Enoncé D1871 (Diophante) Si et seulement si
Soit un triangle ABC et son cercle (Γ) circonscrit de centre O. Le cercle inscrit de centre I toucheAC enE etAB enF. Les droitesBE etCF se coupent en Ge. Démontrer que la droite IGe coupe le cercle (Γ) au point A0 diamétralement opposé à A dans (Γ) si et seulement si le triangle est rectangle en A ou isocèle de sommetA.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille en coordonnées barycentriques de baseA, B, C. Je notea, b, c, p les longueurs des côtésBC, CA, AB et le demi-périmètre.
CommeAE =p−a,CE=p−c,Eadmet les coordonnéesE(p−c,0, p−a) et de mêmeF(p−b, p−a,0).
BE admet pour équation (p −a)x = (p −c)z, et de même pour CF (p−a)x= (p−b)y. On a pour Ge (p−a)x= (p−b)y = (p−c)z, et les coordonnées deGesont proportionnelles aux rayons des cercles exinscrits, donc à (tan(A/2),tan(B/2),tan(C/2)).
On a pourI les coordonnées (sinA,sinB,sinC) et pour O
((1−cotBcotC)/2,(1−cotCcotA)/2,(1−cotAcotB)/2), d’où pourA0 (−cotBcotC,1−cotCcotA,1−cotAcotB).
L’alignement IGeA0 équivaut à l’annulation du déterminant des coordon- nées
tan(A/2) sinA −cotBcotC tan(B/2) sinB 1−cotCcotA tan(C/2) sinC 1−cotAcotB
Je multiplie la dernière colonne par sinAsinBsinC, ce que je compense en divisant la première ligne par sinA, la deuxième par sinB et la troisième par sinC. Le déterminant vaut ainsi
1/(1 + cosA) 1 −cosBcosC 1/(1 + cosB) 1 cosB 1/(1 + cosC) 1 cosC
Développant par rapport à la première colonne, on obtient cosC−cosB
1 + cosA −cosC+ cosB = cosA(cosC−cosB) 1 + cosA .
L’annulation peut être obtenue, soit par celle de cosA (triangle rectangle enA), soit par l’égalitéB =C (triangle isocèle de sommetA), CQFD.