Equation du premier degré à une inconnue
1) Généralités a) Définitions :
Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s).
Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres.
Exemple :
• x+ = −5 14 2x est une équation d’inconnuex.
premier membre second membre
5 14 2 x+ = − x
Résoudre une équation d’inconnuex, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x (si elles existent) qui vérifient l’égalité, c'est-à-dire telles que l’égalité soit vraie.
Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.
Exemple :
On considère l’équation d’inconnue x : 2x− = +4 1 3x Le nombre 2 est-il solution de l’équation ?
Calcul du 1er membre pour x=2 : 2 2 4× − = − =4 4 0 Calcul du 2nd membre pour x=2 : 1 3 2+ × = + =1 6 7
L’égalité n’est pas vérifiée pourx=2, donc 2 n’est pas solution de cette équation.
Vocabulaire : dire qu’une égalité ne change pas signifie que : Si elle est vraie, elle reste vraie et si elle est fausse, elle reste fausse.
b) Propriétés : a, b et c désignent des nombres relatifs.
On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
• Si a=b, alors a+ = +c b c
• Si a=b, alors a c− = −b c Exemple : 2− + = −x 3
En ajoutant 2 à chaque membre de l’égalité, on obtient : 2− + + = − +x 2 3 2, c'est-à-dire : x= −1 On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie (ou on divise) chacun de ses membres par un nombre non nul.
• Si a=b, alors ac=bc
• Si a=b, alors a b c = c
Exemple : 5− =x 6
En divisant par -5 chaque membre de l’égalité, on obtient : 5 6
5 5
− x=
− − , c'est-à-dire : 6 x= −5
2) Résoudre une équation à une inconnue
Exemple : On considère l’équation d’inconnue x : 7x− =4 3x+8 i. On rassemble tous les termes en x dans un membre de l’équation 7 4 3 3 8 3
4 4 8
x x x x
x
− − = + −
− =
ii. On rassemble tous les termes constants dans l’autre membre l’équation 4 4 4 8 4
4 12
x x
− + = +
=
iii. On obtient la valeur de x 4 12
4 4
x=
La seule valeur possible de x dans cette dernière équation est 3 x=3
iv. On vérifie que 3 est bien solution de l’équation initiale, 7 3 4× − =21 4 17− = on test alors l’égalité pour x=3. 3 3 8× + = + =9 8 17
v. On conclut, L’équation admet une solution : 3.
3) Résoudre un problème
Exemple : Deux amis, Pierre et Saïd collectionnent les timbres.
«J’en possède 40 de moins que toi.» dit Pierre.
«J’en ai trois fois plus que toi. » dit Saïd.
Combien de timbres possède Pierre ?
• Etape 1 : Choix de l’inconnue. Désignons par x le nombre de timbres que possède Pierre.
x est un nombre entier positif.
• Etape 2 : Mise en équation du problème. Saïd possède alors 3x timbres ou bien x+40timbres.
On a donc 3x= +x 40
• Etape 3 : Résolution de l’équation. 3 40
3 40
2 40
2 40
2 2
20 x x
x x x x
x x x
= +
− = + −
=
=
=
• Etape 4 : Vérification du résultat. 20 40+ =60 et 3 20× =60
• Etape 5 : Interprétation et conclusion. Le résultat est un nombre entier positif ; ce résultat est cohérent.
Pierre possède 20 timbres.
