Leçon 21 : Equation du premier degré à une inconnue

Numération C2

Leçon 21 : Equation du premier degré à une inconnue

l. Activités Activité I

Traduire

chaque phrase ^par une expression.

o Six

égale

x.

.

à

trois

ajoute

x

^{égal à quinze.}

. Au

double

d'un

nombre ajoute 5 égal à I

l.

o

à cinq ajoute un nombre quelconque égal ^au double de ce nombre

moins

^1.

Activité

²

a. Voici

la rentrée et la sortie

d'un

^{théâtre. Trouver} les valeurs des lettres pour que les égalités soient vérifiées.-

15 =3x ⁴⁹

=l+6p I

1o _I

:,,

J

b.

Pour entrer dans ce théâtre,

il

fâut suivre le chemin dont la valeur de

la

lettre est

impaire.

Construire ce chemin.

Activité

3.

Compléter le tableau suivant.

Equation Entourer les solutions Toutes solutions

x(.r-l)

₌

I _-1;0;2;3;4 ^0oul

(3x+ lfix

- 2):

⁰

-rt-l;

^o;

_J;3

(x-s\2x+7):0 -tt-I; ^o;!z;s

(t)

Fl (D

Rentrée

Numération C2

2. Essentiel

1.

Définition.

Une équation est une égalité dans

laquelle

intervient un nombre inconnu, désigne le plus souvent par une lettre.

L'équation

est du

premier

degré lorsque l'exposant de

r est l.

ax

+

b

: c,

d , b,

c

étant donnés et

a+ 0.

x

^{est une inconnue.}

Exemples

^:

. 3x-4-2 .

2x

+10-

⁰

. 5x-9-x*7

.

^2.

Résolution d'une équation.

Résoudre une équation a une inconnue .tr, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que les égalités soient vraies, chacune

de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.

On

écrit

les solutions entre les accolades

:

S = _{... ;... ; ...

}.

Méthode

de

résolution.

On

dispose des deux règles suivantes ^:

Une

équation a les mêmes solutions que toutes les équations obtenues ^: . en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de

l'équation.

. en

multipliant

ou en divisant par un même nombre

non.nul

les deux membres de l?équation.

a. L'équation

du

type

ax + b

--

^c'

I a *

^O

Exemple I

^:

Résolution de

l'équation

x + 5 = ¹²

On soustrait 5 aux deux membres'

del'égalité x+5:12

Vérification

Test de

l'égalité

x +

5:12

pour

x :

7 .

Ona: x+5=12

7

+5=12

Pour x =

⁷

l'égaIité.r

+ 5 =12

estvraie.

Conclusion ^:

Numération C2

Exemple

2

^:

Résolution de

l'équation

3x

+ 2- x *

⁸

3x+2-x+8

3x +(-x)

^{t- 2}

-x ^{+(-x)+ 8} <-- On ajoute-x

(ou on soustrait

x)

^à

2x +

2: 8

chaque membre de l'équation

3x+2-x+8

2x +z+(-z):

⁸

^{+ (-2)} -

On ajoute-2

^{(ou on}

soustrait2)achaque

2x= 6 membredel'équation2x+2=8

!r, ⁼ f

^O

4-

^On

^divise

^{par 2 (ou on}

^{multiplie par} _I

) ^les deux

2 2 r \ r r 2'

x = 3

membres de

l'équation

2x

= ⁶

^.

Vérification

Test de

l'égalité 3x *

²

-.r+

⁸

^{pour x =}

^3.

On a:

^3x

⁺ 2 ₌

^3x

3+2=ll

et 3+8

=11

Pour x = : l'égalité3x+2-x+8

estvraie.

Conclusion:

3

est la solution de

l'équation

3x

+

²

:

x

*

8.

onécrit' S-{3}

Exemple 3:

Résolutiondel'é _quation - x*)

î:ll ^-

^3x

x+5 ^ ,, xJ : ^{. 3x(11-3r)} +- Onmultiplepar3lesdeuxmembresde

J

l''' équation î=11

^{'r + 5}

^-

^3x

x + 5 =

³³

- ^9x +-

On

ajout

e9x'achaque melnbre'

x

+

9x :

33

- 5 <-

^On soustrait 5 à chaque membre

10x -

²⁸

]xlOx = l0 llI |x28 r0 +

^On

^multiplie

^par

_;(ou 10'

^{on divise}

^par

¹⁰⁾

les deux membres

*=Ï=2,8

?R

Donc 5={Z,S}

l0

Numération C2

Remarque:

Certaines équations admettent une

infinité

de solutions.

Certaines équations n'admettent aucune solution.

Exemples :

4x*5:6-4fl-x 4x*5-- 6-4+4x 4x*5:2+4x

0x --3

L'équation

n'admet aucune solution car aucrme

valeur

de x

gui multiplie.par 0

égal a -3

Exemples:

1.

Résoudre

l'équation (x-t)(x- 2):O

Ona:x-l-0 ou x-2=0

x=2

Donc

l'équation

(x-t)(r- ^2)=O

a

pour

solutions

r=1

Cas : aucune solution Cas : infinité de solutions

2x+3 : _3(x-21-x+9 2x+3:3'x-6-x+9

2x+3 :2x*3 2x-2x:3-3

0x:0

L'équation admet une

infinité

de solution

car

pour

tout

nombre x, le

produit 0x

est toujours égal à 0.

Equation condition

solution

ax+b:O

a+0etb*0

_{une seule solution}

_{_a} *: -!

Ax:O a+ Oetb=

⁰ une seule

solution x :

0

0x+ô--0 a=0;b+0

aucune solution

0x =0

a =

^O

^et

^b

=0

tous les nombres sont solutions

Un produit

de facteurs est nul facteurs est nul :

AxB=0 signifie l=

lorsque

l'un

ou I'autre des

0 ou B-

0

x :l at x ₌

^2.

Numération C2

2.

^Résoudre

l'équation

_-3x(Sx

- ^{3) =}

^O

On

a: 1x -0 ^{ou 5x-3 -}

⁰

r= ⁰ :0 _ou *=3

' Doncl'équation -35 -Z{Sx-3) :0apoursolutions x:0

"t*=1.

⁵

on

écrit

: s: {0, 1}

'

t ^{' s)}

3.

^Résoudre

l'équatio" (t -2)(x$): r-2

^'

. On transpose

: (t- z)(x++)-(" _-2)=O

. On factorise le ^prernier membre

:

^(x

- ²⁾

^est le facteur commun

(;-z)(x+4)-11:o (x-z)(r+3):o

. On applique la règle

du produit nul

^:

x-2=0 ou x*3=0

x=2 ou ^x=-3

Donc l'équation (x -Z)(x+3)

⁼

x-2

a pour solutions

x :2

et

x _{= -3}

On

écrit

: S: {-l;Z\

l.

2.

Numération C2

Exercices

Ecrire I'expression correspondante à chacune des descriptions suivantes.

o La

somme d'un nombre et quatre est égale au double de ce nombre.

o La

différence d'un nombre et deux est éeale à huit.

o

Dans 5 ans,

j'aurai l6

ans.

Exprimer chacune des expressions suivantes eq phrase en remplaçant

.r

par

(

_{un nombre} >>.

c x*2:0 ^{o 2x+3=13}

o

x-1:8

_?

2x*x=6

3.

Choisir la bonne réponse.

a.

quatre

fois

d'un nombre est égal à la somme de ce nombre et deux.

b.

Encore 250 kips,

j'aurai

_{2500 kips.}

o4l+2:x

o

x+4=x*2

;250x:2500

o 250+

x:2500

a.

^I

o

4x=x+2 o2x=x+4

o 2500*x=250 o 250x =2500+ x

c.2

c.

La somme d'un nombre

et

15 est égale à

la

différence du

triple

de ce

nombre et 3.

o

3x+15:x-3

^o

x+I5=3x-3

o

x+15:3x+3

^o 3x-15=3x+3

I ^l

4.

^{Parmi les}

^nombres -j ^{O;; et l,}

lequel est solution

del'équation

^:

55

2x-3:5x-

^{4 .}

' 5.

^Entourer la bonne réponse.

- . L'équation 2x+3=5 apour

solution :

b.4

6.

. L'équation

3x

*l _-

^6x

-3

^{a pour solution :}

a.r b.2 ^c.+

J

. L'équation 4x*3

₌

2x -5

^{a pour}

^solution

^:

a. -4 b.4

^{c. -8}

Résoudre les équations suivantes.

._-'+_--_-

731

10205

17,^l

Numération C2

.2x-!:ll

6

. l02x=103

7. Résolution

d'une

équation.

Voici la solution

de Thao Phoutsakhone :

6x

+36 - ⁹⁰

x+36 - 90 ^{- - -15}

6

x -15 -36

x: _-21

La

solution

^est-elle coffecte ? Pour chacun de ces calculs, rédiger un texte

b. 8x+7 ₌₆₃

d. ^Z+4=88

3

. 3x-4+8x+3-32

7z

+294+32'-14

4b +38

-z(b +r)

8.

b.

d.

f.

4v- 't0-s 14 _{- -3v+'}

l*I _+l

₌ t3

234

l-4x _{_x+l}

=a*

⁵

5 :4 20

⁴

111

l(+x

⁺

al-i(s' _-

^{I 2)}

: ^:(zx _- 4l

2"4t'2'

x-2 2x+l 3-x

T---: I

l

dans

lequel

expliquer les étapes et les propriétés u/rlisées par Phoutsakhone.

Résoudre les éqaations suivantes.

o.3x-l-23

c. Z-t-6

5

e.8x+12:5x-21

^s. 2y-3 -9-4y

,

i. 6a-3(t- a):2a k.

^2(x

$)-2(, ⁺⁴⁾⁼²⁴

n tnt.

3("-2)-5 _=8-2(n-a)

s0+5(r- 2)=a(x+r)

^-

o. Jv I J\4 2r- a\e I Ll

, n. 7(a+r)4a-4(a-l)+s

o. 2pd +2)+n4a.++) p. 6x4(6-5') +3x -ro-4(2-x)

f

h.

j.

t.

9.

^{Même exercice.}

a. )v+-: zv-- -13 nn7 3-2

v. -T-=-

362

3x-l Zx+l 4x+l

ô

-I-3

236

; f ('+3)-à('*7)-o

k i.*t'-4-|{'-,)=

¹⁰⁹¹

,9.

^x

-t _*x(x ^{-2) _}

^s

_* ^{('+ 3X3r}

⁺

l)

h.

210

Numération C2

10.

Même exercice.

a.

sx

-lt -(z*- ^l)]

^{= 3("}

-s)+ ^a(x+

³⁾

b. 3x+l+z(r +2x2)=t(t-*)+

4x2 +4

, ^{, c.} (x-Z)(x+2)+x=l+(x-r)(x+r)

""

t 1(,_2x2)*1 =r_r2

ctz\t2

I

1.

Même exercice.

a.

(x-r)(x

+ 5)

- o u. (' , .'\ _- 4( .*l) ²⁾

= o

.. ('-z)('-gx"-4)=o d.2x(2x-t)(zx-2)=o

e.

(x+3)("-5):'-s f. (r-x)(zx+t)-(r-rX"-6)

= ^o

s

. (zr- +X'+

a)

- (x -z)(tx- ^t)

^{= o}

12.

Parmi les équations suivantes,

vérifier

que laquelle admette aucune solution ou une

infinité

de solutions ?

a. xrl=(x+ 7)-2

b.

(r-rXr+t)= (x+z)(x-z)

- c. 2y-3 =r4+z(t-tz)

^d.

^9n-4(7 +r)- 5n-28

_:

" ^13.

Relier deux équations qui ont les mêmes

solutions. ^:

e. 4x-10 a.x-3=13

f.

^30x

-156 ^{b.0,5: r*} | ',

_,l'n

g.

_{15x =}

5l

^{c. 4}

: _-1,2+x

h.0,2x=0,86 , d.l0-x=6,6