Ch.. Polytechnique A
ENONC´ ´ E
Polytechnique, ´ epreuve A
Attention, l’´enonc´e suivant est une r´e´ecriture du sujet d’origine, nettoy´e de ses erreurs et approximations.
Les retouches sont l’œuvre de Cl´ement de Seguins Pazzis. L’auteur de l’original pr´ef`ere probablement rester anonyme.
Notations
Soit n > 1 un entier. On appelle point entier de Rn un point dont toutes les coordonn´ees sont enti`eres, c’est-`a-dire un point deZn. Si K est une partie deRn, on note
◦
K son int´erieur. On appelle points entiers de K (respectivement, points entiers int´erieurs) les points de K ∩Zn (respecti- vement, les points de K ∩◦ Zn). On note respectivement Card K ∩Zn
et Card
◦
K ∩Zn
le nombre (´eventuellement infini) de points entiers deK et de son int´erieur
◦
K.
Soithβ l’homoth´etie de rapportβ ∈R(centr´ee en 0) ; l’image deK par hβ est not´ee βK :=hβ(K). Si τx est la translation de vecteur x∈Rn, on noteK −x:=τ−x(K) l’image deK parτ−x.
SiM = (mi,j) est une matrice de Mn(R),mi,j est le coefficient de laie ligne et de laje colonne.
On note (x1 | · · · | xn) la matrice de Mn(R) dont les colonnes sont les vecteursx1, . . . ,xndeRn. On noteInla matrice identit´e deMn(R) etEi,j
la matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de laie ligne et de laje colonne qui vaut 1.
On noteMn(Z) l’ensemble des matrices deMn(R) dont tous les coeffi- cients sont entiers.
On note bac la partie enti`ere d’un r´eel a : c’est le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `aa; et{a}:=a− bac ∈[0,1[ la partie fractionnaire dea.
On notecable plus grand entier strictement inf´erieur `aa.
On rappelle que des entiers a1, . . . ,ak non tous nuls sont dits premiers entre eux dans leur ensemble si pgcd(a1, . . . ,ak) = 1.
Premi`ere partie
1. Soit M ∈ Mn(R) une matrice inversible et `a coefficients entiers.
1.a. Montrer queM−1 est `a coefficients rationnels.
1.b. Montrer l’´equivalence des propositions suivantes :
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i. la matrice M−1 est `a coefficients entiers ; ii. le r´eel detM vaut 1 ou−1.
Dans la suite, on note GLn(Z) l’ensemble des matrices carr´ees de taillen`a coefficients entiers et de d´eterminant±1. C’est un sous-groupe de GLn(R).
On remarque que pouri6=j et c∈Z, la matriceIn+c Ei,j appartient `a GLn(Z).
2. SoitM = (x1| · · · |xn)∈GLn(R).
2.a. Montrer queM ∈GLn(Z) si et seulement siM(Zn) =Zn. 2.b. Montrer l’´equivalence des propositions suivantes :
i. la matrice M appartient `a GLn(Z) ; ii. les points entiers du parall´el´epip`ede
P :=
n X
i=1
tixi
(t1,...,tn)∈[0,1]n
sont exactement les 2n points
n
X
i=1
εixi o`u εi ∈ {0,1} pour tout entier i∈[[1,n]].
3. Pour toutαdansRet tous entiersietj distincts compris entre 1 etn, d´ecrire l’effet sur une matrice carr´ee M de taille n de la multiplication `a gauche parIn+α Ei,j. Mˆeme question pour la multiplication `a droite.
4. On suppose ici que n > 2. Soit a1, . . . ,an des entiers non tous nuls.
Le but de cette question est de montrer qu’il existe une matrice deMn(Z) dont la premi`ere colonne est (a1, . . . ,an) et de d´eterminant pgcd(a1, . . . ,an).
Pour cela on raisonne par r´ecurrence surn.
SoitN ∈ Mn−1(Z) une matrice dont la premi`ere colonne est (a2, . . . ,an).
Etant donn´´ eu,vdansQ, on consid`ere la matrice
M :=
a1 0 · · · 0 u va2
N ...
... van
.
4.a. Exprimer detM en fonction de detN,uetv.
4.b. On suppose que les a2, . . . ,an ne sont pas tous nuls et que l’on a detN = pgcd(a2, . . . ,an). Montrer que l’on peut choisiru,vde sorte queM r´eponde `a la question. Conclure.
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5. Soit M ∈ Mn(Z), de d´eterminant non nul. On souhaite montrer qu’il existe une matriceAdans GLn(Z) telle queM Asoit triangulaire sup´erieure et, en notantM A:= (ci,j)16i,j6n, on ait 06ci,j < ci,i pour tousi,j dans [[1,n]] tels quei < j, etci,i>0 pour touti∈[[1,n]]. Jusqu’`a la question(c) incluse, on suppose quen>2.
5.a. On note M = (x1 | · · · | xn). Soit x01, . . . ,x0n les ´el´ements de Zn−1 obtenus en prenant lesn−1 premi`eres coordonn´ees dex1, . . . ,xn.
Montrer qu’il existea1, . . . ,andansQ, non tous nuls, et v´erifiant l’´egalit´e
n
X
i=1
aix0i= 0. Montrer que l’on peut choisir les ai entiers et premiers entre eux dans leur ensemble.
5.b. Montrer qu’il existe une matriceA1dans GLn(Z) telle que la premi`ere colonne de ˜C=M A1 ait tous ses coefficients ˜ci,1 nuls sauf le premier ˜c1,1
que l’on peut prendre strictement positif.
5.c. En consid´erant, pour tout entier j ∈ [[2,n]], la division euclidienne
˜
c1,j = qj˜c1,1+rj, o`u 0 6 rj < ˜c1,1, montrer que l’on peut supposer
˜
c1,1>c˜1,j, quitte `a changerA1. 5.d. Conclure par r´ecurrence.
6. Soit M ∈ Mn(Z), de d´eterminant non nul. Montrer qu’il existe une matrice A dans GLn(Z) telle que AM soit triangulaire inf´erieure et, en notantAM = (ci,j)16i,j6n, on ait 06ci,j < cj,j pour tous i,j dans [[1,n]]
tels quei > j, etcj,j >0 pour toutj∈[[1,n]].
Deuxi` eme partie
Soits0,s1, . . . ,sn des points deRn. On suppose que les vecteurss1−s0, s2−s0, . . . ,sn−s0sont lin´eairement ind´ependants. On appellesimplexe de sommetss0,s1, . . . ,sn l’ensemble
S :=
n X
i=0
tisi| (t0, . . . ,tn)∈(R+)n+1 tel que
n
X
i=0
ti= 1
=
s0+
n
X
i=1
ti(si−s0)| (t1, . . . ,tn)∈(R+)ntel que
n
X
i=1
ti61
.
Si de plus lessisont tous des points entiers, on dit queSest un simplexe entier.
On d´efinit le volume du simplexeS de sommetss0,s1, . . . ,sn par Vol(S) := 1
n!
det(s1−s0, s2−s0, . . . , sn−s0) .
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On admet que la donn´ee du simplexeS d´etermine la liste (s0, . . . ,sn) `a l’ordre pr`es, c’est-`a-dire que si une liste (s00, . . . ,s0n) d´efinit le mˆeme simplexe S, alors il existe une permutationσde [[0,n]] telle que∀i∈[[0,n]], s0i=sσ(i).
7. SoitS le simplexe de sommetss0,s1, . . . ,sn. 7.a. Montrer queS est un compact convexe de Rn. 7.b. Montrer que
◦
S= ( n
X
i=0
tisi| (t0, . . . ,tn)∈(R∗+)n+1tel que
n
X
i=0
ti= 1
.
En d´eduire que si 0∈S, alors◦ λS ⊂S◦ pour toutλ∈[0,1[.
7.c. Pouridans [[0,n]], on note ˆsi= (1,si) le point deRn+1 dont les coor- donn´ees sont 1 suivi des coordonn´ees de si. Exprimer
det(ˆs0,ˆs1, . . . ,ˆsn) en fonction de Vol(S).
En d´eduire que le volume d’un simplexe ne d´epend pas de l’ordre des sommets.
8. SoitV >0 un r´eel.
8.a. Donner un exemple de simplexe entier deR2, de volume sup´erieur ou
´egal `a V, et n’ayant aucun point int´erieur entier.
8.b. Donner un exemple de simplexe entier deR3, de volume sup´erieur ou
´egal `a V, et dont les seuls points entiers sont les sommets.
9. SoitK un compact convexe deRn tel que 0∈K.◦
9.a. Montrer que l’ensemble desλ>0 tels que−λK ⊂ Kest un intervalle.
On note
a(K) = sup
λ>0 : −λK ⊂ K . 9.b. Montrer quea(K)<+∞et quea(K) = max
λ >0 :−λK ⊂ K . 9.c. Montrer que 0< a(K)61.
En d´eduire quea(K) = 1 si et seulement siKest sym´etrique par rapport
` a 0.
Onadmetle r´esultat suivant que l’on pourra utiliser sans d´emonstration pour la suite du probl`eme.
Th´eor`eme 1.SoitS un simplexe de Rn et k un entier. SiVol(S)>k, il existek+ 1 points distinctsv0, . . . ,vk deS tels quevi−vj ∈Zn quels que soienti etj entre0 etk.
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10. Dans toute cette question,S est un simplexe deRn tel que 0∈S. On◦ veut montrer que
Card◦
S ∩Zn
>2
Vol(S)
a(S) a(S) + 1
n + 1.
On pose alorsa:=a(S) etk:=
Vol(S) a a+ 1
n .
10.a. Exprimer, pour β∈R∗ etx∈Rn, Vol(βS) et Vol(S −x).
Montrer que Vol λa a+ 1 S
> kpourλ∈]0,1[ voisin de 1.
10.b. On dispose donc d’un λ ∈ ]0,1[ tel que Vol λa a+ 1S
> k. Le Th´eor`eme 1 fournit alors k+ 1 points distincts v0, . . . ,vk dans λa
a+ 1 S v´erifiantvi−vj ∈Zn pour tousietj dans [[0,k]].
Montrer que les points a(vi−vj)
a+ 1 sont dans λa a+ 1S.
En d´eduire que les vi−vj sont dans
◦
S.
10.c. Montrer qu’il existe un indice j ∈ [[0,k]] tel que les 2k+ 1 points 0,±(vi−vj), pouri∈[[0,k]]\ {j}, soient distincts. En d´eduire l’´enonc´e de la question10, puis que
Card◦
S ∩Zn
>Vol(S) a(S)
2 n
.
Troisi` eme partie
SoitS et S0 deux simplexes de Rn. On dit queS est ´equivalent `a S0 lorsqu’il existe une liste (s0, . . . ,sn) de sommets d´efinissant S, une liste (s00, . . . ,s0n) de sommets d´efinissant S0, et une matrice A de GLn(Z) telle queA(si−s0) =s0i−s00 pour touti∈[[1,n]].
11. Montrer que la relation ainsi d´efinie est une relation d’´equivalence sur l’ensemble des simplexes deRn.
12. Montrer que deux simplexes entiers S et S0 sont ´equivalents si et seulement s’il existe une matrice A ∈ GLn(Z) et un vecteur b ∈ Zn tels queS0=A(S)−b.
13. Montrer que le volume, le nombre de points entiers et le nombre de points int´erieurs entiers sont les mˆemes pour deux simplexes entiers ´equi- valents.
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14. SoitSun simplexe entier. Montrer queS est ´equivalent `a un simplexe entier inclus dans le cube
0,n! Vol(S)n .
Onadmetle r´esultat suivant que l’on pourra utiliser sans d´emonstration.
Th´eor`eme 2.Pour tout entier strictement positifk, il existe une constante strictement positive C(n,k) telle que pour tout simplexe entier S de Rn poss´edant exactement k points int´erieurs entiers,Vol(S)6C(n,k).
15. D´eduire du Th´eor`eme 2 que pour tout entier strictement positif k, il n’existe `a ´equivalence pr`es qu’un nombre fini de simplexes entiers de Rn ayant exactementkpoints int´erieurs.
