Intervalles de R
Table des matières
I Définition . . . 1 II Intersection et réunion. . . 2
I Définition
Définition
Soienta etbdeux réels.
L’ensemble des réelsxtels quea≤x≤best noté [a; b].
On le représente sur la droite réelle de la façon suivante :
a b
Cet ensemble est un intervalle deR.aetbsont ses bornes. Cet intervalle contient ses bornes.
Il est limité à gauche et à droite ; on dit qu’il est borné.
Il existe toute une collection d’intervalles.
Intervalle Ensemble des réelsxtels que . . . Représentation graphique
[a; b] fermé a≤x≤b a b
[a; b[ fermé à gauche, ouvert à droite aÉx<b a b
]a; b] ouvert à gauche, fermé à droite aÉx<b a b
]a; b[ ouvert à gauche, ouvert à droite a<x<b a b
[a ;+∞[ aÉx a
]a ;+∞[ x>a a
]− ∞; b[ x<b b
]− ∞; b] x≤b b
Le symbole∞ , qui se lit « infini »a été inventé par le mathématicien John Wallis (1616-1703). Ce n’est pas un nombre réel.
Du côté de l’infini, le crochet est toujours tourné vers l’extérieur.
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II Intersection et réunion
Définition
SoientIetJ deux intervalles.
1. L’ensemble des réels qui appartiennent à la fois àI et àJest appelé l’intersection deI etJ. Cet ensemble est notéI∩J.
2. L’ensemble des réels qui appartiennent àIou àJest appelé la réunion deIetJ. Cet ensemble est notéI∪J.
Exemples :
a) [4 ; 5]∩[2 ; 3]= ; b) [2 ; 5]∩[2 ; 3]=[2 ; 3]
c) [4 ; 7]∩ˇD[6 ; 8]=[6 ; 7]
d) [4 ; 7]∪ˇD[6 ; 8]=[4 ; 8]
Des exercices sont disponibles sur le site Euler de l’académie de Versailles : voir ci-dessous :
1. Indiquer si la réunion de deux intervalles est un intervalle ou non et le préciser le cas échéant : cliquer ici
2. Caractériser un intervalle par des inégalités : cliquerici
3. Écrire l’intervalle ensemble des solutions d’une inéquation ou d’un système d’inéquations du premier degré à une inconnue : cliquerici
4. Détermination de la réunion et de l’intersection de deux intervalles : cliquerici 5. Caractérisation d’un intervalle par des inégalités : cliquerici
6. Écriture de l’intervalle ensemble des solutions d’une inéquation ou d’un système d’inéquations du pre- mier degré à une inconnue : cliquerici
7. Représentation graphique de la réunion et de l’intersection de deux intervalles : cliquerici 8. Caractériser des inégalités par un intervalle ou une réunion d’intervalles : cliquerici 9. Rechercher les intervalles dont l’intersection est un intervalle non vide : cliquerici 10. Rechercher les intervalles dont la réunion est un intervalle : cliquerici
11. Indiquer si un intervalle est inclus ou non dans un autre : cliquerici
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