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Devoir de Math´ ematiques 1
EXERCICE 1
On pourra utiliser sans justification que 2< e1<3.
On s’int´eresse dans cet exercice `a la s´erie de terme g´en´eralun = (−1)nln(n)
n pourn>1.
1. On note :∀n>1, wn=
n
X
k=1
1
k−ln(n).
(a) Rappeler les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 2 lorsque xtend vers 0 de ln(1 +x) et 1 1 +x. (b) Montrer alors que :wn+1−wn ∼
n→+∞− 1 2n2.
(c) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral (wn+1−wn) converge, puis que la suite (wn) converge vers un r´eel γ, appel´econstante d’Euler.
2. ´Etudier les variations de la fonctionϕ:t7→ ln(t)
t sur ]0,+∞[. Dresser le tableau de variations de la fonction ϕen pr´ecisant les limites aux bornes de son ensemble de d´efinition.
3. On note pour tout entiern>1,
Sn=
n
X
k=1
uk (a) Montrer que les suites (S2n)n>2et (S2n+1)n>2sont adjacentes.
(b) Montrer que la s´erie de terme g´en´eralun converge. Est-elle absolument convergente ? 4. On note pour tout entiern>1,vn=
n
X
k=1
ln(k)
k −[ln(n)]2
2 .
(a) Justifier que pour tout entier n>3, on a :
ln(n+ 1) n+ 1 6
Z n+1
n
ln(t) t dt (b) En d´eduire que la suite (vn)n>3 est d´ecroissante et convergente.
5. Montrer que pour tout entiern>1,
S2n= 2
n
X
k=1
ln(2k) 2k −
2n
X
k=1
ln(k) k puis que :
S2n = ln(2)
n
X
k=1
1
k+vn−v2n−[ln(2)]2
2 −ln(2) ln(n) 6. D´emontrer alors que :
+∞
X
n=1
(−1)nln(n)
n =γln(2)−[ln(2)]2 2
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EXERCICE 2
Premi` ere partie
1. Etablir que, pour toutx∈R?+l’int´egrale Z 1
0
e−uux−1du est convergente.
On d´efinit alors surR?+la fonction F par :F(x) = Z 1
0
e−uux−1du.
2. CalculerF(1) etF(2).
3. (a) Soit deux r´eelsaetb v´erifiant : 0< b6a. Montrer que:
06F(b)−F(a)61 b −1
a (b) D´eterminer le sens de variation de F.
(c) Montrer queF est continue surR?+ .
Deuxi` eme partie
1. En utilisant une int´egration par parties, montrer que:∀x∈R?+ , F(x+ 1) =xF(x)−1 e. 2. Justifier que :∀x∈R?+ , 1
ex 6F(x)6 1 x. 3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede:
(a) les limites de F(x) quandxtend vers +∞et quandxtend vers 0, (b) un ´equivalent deF(x) quandxtend vers +∞,
(c) un ´equivalent deF(x) quandxtend vers 0.
(on pourra utiliser apr`es l’avoir montr´ee l’in´egalit´e :∀u∈R+, 1−u6e−u).
4. Donner l’allure de la repr´esentation graphique de F.
Troisi` eme partie
On consid`ere la s´erie de terme g´en´eral (−1)k
k!(k+x) (k∈N, x∈R?+)
1. (a) Etablir la convergence de cette s´erie. Pourx∈R?+ , on note :g(x) =
+∞
X
k=0
(−1)k k!(k+x) (b) Calculerg(1).
2. (a) Justifier que :∀n∈N,∀u∈R+,
e−u−
n
X
k=0
(−1)kuk k!
6 un+1 (n+ 1)!. (b) En d´eduire que:∀n∈N,∀x∈R?+,
Z 1
0
e−uux−1du−
n
X
k=0
(−1)k k!
1 k+x
6 1
(n+ 1)!. (c) En conclure que :∀x∈R?+, F(x) =g(x)
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EXERCICE 3
Dans tout l’exercice, on ´etudie la fonctionf de la variable r´eellexd´efinie par:
f(x) = Z 2x
x
dt t+ arctant 1) D´eterminer les d´eriv´ees d’ordre 1,2 et 3 de l’applicationx7−→arctanx.
2) En d´eduire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 au voisinage de 0 de l’applicationx7−→arctanx.
3) R´esoudre surRl’´equation : t+ arctant= 0.
4) Pr´eciser l’ensemble de d´efinition def.
5) Montrer quef est paire.
6) Montrer quef est d´erivable surR∗ et calculer la d´eriv´ee def. 7) Dresser le tableau de variations def sur ]0,+∞[ .
Indication : Pour ´etudier le signe def0sur]0,+∞[, on sera amen´e `a ´etudier le signe dex7−→2 arctan(x)−arctan(2x) et donc ´etudier les variations de cette fonction sur[0,+∞[ .
8) On ´etudie le comportement def en +∞.
a)Etablir que pour tout` x >0
f(x)− Z 2x
x
dt t
6 π
2 Z 2x
x
dt t2 b)En d´eduire l’existence et le calcul de la limite def en +∞.
9) On ´etudie le comportement def en 0.
a)Soith:t∈R? 7−→ 1
t+ arctant − 1
2t.Montrer que hest prolongeable par continuit´e en 0. On noteraeh la fonction ainsi prolong´ee.
b)Montrer que
∀x∈R? , f(x) = Z 2x
x
eh(t)dt+1 2ln 2.
c) En d´eduire quef est prolongeable par continuit´e en 0. On noterafela fonction ainsi prolong´ee.
d)Montrer quefeest de classeC1 surR. Que vaut la d´eriv´ee defeen 0?
10) Donner l’allure de la repr´esentation graphique defe.
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EXERCICE 4
Pour tout entiern∈N, on consid`ere l’applicationfn d´efinie comme suit:
fn: ]n,+∞[ →R, x7→
n
P
k=0
1 x−k
1. SoitAun r´eel fix´e strictement positif. Montrer que pour tout entiern∈N, l’´equationfn(x) =Aadmet une unique solution que l’on noteraxn.
2. D´eterminer la limite de la suite (xn)n∈N. 3. D´eterminer lim
n→+∞fn(n+ 1).
En d´eduire qu’il existe un entiern1 tel que∀n>n1, xn> n+ 1.
4.a) Montrer que pour tout entiern>n1: Z xn+1
xn−n
dt t =
n
X
k=0
Z xn−k+1
xn−k
dt
t et
Z xn
xn−n−1
dt t =
n
X
k=0
Z xn−k
xn−k−1
dt t . b) En d´eduire que pour tout entiern>n1:
Z xn+1
xn−n
dt
t 6fn(xn) =A6 Z xn
xn−n−1
dt t . c) Montrer que pour tout entiern>n1 :
xn+ 1
xn−n 6eA6 xn xn−n−1. 5.a ) Montrer que la suitexn
n
n∈N
est convergente et exprimer sa limite en fonction deA.
b) D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral 1 xn
.
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