Equation du premier degré à une inconnue
1) Généralités
a) Définitions :
Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s).
Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres.
Exemple :
x 5 14 2 x est une équation d’inconnuex.
premier membre second membre
5 14 2 x x
Résoudre une équation d’inconnuex, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x (si elles existent) qui vérifient l’égalité, c'est-à-dire telles que l’égalité soit vraie.
Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.
Exemple :
On considère l’équation d’inconnue x : 2x 4 1 3x Le nombre 2 est-il solution de l’équation ?
Calcul du 1er membre pour x2 : 2 2 4 4 4 0 Calcul du 2nd membre pour x2 : 1 3 2 1 6 7
L’égalité n’est pas vérifiée pourx2, donc 2 n’est pas solution de cette équation.
Vocabulaire : dire qu’une égalité ne change pas signifie que : Si elle est vraie, elle reste vraie et si elle est fausse, elle reste fausse.
b) Propriétés : a, b et c désignent des nombres relatifs.
On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
Si a b , alors a c b c
Si a b , alors a c b c Exemple : 2 x 3
En ajoutant 2 à chaque membre de l’égalité, on obtient : 2 x 2 3 2, c'est-à-dire : x 1 On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie (ou on divise) chacun de ses membres par un nombre non nul.
Si a b , alors ac bc
Si a b , alors a b c c
Exemple : 5x6
En divisant par -5 chaque membre de l’égalité, on obtient : 5 6
5 5
x
, c'est-à-dire : 6 x 5
2) Résoudre une équation à une inconnue
Exemple : On considère l’équation d’inconnue x : 7x 4 3x8 i. On rassemble tous les termes en x dans un membre de l’équation 7 4 3 3 8 3
4 4 8
x x x x
x
ii. On rassemble tous les termes constants dans l’autre membre l’équation 4 4 4 8 4 4 12 x
x
iii. On obtient la valeur de x 4 12
4 4
x
La seule valeur possible de x dans cette dernière équation est 3 x3
iv. On vérifie que 3 est bien solution de l’équation initiale, 7 3 4 21 4 17 on test alors l’égalité pour x3. 3 3 8 9 8 17
v. On conclut, L’équation admet une solution : 3.
3) Résoudre un problème
Exemple : Deux amis, Pierre et Saïd collectionnent les timbres.
«J’en possède 40 de moins que toi.» dit Pierre.
«J’en ai trois fois plus que toi. » dit Saïd.
Combien de timbres possède Pierre ?
Etape 1 : Choix de l’inconnue. Désignons par x le nombre de timbres que possède Pierre.
x est un nombre entier positif.
Etape 2 : Mise en équation du problème. Saïd possède alors 3xtimbres ou bien x40timbres.
On a donc 3x x 40
Etape 3 : Résolution de l’équation. 3 40
3 40
2 40
2 40
2 2
20 x x
x x x x
x x x
Etape 4 : Vérification du résultat. 20 40 60 et 3 20 60
Etape 5 : Interprétation et conclusion. Le résultat est un nombre entier positif ; ce résultat est cohérent.
Pierre possède 20 timbres.
