Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚10
Fonctions de la variable r´ eelle ` a valeurs dans R ou C
Exercice 86 (Limite et taux d’accroissement) 1. ´Etudier la limite ´eventuelle de sin(3x)
x quand xtend vers 0.
2. ´Etudier la limite ´eventuelle de ln(1 +x2)
2x quandxtend vers 0.
3. ´Etudier la limite ´eventuelle de ex−1
x quand xtend vers 0, puis la limite ´eventuelle dex2(e1x −1) quand xtend vers +∞.
Exercice 87 (sin est ind´efiniment d´erivable et formule poursin(n), o`un∈N) D´emontrer que la fonction sin admet des d´eriv´ees de tout ordre et que :
∀n∈N, ∀x∈R, sin(n)(x) = sin x+nπ
2 .
Exercice 88 (Fonction logarithme de base 10) Soit l’application
f:R→]0,+∞[ ; x7→10x.
1. D´emontrer quef est bijective en appliquant le th´eor`eme de la bijection.
L’application r´eciproque def est par d´efinition la fonction logarithme d´ecimal, not´eelogoulog10. 2. Justifier que :
∀x∈R, log(10x) =x.
3. Calculer log(1), log(0,0001) et log(100).
4. D´emontrer que :
log : ]0,+∞[→R; x7→ ln(x) ln(10). 5. ´Etudier la fonction log.
6. D´emontrer que :
∀(x1, x2)∈]0,+∞[2, log(x1x2) = log(x1) + log(x2).
7. D´emontrer que :
∀x∈]0,+∞[, log 1
x
=−log(x).
8. D´emontrer que :
∀(x1, x2)∈]0,+∞[2, log x1
x2
= log(x1)−log(x2).
9. Soitx∈]0,+∞[. Exprimer log(√
x3) en fonction de log(x).
Exercice 89 (´Etude de x7→xx) Etudier la fonction´ f:x7→xx.
1
Exercice 90 (Croissances compar´ees) 1. ´Etudier la limite ´eventuelle de √
xln(x) + 1
x quandxtend vers 0+. 2. ´Etudier la limite ´eventuelle de xln(x)−x2 quandxtend vers +∞. 3. ´Etudier la limite ´eventuelle de √
x e1x quandxtend vers 0+.
Exercice 91 (Valeurs d’Arcsinus) 1. Calculer les nombres suivants :
Arcsin 1
2
; Arcsin (1) ; Arcsin −
√2 2
! .
2. En utilisant les propri´et´es des bijections r´eciproques, (a) donner un intervalleIdeRtel que :
∀x∈I, Arcsin(sin(x)) =x; (b) donner un intervalleJ deRtel que :
∀y∈J, sin(Arcsin(y)) =y.
3. Calculer les nombres suivants : Arcsin
sinπ 3
; Arcsin
sin
−5π 4
; Arcsin
sin 13π
6
. 4. Soitx∈[0, π]. Simplifier l’´ecriture de :
Arcsin(cos(x)).
5. Soitx∈[−π, π]. Simplifier l’´ecriture de :
Arcsin(sin(x)).
Indication : On scindera l’´etude en plusieurs parties.
Exercice 92 (Lien entre Arccos et Arcsin) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→Arccos(x) + Arcsin(x).
1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def.
2. On note D◦f l’ensembleDf priv´e de ses bornes. Justifier quef est d´erivable surD◦f. 3. Calculerf′(x) pour toutx∈D◦f.
4. En d´eduire que pour toutx∈[−1,1] :
Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2.
Exercice 93 (Simplification de Arctan(x) +Arctan(x1)pour x∈R∗) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→Arctan(x) + Arctan 1
x
. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def.
2. Montrer quef est d´erivable surDf. 3. Calculerf′(x) pour toutx∈ Df.
2
4. En d´eduire que pour toutx∈R∗ :
Arctan(x) + Arctan 1
x
=
π
2 six >0
−π
2 six <0.
Exercice 94 (Expression de la restriction de Arcsin `a ]−1,1[ en fonction de Arctan) 1. Soitf la fonction d´efinie par :
f: ]−1,1[→R; x7→ x
√1−x2. (a) Justifier quef est d´erivable sur ]−1,1[.
(b) Calculerf′(x) pour toutx∈]−1,1[.
2. Soitg la fonction d´efinie par :
g: ]−1,1[→R; x7→Arctan x
√1−x2
. (a) Justifier quegest d´erivable sur ]−1,1[.
(b) Calculerg′(x) pour toutx∈]−1,1[.
3. En d´eduire que pour toutx∈]−1,1[ :
Arcsin(x) = Arctan x
√1−x2
.
Exercice 95 (Une formule pour π4 mettant en jeu arctangente) D´emontrer que :
π
4 = Arctan 1
2
+ Arctan 1
3
.
Exercice 96 (Syst`eme mettant en jeu ch et sh) R´esoudre le syst`eme
ch(x) + ch(y) = 35 12 sh(x) + sh(y) = 25 12 d’inconnue (x, y)∈R2.
Exercice 97 (D´erivabilit´e et d´eriv´ee d’une fonction de la variable r´eelle `a valeurs dans C) Soit I un intervalle non vide deR. Soitf: I→C une application. On dit quef est d´erivable surI si les deux fonctions `a valeurs r´eelles
Re(f) :I→R; x7→Re(f(x)) et Im(f) :I→R; x7→Im(f(x))
sont d´erivables surI. Si tel est le cas, alors on d´efinit la d´eriv´ee def comme ´etant la fonction f′ d´efinie par : f′:I→C; x7→Re(f)′(x) +iIm(f)′(x).
1. On fixe un nombre complexeade forme alg´ebriquea=α+iβo`u (α, β)∈R2. On consid`ere l’application f d´efinie par :
f:R→C; x7→eax. (a) D´emontrer quef est d´erivable surR.
(b) D´emontrer que pour toutx∈R, f′(x) =a eax.
3