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Fonctions de la variable r´ eelle ` a valeurs dans R ou C

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Academic year: 2022

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(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚10

Fonctions de la variable r´ eelle ` a valeurs dans R ou C

Exercice 86 (Limite et taux d’accroissement) 1. ´Etudier la limite ´eventuelle de sin(3x)

x quand xtend vers 0.

2. ´Etudier la limite ´eventuelle de ln(1 +x2)

2x quandxtend vers 0.

3. ´Etudier la limite ´eventuelle de ex−1

x quand xtend vers 0, puis la limite ´eventuelle dex2(e1x −1) quand xtend vers +∞.

Exercice 87 (sin est ind´efiniment d´erivable et formule poursin(n), o`un∈N) D´emontrer que la fonction sin admet des d´eriv´ees de tout ordre et que :

∀n∈N, ∀x∈R, sin(n)(x) = sin x+nπ

2 .

Exercice 88 (Fonction logarithme de base 10) Soit l’application

f:R→]0,+∞[ ; x7→10x.

1. D´emontrer quef est bijective en appliquant le th´eor`eme de la bijection.

L’application r´eciproque def est par d´efinition la fonction logarithme d´ecimal, not´eelogoulog10. 2. Justifier que :

∀x∈R, log(10x) =x.

3. Calculer log(1), log(0,0001) et log(100).

4. D´emontrer que :

log : ]0,+∞[→R; x7→ ln(x) ln(10). 5. ´Etudier la fonction log.

6. D´emontrer que :

∀(x1, x2)∈]0,+∞[2, log(x1x2) = log(x1) + log(x2).

7. D´emontrer que :

∀x∈]0,+∞[, log 1

x

=−log(x).

8. D´emontrer que :

∀(x1, x2)∈]0,+∞[2, log x1

x2

= log(x1)−log(x2).

9. Soitx∈]0,+∞[. Exprimer log(√

x3) en fonction de log(x).

Exercice 89 (´Etude de x7→xx) Etudier la fonction´ f:x7→xx.

1

(2)

Exercice 90 (Croissances compar´ees) 1. ´Etudier la limite ´eventuelle de √

xln(x) + 1

x quandxtend vers 0+. 2. ´Etudier la limite ´eventuelle de xln(x)−x2 quandxtend vers +∞. 3. ´Etudier la limite ´eventuelle de √

x e1x quandxtend vers 0+.

Exercice 91 (Valeurs d’Arcsinus) 1. Calculer les nombres suivants :

Arcsin 1

2

; Arcsin (1) ; Arcsin −

√2 2

! .

2. En utilisant les propri´et´es des bijections r´eciproques, (a) donner un intervalleIdeRtel que :

∀x∈I, Arcsin(sin(x)) =x; (b) donner un intervalleJ deRtel que :

∀y∈J, sin(Arcsin(y)) =y.

3. Calculer les nombres suivants : Arcsin

sinπ 3

; Arcsin

sin

−5π 4

; Arcsin

sin 13π

6

. 4. Soitx∈[0, π]. Simplifier l’´ecriture de :

Arcsin(cos(x)).

5. Soitx∈[−π, π]. Simplifier l’´ecriture de :

Arcsin(sin(x)).

Indication : On scindera l’´etude en plusieurs parties.

Exercice 92 (Lien entre Arccos et Arcsin) Soitf la fonction d´efinie par :

f:x7→Arccos(x) + Arcsin(x).

1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def.

2. On note Df l’ensembleDf priv´e de ses bornes. Justifier quef est d´erivable surDf. 3. Calculerf(x) pour toutx∈Df.

4. En d´eduire que pour toutx∈[−1,1] :

Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2.

Exercice 93 (Simplification de Arctan(x) +Arctan(x1)pour x∈R) Soitf la fonction d´efinie par :

f:x7→Arctan(x) + Arctan 1

x

. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def.

2. Montrer quef est d´erivable surDf. 3. Calculerf(x) pour toutx∈ Df.

2

(3)

4. En d´eduire que pour toutx∈R :

Arctan(x) + Arctan 1

x

=





 π

2 six >0

−π

2 six <0.

Exercice 94 (Expression de la restriction de Arcsin `a ]−1,1[ en fonction de Arctan) 1. Soitf la fonction d´efinie par :

f: ]−1,1[→R; x7→ x

√1−x2. (a) Justifier quef est d´erivable sur ]−1,1[.

(b) Calculerf(x) pour toutx∈]−1,1[.

2. Soitg la fonction d´efinie par :

g: ]−1,1[→R; x7→Arctan x

√1−x2

. (a) Justifier quegest d´erivable sur ]−1,1[.

(b) Calculerg(x) pour toutx∈]−1,1[.

3. En d´eduire que pour toutx∈]−1,1[ :

Arcsin(x) = Arctan x

√1−x2

.

Exercice 95 (Une formule pour π4 mettant en jeu arctangente) D´emontrer que :

π

4 = Arctan 1

2

+ Arctan 1

3

.

Exercice 96 (Syst`eme mettant en jeu ch et sh) R´esoudre le syst`eme





ch(x) + ch(y) = 35 12 sh(x) + sh(y) = 25 12 d’inconnue (x, y)∈R2.

Exercice 97 (D´erivabilit´e et d´eriv´ee d’une fonction de la variable r´eelle `a valeurs dans C) Soit I un intervalle non vide deR. Soitf: I→C une application. On dit quef est d´erivable surI si les deux fonctions `a valeurs r´eelles

Re(f) :I→R; x7→Re(f(x)) et Im(f) :I→R; x7→Im(f(x))

sont d´erivables surI. Si tel est le cas, alors on d´efinit la d´eriv´ee def comme ´etant la fonction f d´efinie par : f:I→C; x7→Re(f)(x) +iIm(f)(x).

1. On fixe un nombre complexeade forme alg´ebriquea=α+iβo`u (α, β)∈R2. On consid`ere l’application f d´efinie par :

f:R→C; x7→eax. (a) D´emontrer quef est d´erivable surR.

(b) D´emontrer que pour toutx∈R, f(x) =a eax.

3

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