D1962. Communauté de biens
Un triangle ABC admet (Γ) pour cercle circonscrit et (Γ1) pour cercle inscrit de centre I. Le cercle (Γ1) et le cercle (Γ2) circonscrit au triangle AIB se rencontrent aux deux points G et H et leurs deux tangentes communes qui touchent le cercle (Γ2) aux points E et F se rencontrent en un point D. Soit (Γ3) le cercle circonscrit au triangle DGH. Les tangentes communes aux cercles (Γ1) et (Γ3) touchent le cercle (Γ3) aux points M et N et se rencontrent en un point X. Les demi-droites XM et XN coupent le cercle (Γ) aux points Y et Z.
Démontrer que :
Q1 Les cercles (Γ) et (Γ3) sont tangents entre eux.
Q2 Les deux triangles ABC et XYZ ont le même cercle circonscrit (Γ) et les trois triangles ABC, DEF, XYZ partagent le même cercle inscrit (Γ1).
Q1) Dans cette première figure, le triangle ABC n'est pas représenté, CI est la bissectrice intérieure de l'angle ABC. Le point J diamétralement opposé à I sur (Γ2) est le centre du cercle exinscrit dans l'angle C du triangle ABC car AJ et BJ sont perpendiculaires aux bissectrices intérieures AI et BI.
Le centre K de (Γ2) est l'intersection de la bissectrice CIJ de C et de la médiatrice de AB, donc K est le milieu de l'arc AB (qui ne contient pas C) du cercle (Γ).
Soit L le point de (Γ1) le plus proche de D. Pour prouver que K est le centre de l'homothétie positive qui transforme (Γ1) en (Γ3), on va comparer les rapports KD/KL et [rayon de( Γ3 )/rayon de (
Γ1 )] .
Soient R et r les rayons de (Γ2) et (Γ1). On a DI/DK = DI/(DI+R) = r/R d'où on tire DI = rR/(R – r).
De DI/DK = GI/GK on déduit que GD est bissectrice extérieure de l'angle G du triangle KGI et si P est diamétralement opposé à D sur (Γ3), GP est bissectrice intérieure, et PI/PK = PI/(R – PI) = r/R.
On en tire PI = rR/(R+r), puis diamètre de (Γ3) = PI+ID = rR[1/(R+r)+1/(R – r)] = 2rR² / (R² – r²).
KD/KL = (R + DI)/(R+r) = [R + rR/(R – r)] / (R+r) = R²/(R² – r²).
[rayon de(Γ3)/rayon de (Γ1)] = [rR² / (R² – r²) ] / r = R²/(R² – r²)
K, milieu de l'arc AB du cercle (Γ) est bien le centre de l'homothétie positive qui transforme (Γ1) en (Γ3), c'est le point X de l'énoncé.
Autre remarque : La droite EF est la polaire de D par rapport à (Γ2), on connait KD = R²/(R – r) donc la distance de K à EF est R²/KD = R – r et cela prouve que EF est tangente à (Γ1) .
Q1) Dans l'inversion de pôle X de puissance XA² = XB² , qui laisse invariant le cercle (Γ), la droite AB a pour image le cercle (Γ), et le cercle (Γ1) a pour image le cercle (Γ3), et comme AB est tangente à (Γ1), ( Γ ) est tangent à ( Γ3 )
Q2) Si deux cercles (C) et ( c) sont tels qu'il existe une ligne brisée comportant n segments inscrite dans (C), circonscrite à ( c) et qui se referme sur elle même, toute autre ligne brisée comportant n segments inscrite dans (C), circonscrite à ( c) se referme également sur elle même.
Avec n=3 les cercles (Γ) et (Γ1) ont cette propriété puique la ligne brisée ABCA se referme, donc il en est de même pour la ligne brisée YXZY :
Les deux triangles ABC et XYZ ont les mêmes cercles inscrit etcirconscrit.
DE et DF sont les tangentes à (Γ1) issues de D, et on a vu précédemment que EF est tangente à (Γ1) donc le cercle (Γ1) est inscrit dans le triangle isocèle DEF.
