Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Lundi 06/11/2017
Devoir à la Maison 3 Exercice 1 :∀x∈R, f:x7−→ |x−2|+|x+ 1|
1. Compléter le tableau suivant sur les diérents intervalles, avec des expressions n'utilisant pas de valeurs absolues.
x
|x−2|
|x+ 1|
f(x)
−∞ −1 2 +∞
−x+ 2 −x+ 2 0 x−2
−x−1 0 x+ 1 x+ 1
−2x+ 1 3 2x−1
2. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
x
f(x)
−∞ −1 2 +∞
+∞
+∞
3
3 33
+∞
+∞
3. Tracer Cf, la courbe représentative def dans un repère
1
Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Lundi 06/11/2017
x −4 −1 2 4
f(x) 9 3 3 7
4. Résoudre par calculf(x) = 5. Vérier à l'aide du graphique.
La fonction f peut s'exprimer comme suit :
f(x) =
−2x+ 1 six∈]−∞; −1]
3 six∈[−1 ; 2]
2x−1 six∈[2 ; +∞[
On résout chaque équation, et on vérie quex appartient à l'intervalle correspondant.
−2x+ 1 = 5 x=−2
x∈]−∞; −1]
36= 5 2x−1 = 5 x= 3
x∈[2 ; +∞[
S ={−2 ; 3}
5. Résoudre par le calculf(x)<4. Vérier à l'aide du graphique.
On réutilise l'expression de la fonction f vue précédemment et l'on résout les inéquations correspondantes.
On fait ensuite l'intersection des intervalles de dénition pour chaque équation avec les intervalles trouvés. La réunion des trois intervalles donne l'intervalle solution.
−2x+ 1<4 x∈
−3 2 ; +∞
S1=
− ∞; −1
∩
−3 2 ; +∞
=
−3 2 ; −1
(1) x >−3
2
3<4 x∈R S2=R∩[−1 ; 2] = [−1 ; 2] (2)
2x−1<4 x∈
−∞; 5 2
S3=
2 ; +∞
∩
−∞; 5 2
=
2 ; 5 2
(3) x < 5
2
S=S1∪S2∪S3 =
−3 2 ; −1
∪
−1 ; 2
∪
2 ; 5 2
=
−3 2 ; 5
2
Exercice 2 :∀x∈R\{5}, f:x7−→ −x2+ 8x−1 x−5 1. ∃(a, b)∈R2 |ax+b+ 14
x−5 =f(x) ax+b+ 14
x−5 = ax(x−5) +b(x−5) + 14
x−5 = ax2+ (b−5a)x−5b+ 14
x−5 .
On met ensuite les termes en correspondance. a=−1∧8 =b−5a⇒b= 3⇔ −5b+ 14 =−15 + 14 =−1. S ={(−1 ; 3)}
2
Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Lundi 06/11/2017
2. En déduire la position relative deCf, courbe représentative def, et de la droite∆d'équationg(x) =y=ax+b. Vérier à la calculatrice.
On étudie le signe de f(x)−g(x). f(x)−g(x) =−x+ 3 + 14
x−5 −(−x+ 3)
=−x+ 3 + 14
x−5 +x−3
= 14 x−5
x
14 x −5 f(x)−g(x)
−∞ 5 +∞
+ +
− 0 +
− +
Cf est en dessous de∆sur]− ∞; 5[et est au dessus de∆sur ]5 ; +∞[.
x→±∞lim f(x)−(−x+ 3) = lim
x→±∞
14
x−5 lim
x→±∞14 = 14 lim
x→+∞x−5 = +∞ lim
x→−∞x−5 =−∞
Par quotient des limites, lim
x→±∞f(x)−(−x+ 3) = 0. La droite ∆ d'équation y = −x+ 3 est donc asymp- tote oblique à f en +∞et en −∞.
3
