Enonc´e noD186 (Diophante) G´eom´etrie franco-fran¸caise
Soit un triangleABC acutangle. Le cercle de centreAet de rayonBCcoupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels queP etB, de mˆemeQetC, sont de part et d’autre deA. De la mˆeme mani`ere les cercles de centres B et C et de rayons respectifs CA et AB donnent les pointsR, S, T etU sur les droites portant les cˆot´esBC, BA, CA etCB.
D´emontrer que l’hexagone P QRST U est inscrit dans un cercle.
Soit O le centre de ce cercle. Un deuxi`eme cercle de mˆeme centre O coupe les trois cˆot´es du triangle ABC en six points distincts qui d´elimitent un deuxi`eme hexagone. D´emontrer que trois cˆot´es de cet hexagone sont ´egaux entre eux.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Observons que la m´ediatrice du segmentP Q(respectivementRS,T U) est la bissectrice int´erieure de l’angle ˆA (resp. ˆB, ˆC). Le point O v´erifiant OP = OQ, OR = OS, OT = OU, doit appartenir `a ces trois m´ediatrices ; c’est donc le centre du cercle inscrit.
Soitple demi-p´erim`etre du triangleABC, etr le rayon du cercle inscrit. Le point de contact du cercle inscrit avec la droiteABest `a la distancep−|BC|
deA, donc `a la distancepdeP (et de mˆeme deS, car `a la distancep− |CA|
de B). Le centre O de ce cercle est `a la distance pp2+r2 de P, de S, et aussi par un argument analogue deQ, R, T, U, ce qui montre que l’hexagone P QRST U est inscrit dans le cercle de rayon pp2+r2 centr´e en O (“cercle de Conway”, cf. Tangente hors-s´erie no36).
Un cercle centr´e enOet de rayonmd´ecoupe sur chacun des cˆot´es du triangle ABC des cordes de la mˆeme longueur 2√
m2−r2.
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