D194 - Une cascade de cercles [*** à la main]
On trace successivement:
- un triangle ABC,
- le cercle (Γ₁) de centre O qui est circonscrit à ce triangle et sur lequel se trouve un point courant P, - le cercle (Γ₂) circonscrit au triangle BOC,
- la droite AP qui coupe la droite BC en un point D, - le cercle (Γ₃) circonscrit au triangle ABD,
- le cercle (Γ₄) circonscrit au triangle CDP qui coupe le cercle (Γ₃) en un deuxième point Q, - le cercle (Γ₅) circonscrit au triangle AOP qui coupe le cercle (Γ₂) en un deuxième point E, - le cercle (Γ₆) circonscrit au triangle CEP,
- le cercle (Γ₇) circonscrit au triangle ABE qui coupe le cercle (Γ₆) en un deuxième point R.
Déterminer les lieux des points Q et R quand le point P parcourt le cercle (Γ₁).
Solution proposée par Bernard Vignes La cascade de cercles se présente comme suit:
Lieu de Q
Q étant le deuxième point d'intersection des cercles (Γ₃) et (Γ₄) autre que D, les points A,C,O et Q sont cocycliques Démonstration: les quadrilatères ABPC, ABDQ et CPDQ étant respectivement inscriptibles dans les cercles (Γ₁),(Γ₃) et (Γ₄), on a les relations d'angles:
ABC = APC,
AQD = 180°‒ABC = CQD = 180° ‒ APC.
D'où :
AQC = 360° ‒ 2(180° ‒ ABC) = 2ABC = AOC.
Cqfd
Le lieu de Q est donc tout ou partie du cercle (Γ₈). On vérifie aisément que lorsque P parcourt la totalité du cercle (Γ₁), Q parcourt la totalité du cercle (Γ₈).
Lieu de R
Soit ρ le rayon du cercle (Γ₁) circonscrit au triangle ABC.On fait appel à une succession d'inversions qui ont toutes pour pôle O et admettent (Γ₁) comme cercle d'inversion. La puissance de ces inversions est donc ρ² . On obtient les propriétés suivantes:
- le cercle (Γ₁) reste évidemment inchangé,
- le cercle (Γ₂) qui passe par les points O,B et C devient la droite (BC),
- le cercle (Γ₅) qui passe par les points A,O et P devient la droite (AP). Il en résulte que le point D qui est à l'intersection des droites (BC) et (AP) est aligné avec les points O et E,
- le cercle (Γ₃) qui passe par les point A,B et D devient le cercle passant par les points A,B et E qui est le cercle (Γ₇), Les cercles (Γ₃) et (Γ₇) sont donc inverses l'un de l'autre,
- le cercle (Γ₄) qui passe par les points C,D et P devient le cercle passant par les points C,E et P qui est le cercle (Γ₆). Les cercles (Γ₄) et (Γ₆) sont donc inverses l'un de l'autre,
Comme le point Q est à l'intersection des cercles (Γ₃) et (Γ₄), son inverse est alors le point R à l'intersection des cercles (Γ₇) et (Γ₆).Il en résulte que les lieux de Q et de R se déduisent l'un de l'autre par l'inversion de pôle O et de puissance ρ².
Le lieu de R est l'inverse du cercle (Γ₈). C'est donc la droite AC prise dans son intégralité.
