8√ 9: =68√"& et 6;√"

& . Comme !

" est entre 0 et ! , son cosinus est

positif. Il vaut donc 68√"

& .

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