G276 Multiplier pour égaliser
On écrit sur 120 cartes les fractions de la forme k/(k+1) pour k variant de 1 à 120 : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,....,119/120, 120/121. On partage le paquet P de 120 cartes en deux paquets de a cartes et de b cartes, a + b = 120, a ≤ b, et pour chacun d’eux on calcule les produits p1 et p2 des fractions correspondantes.
On s’intéresse désormais aux partages de P qui satisfont l’égalité p1 = p2. Q1 Démontrer qu’il existe au moins un partage de P qui satisfait cette égalité.
Q2 Donner les valeurs minimale et maximale de a et décrire des partages de P correspondant à ces deux valeurs.
Q3 Dénombrer toutes les valeurs possibles de a.
Q1) p1 . p2 = 1/121 , si p1 = p2 , p1 = p2 = √121 = 1/11.
Les produits 1/2. 2/3.3/4, 4/5,..10/11 et 11/12.12/13...120/121 sont égaux à 1/11. C'est un partage avec a = 10 et b = 110 qui satisfait l'égalité exigée. On verra que minimum de a = 10.
Q2) Le produit (6/7).(7/8)...(64/65).(65/66) est égal à 6/66 =1/11 il utilise 60 fractions et est associé au produit (1/2. 2/3.3/4. 4/5. 5/6).(66/67)(67/68)...(120/121) = (1/6)(66/121) = 1/11 qui, lui aussi, utilise 60 fractions. Cette fois c'est un partage avec a=b, or il faut a ≤ b :
maximum de a = 60 = b minimum.
Q3) Pour qu'un produit de certaines fractions k/k+1 soit égal à 1/11, il doit contenir une séquence terminée par 10/11 ou 21/22, 32/33, 43/44, etc.., 98/99, 109/110, 120/121.
Cela donne le choix suivant :
(1/2)..(10/11) produit de 10 fractions : a= 10 et b= 110 (2/3)..(21/22) produit de 20 fractions : a= 20 et b= 100 (3/4)..(32/33) produit de 30 fractions : a= 30 et b= 90 (4/5)..(43/44) produit de 40 fractions : a= 40 et b= 80 (5/6)..(54/55) produit de 50 fractions : a= 50 et b= 70 (6/7)..(65/66) produit de 60 fractions : a= 60 et b= 60 (7/8)..(76/77) produit de 70 fractions : a= 50 et b= 70 (8/9)..(87/88) produit de 80 fractions : a= 40 et b= 80 (9/10)..(98/99) produit de 90 fractions : a= 30 et b= 90 (10/11)..(109/110) produit de 100 fractions : a= 20 et b= 100
Les valeurs possibles de a sont 10, 20 30, 40, 50, 60 en tout 6 valeurs possibles.
Valeurs a mini = 10, et a maxi = 60.
