Universit´e Paris Diderot G´eom´etrie affine et euclidienne
Licence de Math´ematiques Ann´ee 2010-11
F. Liret, L. Merel
EXAMEN du 15 juin 2011 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
Exercice 1
SoientA,B etC trois points non align´es d’un plan affine euclidien. NotonsCle cercle circonscrit au triangle ABC, r le rayon de C et H l’orthocentre de ABC. Soit M un point deC distinct de A, B et C. Notons MA le sym´etrique orthogonal de M par rapport `a la droite (BC). On d´efinit de mˆeme les points MB et MC sym´etriques de M par rapport aux droites (CA) et (AB) respectivement. NotonsKA, KB et KC les projet´es orthogonaux de M sur les droites (BC), (CA) et (AB) respectivement.
1. Faire une figure.
2. Montrer qu’on a l’´egalit´e d’angles de vecteursCM Bd =BMdAC.
3. Montrer qu’on a l’´egalit´e d’angles de droites(CH),d(BH) +(CA),d(BA) =b0.
4. En d´eduire que que les pointsH,MA,B et Csont cocycliques.
5. Montrer que le cercleC0 qui passe parH,MA,B etC est sym´etrique deC par rapport `a la droite (BC).
6. Quel est le rayon deC0 ?
7. Montrer que les pointsH, MA etMB sont align´es, puis que les pointsH,MA,MB et MC sont align´es.
8. Montrer que les pointsKA,KB et KC sont align´es.
Exercice 2
SoitABC un triangle d’un plan affine euclidienE. NotonsI le milieu du segment [B, C]. SoientB0, C0,U et V des points tels que les quadrilat`eresACC0V et AU B0B soient des carr´es (les carr´es sont ext´erieurs au triangle de telle sorte que les produits scalaires −−→
AB.−→
AV et −→
AC.−→
AU sont n´egatifs). Notons O le centre du carr´eACC0V. Notons r la rotation de E de centre O qui transformeC en A. Notons−→r son application lin´eaire associ´ee. PosonsW =r(B). NotonsA0 le point tel que BACA0 est un parall´elogramme.
1. Faire une figure.
2. Montrer que−→r(−−→ AB) =−→
AU. En d´eduire que−−→
V W =−→
AU. 3. Montrer que 2−→
AI=−−→ AB+−→
AC. En d´eduire que−→r(2−→ AI) =−−→
V U.
4. Montrer que les droites (U V) et (AI) sont orthogonales, puis queU V = 2AI.
5. Montrer que les droites (BV) et (CU) sont orthogonales, puis queU C=BV.
Exercice 3
Soit E un plan affine. On appelle forme affine une application affine E → R. Soient f0 et f1 des formes affines non constantes. PosonsD0 ={M ∈ E/f0(M) = 0} et D1 ={M ∈ E/f1(M) = 0}. Supposons que l’intersectionD0∩ D1 est r´eduite `a un pointP. SoitD0 une droite passant parP et distincte deD0 etD1. 0. Soit f une forme affine non constante. Montrer que D={M ∈ E/f(M) = 0} est une droite affine. On dit alors quef est une´equation de D.
1. SoitD une droite affine. Montrer qu’il existe (a0, a1, b)∈R3 tels quea0f0+a1f1+b soit une ´equation deD. `A quelle condition sura0,a1 et b a-t-onP ∈ D ? `A quelle condition sura0,a1 et b les droitesD et D0sont-elles s´ecantes ?
2. Soient (M, N)∈ E2. Montrer qu’on af0(M) =f0(N) etf1(M) =f1(N) si et seulement siM =N.
3. Montrer qu’il existe un uniquek∈Rtel quef0+kf1 est une ´equation deD0.
4. SoitD00une droite qui passe par P et telle que pour toutI∈ D0,I6=P, la droite parall`ele `a D00passant parI coupeD0et D1en des pointsA0etA1 de telle sorte queIest le milieu du segment [A0, A1]. Montrer queD00a pour ´equationf0−kf1. En d´eduire l’existence et l’unicit´e deD00.
5. Supposons queDest s´ecante `aD0etD1en des pointsM0etM1respectivement. SoitM ∈ Ddistinct de M0 et M1. Montrer qu’on a la relation
M M0
M M1
=−f0(M)f1(M0) f1(M)f0(M1).
6. Supposons queDne passe pas parPet est s´ecante `aD0,D1,D0etD00enM0,M1,U0etU00respectivement.
Montrer qu’on a la relation
U0M0 U0M0
=−U00M0 U00M0
.
