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F onctions d ’ une variable r eelle ´ .
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
15.1 Objectifs.
Fonctions paires, impaires, périodiques.
Fonctions majorées, minorées, bornées, mono- tones.
Définition de la limite et de la continuité d’une fonction d’une variable en un point.
Unicité de la limite.
Limites à droite et à gauche.
Extension au cas où f est définie surI\ {x0}.
Extension de la notion de limite en±∞et aux cas des limites infinies.
On adoptera la définition suivante : fétant une fonction définie surI,x0étant un élément deI ou une extrémité deI, et`un élément deR, on dit que f admet`pour limite enx0si, pour tout nombreε >0, il existe un nombreα > 0 tel que pour tout élémentxdeI∩[x0−α,x0+ α], |f(x)−`| ≤ε; ainsi, lorsquex0appartient àI, f est continue en x0, sinon f se prolonge en une fonction continue enx0.
Opérations algébriques sur les limites.
Compatibilité avec la relation d’ordre.
Existence d’une limite par encadrement.
Si f admet une limite ` en x0 et si (un) est une suite réelle définie surIet tendant versx0, alors (f(un)) tend vers`.
La caractérisation séquentielle de la limite n’est pas au programme.
Prolongement par continuité en un point.
Limite d’une fonction composée.
Théorème de limite monotone. Toute fonction monotone sur ]a,b[
(−∞6a<b6+∞) admet des limites fi- nies à droite et à gauche en tout point de ]a,b[.
Comportement enaetb.
Fonctions continues sur un intervalle, opéra- tions algébriques, composition.
Théorème des valeurs intermédiaires.
L’image d’un intervalle (respectivement un segment) par une fonction continue est un in- tervalle (respectivement un segment).
Notations max
[a,b] f et min
[a,b] f.
Théorème de la bijection. Toute fonction continue et strictement mono-
tone sur un intervalleIdéfinit une bijection de Isur l’intervalle f(I). Sa bijection réciproque est elle-même continue et a le même sens de variation.
On utilisera ce résultat pour l’étude des équa- tions du type f(x)=k.
En liaison avec l’algorithmique, méthode de dichotomie.
Représentation graphique de la fonction réci- proque.
2
15.2.1 Définitions
On appelle fonction numérique d’une variable réelle toute applicationf définie sur un sous- ensembleDdeRà valeurs dansR. On note
f :
D −→ R
x 7−→ f(x) une telle fonction.
Vocabulaire :
(1) L’ensembleDs’appelle . . . de f.
(2) Siy= f(x) alorsyest . . . dexparfetxest . . . de ypar f.
(3) Le graphe ou courbe représentative de f est le sous-ensembleΓdeR2:
Γ ={(x,y)∈R2|. . . .}={. . . .}
15.2.2 Opérations sur les fonctions
On noteF(D,R) l’ensemble des fonctions numériques définies surDà valeurs dansR. Soient f ∈ F(D,R),g∈ F(D,R) etλ∈R.
(1) La fonction f +gest définie par : . . . . (2) La fonction f gest définie par : . . . . (3) La fonctionλf est définie par : . . . . (4) Sif ne s’annule pas surDalors1
f est la fonction définie par : . . . . (5) La fonction|f|est la fonctionx∈D7−→ |f(x)|.
(6) Les fonctions sup(f,g) et inf(f,g) sont les fonctions . . . et . . . . On a
sup(f(x),g(x))=. . . . et
inf(f(x),g(x))=. . . .
(7) les fonctions f+et f−sont respectivement définies par f+=sup(f,0) et f−=sup(−f,0).
On a alors : f = f+−f−.
~i
~j
0 x
y
y= f(x)
~i
~j
0 x
y
y=f+(x)
~i
~j
0 x
y
y=f−(x)
Remarque1.Les fonctions f+etf−s’appellent respectivement la partie positive et la partie négative de f. Ces deux fonctions sont positives.
15.2.3 Fonctions majorées, minorées, bornées.
SoitD⊂Ret f :D−→Rune fonction.
(1) On dit que f est majorée si . . . . (2) On dit que f est minorée si . . . .
(3) On dit que f est bornée si . . . . . . . .
Proposition 15.2.1. Soit f :D−→Rune fonction.
La fontion f est bornée si et seulement si . . . .
Exemple 1. (1) La fonctionf :x∈]0,+∞[7−→1
xest . . . . (2) La fonctiong:x∈]− ∞,0[7−→ 1
xest . . . . (3) La fonctionh:x∈R7−→ x
1+x2 est . . . .
~i
0 x
15.2.4 Fonctions paires et fonctions impaires.
Définition 15.2.1. Soit f :D−→Rune fonction.
(1) On dit que f est paire si . . . . (2) On dit que f est impaire si . . . .
Interprétation graphique.Le planR2est rapporté à un repère orthonormé (O,~i, ~j).
(1) Le graphe d’une fonction paire est . . . . (2) Le graphe d’une fonction impaire est . . . . Exemple 2. La fonction f :x7−→ x+sinx
1+x2 est impaire surR.
~i
~j
0 x
y
y= f(x)
Remarque2.Toute fonction numérique définie sur un intervalleIcentré en0est la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
En effet, les fonctions . . . et . . . sont respectivement paire et impaire et pour toutx∈I,
f(x)=. . . .+. . . .
15.2.5 Fonctions périodiques
Définition 15.2.2. Soit f :D−→Rune fonction etT ∈R∗.
On dit que f est T-périodique si . . . et . . . .
Le nombreT est appelé une période de f.
Exemple 3. (1) Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques. La fonction sin est impaire et la fonction cos est paire.
~i
~j
0 x
y y=cosx
y=sinx
(2) La fonction f définie surRpar pour toutx∈R, f(x)=x− bxc − 1
2 est 1-périodique.
~i
~j
0 x
y
15.3 Limites d’une fonction. Continuité.
15.3.1 Limites d’une fonction.
SoitIun intervalle non trivial deRet f une fonction définie surI.
a) Limite finie en un point deIou une extrémité finie deI.
On suppose queI est de la forme [a,b], [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ oùa,bsont des réels tels quea<b. On suppose aussi quex0est un point deIou une extrémité finie deI.
Définition 15.3.1. Soit`∈R. On dit que f a pour limite`enx0si : . . . .
0 x0
x0−η x0+η
`
`−ε
`+ε
x
Exemple 4. Pourx∈R, f(x)=4x+2. On étudie la limite enx0=1.
Montrons que lim
x→1f(x)=6.
Soitε >0.
Pour toutx∈R, |f(x)−6|=4|x−1|. On choisitη=. . . ..
Alors pour toutx∈Rtel que|x−1| ≤η, on a :
|f(x)−1| ≤. . . . Exemple 5. Pourx∈[0,+∞[, f(x)= √
x.
~i
~j
0 x
y
On étudie la limite enx0=0.
Montrons que lim
x→0f(x)=0.
Soitε >0.
On choisitη=. . . ..
Alors pour toutx∈[0,1] tel que|x| ≤η, on a :
|f(x)| ≤. . . . b) Limites finies en±∞
SoitIun intervalle non bornée admettant+∞ou−∞comme une de ses extrémités et f une fonction définie surI.
(1) On dit que f admet pour limite`∈Ren+∞si
. . . .
(2) On dit que f admet pour limite`∈Ren−∞si
. . . . Exemple 6. Soit f :x∈]− ∞,0[∪]0,+∞[7−→1
x. Montrons que lim
x→+∞f(x)=0.
~i
~j
0 x
y
Définition 15.3.2. Soit f :R→Rune fonction.
Si f admet pour limite`∈Ren+∞(resp.−∞), on dit que la droite d’équation y=`est . . . en+∞(resp.−∞).
c) Limites infinies
Définition 15.3.3. Soit f une fonction définie sur un intervalleIetx0une extrémité de I.
(1) cas d’une extrémité finie (x0réel) :on dit que f admet+∞pour limite enx0si . . . .
(2) cas d’une extrémitéx0= +∞:on dit que f admet+∞pour limite en+∞si . . . .
(3) cas d’une extrémitéx0=−∞:on dit que f admet+∞pour limite en−∞si . . . .
(4) On dit que f admet−∞pour limite enx0(extrémité finie ou infinie) si la fonction
−f admet+∞pour limite enx0
Exemple 7. Soit ln :x∈]0,+∞[7−→lnx. Montrons que lim
x→+∞lnx= +∞.
~i
~j
0 x
Définition 15.3.4. Soit f :I→Rune fonction etx0une extrémité (exclue) deI.
Si f admet pour limite+∞en une extrémitéx0finie, on dit que la droite d’équationx=x0est . . . à la courbe de f.
Exemple 8. Soit f :x∈]−2,1[7−→ 1
1−x. Montrons que lim
x→1f(x)= +∞.
~i
~j
0 x
y
d) Propriétés des limites finies.
Soit I un intervalle deR, x0 une extrémité (finie ou infinie) de I et f une fonction définie surI.
Proposition 15.3.1(Unicité d’une limite). Si f admet`1 ∈Ret`2 ∈Rpour limites en x0, alors`1=`2.
Remarque3.Lorsque f admet` ∈Rpour limite enx0 ∈R, on dit que`est la limite de f enx0et on note
x→xlim0 f(x)=`ou lim
x0
f =`ouf(x)−−−−→
x→x0 `
Proposition 15.3.2. Soit I un intervalle deR, x0 un point de I ou une extrémité (finie ou infinie) de I et f une fonction définie sur I.
Si f admet une limite ` > 0 en x0 alors il existe un voisinage de x0 sur lequel . . . .
. . . .
Remarque4.On supposelim
x0
f =` >0. Dans le cas oùx0est intérieur àI, la proposition se traduit en : il existeη >0tel que[x0−η,x0+η]⊂Iet pour toutx∈[x0−η,x0+η], f(x)>0.
e) Limite d’une suite(f(un))
Proposition 15.3.3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I deR, x0un point de I ou une extrémité (finie ou infinie) de I et(un)n∈Nune suite de points de I.
Si la fonction f admet une limite` ∈Ren x0 ∈ Ret si la suite(un)tend vers x0 alors . . . .
. . . .
Exemple 9. La fonction cos n’admet pas de limite finie en+∞.
Supposons le contraire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice1.Montrer que la fonction fdéfinie sur]0,1]par f(x)=sin1xn’a pas de limite en0.
f) Limite à droite, limite à gauche.
Définition 15.3.5. Soit f une fonction définie sur un intervalleIetx0un point deIou une extrémité finie deI.
(1) On dit que f admet une limite`1à gauche enx0si . . . . . . . .
(2) On dit que f admet une limite`2à droite enx0si . . . . . . . .
0,25 0,5 0,75 1
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1
Figure15.1 Courbey=sin1 x
Si elles existent, ces limites sont uniques et on note limx→x0
x<x0
f(x)=`1 ou lim
x−0 f =`1!
ou f(x)−−−→
x→x0
x<x0
`1
limx→x0
x>x0
f(x)=`2 ou lim
x+0 f =`2!
ou f(x)−−−→
x→x0
x>x0
`2
Exemple 10. La fonction partie entièrex7−→ bxcadmet une limite à gauche et une limite à droite en tout pointx0∈Z
lim
x→x0
x<x0
bxc=. . . , lim
x→x0
x>x0
bxc=. . . .
~i
~j
0 x
y
Exemple 11. SoitHla fonction définie surRparH(x)=1 six<x2etH(x)=0 sinon.
~i
~j
0 x
y
lim
x<0x→0
H(x)=. . . , lim
x>0x→0
H(x)=. . .
Exemple 12. Soit f la fonction définie sur ]− ∞,0[∪]0,+∞[ par f(x)=1 x. lim
x<0x→0
f(x)=−∞, lim
x>0x→0
f(x)= +∞
Proposition 15.3.4. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0un point de I.
La fonction f admet une limite` en x0 si et seulement si la fonction f admet `pour limite à gauche et pour limite à droite en x0et`= f(x0).
Exemple 13. Soit f la fonction définie sur ]−π2,0[∪]0,π2[ parf(x)= sinx
x et f(0)=1.
La fonction f admet une limite à gauche et une limite à droite en 0 toutes deux égales à 1 donc f admet une limite en 0 et lim
0 f =1
Exemple 14. Soit f la fonction définie surRpar f(x) = 1 si x ,0 et f(0) = 0, etgla fonction constante surRégale à 1. La fonctiongadmet 1 pour limite en 0 mais la fonction
f n’admet pas de limite en 0.
15.3.2 Continuité
Définition 15.3.6. Soit f une fonction définie sur un intervalleIetx0un point deI. On dit que f est continue enx0si lim
x→x0f(x)= f(x0).
Traduction quantifiée de la définition : f est continue enx0si et seulement si . . . .
Parmi les fonctions représentées à la page suivante, seule la fonction représentée en a) est continue enx0.
— La fonction représentée en b) possède une limite à gauche et une limite à droite enx0
égales mais distinctes de f(x0) : cette fonction n’admet pas de limite enx0et n’est donc pas continue enx0.
— La fonction représentée en c) possède une limite à gauche et une limite à droite enx0 distinctes : cette fonction n’admet pas de limite enx0et n’est donc pas continue enx0.
— De même pour la représentée en d).
— Les fonctions représentées en e) et f) sont définies enx0mais n’admettent pas de limite enx0(celle repréntée en e) ne possède ni limite à gauche ni limite à droite).
Figure15.2 Exemples de graphes de fonctions continues et discontinues
Définition 15.3.7. Soit f une fonction définie sur un intervalleI.
— On dit que f est continue surIsi elle est continue en tout point deI.
— SiJ⊂I, on dit que f est continue surJsi la restriction de f àJest continue surJ.
Exemple 15. La fonctionx∈R7−→ bxcn’est continue en aucun pointm∈Z. En effet, lim
$
m+ 1
m+1
%
=met lim
$
m− 1
m+1
%
=m−1<m. En revanche,x7−→ bxc est continue sur tout intervalle de la forme [m,m+1[.
15.3.3 Théorème de prolongement
Théorème et définition .Soit I un intervalle deRou une réunion d’intervalles deR ayant x0pour extrémité finie et f une fonction définie et continue sur I\{x0}.
Si f admet` ∈ Rpour limite en x0 alors il existe une unique application f définie et˜ continue sur I prolongeant f .
Cette application est définie par
f˜(x)=(. . . si x∈I\{x0}, . . . si x=x0
et s’appelleprolongement par continuitéen x0de f .
Exemple 16. Soit f la fonction définie surR\{0}par f(x)=sinx x . On a vu que lim
x→0f(x)=1.
La fonction f se prolonge donc de manière unique en une fonction ˜f continue surRdéfinie par
f˜(x)=
(f(x) six,0, 1 six=0
~i
~j
0 x
y
y=sinxx
Exemple 17. Soit f la fonction définie sur ]−1,1[ par f(x)= (1−x)(1−x5) (1−x2)(1−x3). Pour toutx∈]−1,1[
1−x5=. . . , 1−x3=. . . . de sorte que
f(x)= . . . . . . . .. Donc lim
x→1f(x)=. . . ..
La fonction f se prolonge donc de manière unique en une fonction ˜f continue sur ]−1,1]
définie par
f˜(x)=
(. . . six,1, . . . six=1
15.4 Règles de calcul sur les limites.
SoitIun intervalle deR, x0un élément deIou une extrémité (évent. infinie) deI.
15.4.1 Limites et relation d’ordre
Proposition 15.4.1. Soient f,g:I−→Rtelles que pour tout x∈I, f(x)≤g(x).
(a) si lim
x→x0f(x)= +∞alors . . . . (b) si lim
x→x0g(x)=−∞alors . . . . (c) si lim
x→x0f(x)=`et lim
x→x0g(x)=`0alors . . . .
Remarque5.Si f est positive surIet si lim
x→x0f(x)=`alors`≥0. Attention, les inégalités strictes ne passent pas en général à la limite.
. . . . . . . .
15.4.2 Opérations algébriques.
Les deux tableaux suivants réseument les propriétés opératoires des limites vis-à vis de la somme et du produit.
Soient f,g:I−→R. HH
HH HH
H limx0 f
limx0 g
`∈R +∞ −∞
`0∈R . . . . +∞ . . . .
−∞ . . . .
Table15.1 Limite def+genx0
H HH
HH HH limx0
f
limx0 g
`∈R∗ 0 +∞ −∞
`0∈R∗ . . . . 0 . . . . +∞ . . . .
−∞ . . . .
Table15.2 Limite def×genx0
Remarque6.Attention, les formes1∞sont aussi des formes indéterminées.
Théorème .On suppose que f :I−→Rne s’annule pas.
(a) silim
x0 f =`,0alorslim
x0
1
f =. . . . (b) silim
x0
f ∈ {−∞,+∞}alorslim
x0
1
f =. . . . (c) si f est strictement positive sur I et silim
x0 f =0alorslim
x0
1
f =. . . .
15.4.3 Composition
SoitIun intervalle deR,x0un élément deIou une extrémité deI,Jun intervalle de Retf :I−→R, g:J−→Rdeux fonctions avec f(I)⊂J.
Proposition 15.4.2. Si f admet une limite ` en x0 alors` est élément de J ou une extrémité de J.
Proposition 15.4.3. Silim
x→x0f(x)=α∈R¯ etlim
y→αg(y)=β∈R¯alorslim
x→x0g◦f(x)=β∈R¯
Exemple 18. Soit f :x∈[0,1]7−→
√
1−x2. On a lim
x→11−x2 =0 et lim
y→0
√y=0 donc par composition lim
x→1f(x)=0 .
Exemple 19. Soit f : x ∈]0,+∞] 7−→ xlnx
xx−1. On a pour x > 0, f(x) = . . . .et xx=. . . ..
. . . . . . . . . . . .
15.4.4 Opérations sur les fonctions continues.
SoitIun intervalle deR,x0un élément deI.
Théorème .Soient f,g:I−→Rdeux fonctions continues en x0etλ∈R.
— Les fonctions f +g, f×g, |f|, λf sont continues en x0.
— Si f ne s’annule pas sur I alors 1
f est continue en x0.
On noteC0(I) l’ensemble des fonctions continues surI.
Théorème .Soient f,g:I−→Rdeux fonctions continues sur I etλ∈R.
— Les fonctions f +g, f×g, λf sont continues sur I.
— Si f ne s’annule pas sur I alors 1
f est continue sur I.
En particulier, l’ensembleC0(I)est unR-espace vectoriel.
Théorème .Soit I un intervalle deR, x0 un élément de I, J un intervalle deRet f : I−→R, g:J−→Rdeux fonctions avec f(I)⊂J.
— Si f est continue en x0et si g est continue en f(x0)alors g◦ f est continue en x0.
Si f est continue sur I et si g est continue sur J alors g◦ f est continue sur I.
15.5 Image continue d’un intervalle 15.5.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires .Soit I un intervalle deRnon vide et f :I−→R une fonction continue sur I et a,b deux réels de I.
Alors tout réel compris entre f(a)et f(b)est l’image par f d’au moins un réel compris entre a et b.
Reformulation :si une fonction continue prend deux valeurs λetµalors elle prend (au moins une fois) toutes les valeurs intermédiaires entreλetµ.
0 λ µ
ξ
x y
Le théorème des valeurs intermédiaires est équivalent au théorème ci-dessous, dû à Bolzano1:
1. 1781-1848. Né à Prague, de langue et culture allemandes. Etudes de théologie, philosophie et mathéma- tiques. Ordonné pretre en 1805 et nommé professeur de sciences de la religion à Prague, il sera destitué en 1820 et interdit de toute activité publique par le gouvernement. En mathématiques, il énonce de façon explicite et pour la première fois, le critère de Cauchy pour la convergence des séries de fonctions mais la théorie des nombres réels n’est pas encore élaborée et conclut rapidement à l’existence d’une limite pour les sommes partielles. A l’aide de ce critère, il montre que tout ensemble de réels minoré possède une borne inférieure. « Si une propriétéMn’ap- partient à toutes les valeurs d’une grandeur variablex, mais appartient à toutes celles qui sont plus petites qu’un certainualors il existe toujours une grandeurUqui est la plus grande de celle dont on peut affirmer que toutes les valeurs inférieures àxpossèdent la propriétéM. » Il utilise cette propriété pour prouver le théorème des valeurs intermédiaires. Il utilise aussi, mais sans la démontrer, la propriété selon laquelle de toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une sous suite convergente. Weierstrass la prouvera en utilisant la méthode de Bolzano.
Théorème de Bolzano .Soit f :I−→Rune fonction continue sur I et a<b deux réels de I.
Si f(a)f(b)<0alors il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c)=0.
a c b x
y
Corollaire 15.5.1. Soit I un intervalle deRnon vide.
Si f :I−→Rest une fonction continue sur I alors f(I)est un intervalle.
Reformulation :l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
15.5.2 Continuité sur un segment
Un segment deRest un intervalle fermé borné donc de la forme [a,b] aveca≤bréels.
Le théorème énoncé ci-dessous est appelé théorème de compacité (parfois théorème des bornes) et est dû au mathématicien allemand Karl Weierstrass2:
Théorème .Soient a<b deux réels et f : [a,b]−→Rune fonction. Si f est continue sur [a,b]alors f([a,b])est un segment. En particulier, une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
Reformulation :si f est continue sur le segment [a,b] alors il existe des réels m ≤ M tels que f([a,b]) = [m,M] et de plus il existeξ ∈ [a,b], ζ ∈ [a,b] tels que f(ξ) =met
f(ζ)=M.De plus,m=min
[a,b] f etM =max
[a,b] f.
2. Né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (Westphalie) et mort le 19 février 1897 à Berlin, est un mathématicien allemand de premier plan.
Bien que ses talents soient avérés depuis le Gymnasium et sa vocation confirmée par ses travaux en autodidacte pendant ses études ratées de droit, sa carrière commence comme enseignant du secondaire et il ne se révèle à la communauté mathématique qu’en 1854 par des recherches sur les intégrales abéliennes. Il devient alors professeur à Berlin, qui devient la capitale mondiale des mathématiques grâce à lui, Kummer et Kronecker. Outre des contributions importantes au calcul des variations, sa recherche de rigueur le conduit à poser les fondements de l’analyse moderne (nombres réels, continuité, convergence de séries, fonctions analytiques, etc.), dont il peut être considéré comme le « père. »
En 1863, il démontre que les complexes sont la seule extension algébrique des réels, un résultat annoncé par Gauss sans preuve en 1831. En 1872, sa quête de rigueur en analyse lui permet de découvrir une fonction continue nulle part dérivable, une pathologie dont Riemann avait essayé de donner un exemple dix ans avant. (source : http ://images.math.cnrs.fr)
0
m M
ξ
ζ x
Exercice2.Soita<betf : [a,b]−→Rune fonction continue telle que : pour toutx∈ [a,b], f(x)>0. Montrer qu’il existe un réelc>0tel que pour toutx∈[a,b], f(x)≥c.
15.6 Fonctions monotones.
15.6.1 Définitions
Définition 15.6.1. SoitIun intervalle deRnon vide deRetf :I−→R. (1) On dit que f est croissante lorsque
∀x∈I, ∀y∈I, (x≤y=⇒ f(x)≤ f(y).
(2) On dit que f est strictement croissante lorsque
∀x∈I, ∀y∈I, (x<y=⇒ f(x)< f(y).
(3) On dit que f est décroissante lorsque
∀x∈I, ∀y∈I, (x≤y=⇒ f(x)≥ f(y).
(4) On dit que f est strictement décroissante lorsque
∀x∈I, ∀y∈I, (x<y=⇒ f(x)> f(y).
Ainsi, une fonction est croissante lorsque les images sont rangés dans le même ordre que leurs antécédents. Une fonction est décroissante lorsque les images sont rangés dans l’ordre inverse de leurs antécédents.
Définition 15.6.2. SoitIun intervalle deRnon vide deRetf :I−→R.
(1) On dit que f est monotone surIlorsque f est croissante surIou décroissante surI.
(2) On dit que f est strictement monotone surIlorsque f est strictement croissante sur Iou strictement décroissante surI.
15.6.2 Théorème de la limite monotone
Théorème de la limite monotone .Soit f :]a,b[−→Rune fonction où a,b dansR¯.
— la fonction f admet des limites dansRen a et b,
— la fonction f possède en tout point x0 ∈]a,b[une limite à gauche et une limite à droite finies avec
lim
x0− f ≤ f(x0)≤lim
x+0 f, si f croit lim
x0− f ≥ f(x0)≥lim
x+0
f, si f décroit
Définition 15.6.3. SoientIetJdeux intervalles deRet f : I −→ June fonction. On dit que f est une bijection deIsurJlorsque pour touty∈J, l’équation f(x)=yadmet une unique solutionx.
Théorème de la bijection .Soit I un intervalle non vide deR. Si f est une fonction continue et strictement monotone sur I alors
(1) la fonction f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle image J= f(I) (2) et l’application réciproque f−1est continue sur J et strictement monotone de même
sens que f .
Dans le cas oùfest continue et strictement croissante sur un intervalle [a,b[, le théorème de la bijection affirme que f réalise une bijection de [a,b[ surJ=[f(a),lim
b f[ et l’application f−1est continue et strictement croissante surJ.
lim
x→0
sinx x =1 lim
x→0
1−cosx x2 =1
2 lim
x→0
1−cosx
x =0
lim
x→0
tanx x =1 lim
x→0lnx=−∞
lim
x→+∞lnx= +∞ lim
x→0
ln(1+x)
x =lim
y→1
lny y−1 =1 lim
x→+∞ 1+1 x
!x
=e
∀α >0, lim
x→+∞
lnx xα =0 ∀α >0, ∀β∈R, lim
x→0xα(lnx)β =0 lim
x→0
ex−1
x =1
∀a>0, lim
x→0
ax−1 x =lna ∀α∈R, lim
x→+∞xαe−x=0 ∀α >0, lim
x→+∞
ex xα
15.8 Exercices.
Généralités, limites, continuité.
Exercice3. On pose f(x)= x
ex−1−1+x
2 pourx,0 et f(0)=0.
Montrer que f est une fonction paire, continue surR
Exercice4. Soit f une fonction définie surRvérifiant la relation f(x+1)=1
2 +q
f(x)−f(x)2. Montrer que f est une fonction périodique.
Exercice5. Déterminer les limites suivantes quand elles existent : (a) lim
x→0
tan(sinx) x (b) lim
x→0
ln(1+tanx) sinx (c) lim
x→0
ex2−1 x (d) lim
x→0
√x (lnx)2 (e) lim
x→4
√
2x+1−3
√ x−2−
√ 2 (f) lim
x→0
e−x12 x2 (g) lim
x→0+
xx−1 ln(x+1) (h) lim
x→0+(1+x)lnx (i) lim
x→π2
ln sinx x−π
2
(j) lim
x→0+lnxln(1+ln(1+x)) (k) lim
x→0
√ 1+x−
√ 1−x
x =1
(l) lim
x→+∞x2e−
√x
(m) lim
x→0
e−x12 x4 (n) lim
x→+∞
ln(1+x2) x3 (o) lim
x→+∞
q x+√
1+x2− q
−x+√ 1+x2 (p) lim
x→0
ex−1 (lnx)3 =0 (q) lim
x→+∞
x−lnx x
√
1+x =0 (r) lim
x→+∞
r x+ q
x+√ x− √
x (s) lim
x→+∞x q
x+√ x+1−
q x+√
x−1
!
(t) lim
x→0xj1 x k
(u) lim
x→+∞xj1 x k
(v) lim
x→0
bxc x (w) lim
x→1(√
x−1) ln(lnx) (x) lim
x→0
e2x−1
√x(ex−1)
(y) lim
x→+∞ 1+ 1
√x
!
√ 2x
=e
√ 2
(z) lim
x→+∞
x√
x−ln(1+x2)
√
1+x2 = +∞ (α) lim
x→−∞
xln(1+ex) e−x−e−2x (β) lim
x→1
x−ln(cos 2πx) lnx (γ) limx→0
2x−1 x =ln 2
Utilisation des propriétés séquentielles.
Exercice6. Soit f : R−→Rune fonction périodique dont une période estT >0. On suppose que f admet une limite finie en+∞.Montrer que f est constante.
Exercice7. Soit f etgdeux fonctions continues et périodiques surR. On suppose que
x→lim+∞f(x)−g(x)=0. Montrer que f =g.
Exercice8. Déterminer les fonctions continues surRvérifiant
∀x∈R, f(x)= f x2+1 4
!
Exercice9. Soit f :I−→Rune fonction définie sur un intervalleItelle
∀(x,y)∈I2, |f(x)−f(y)| ≤ |x−y|.
Montrer que f est continue surI.
Prolongement par continuité.
Exercice10. Etudier le prolongement en 0 des fonctions suivantes : x7−→x
x+1
x
, x7−→ x2− |x|
x2+|x|, x7−→ln 1−e−2x x
!
, x7−→ xsinx
1−cosx, et
x7−→ ln(cosx) 1−cos(2x)
Etudier le prolongement en 0 et 1 de la fonction définie surR+∗\ {1}par x7−→ xlnx
x−1
Etudier le prolongement en−1 et 1 de la fonction définie sur ]−1,1[ par x7−→(1−x2) ln 1−x
1+x
!
Théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice11. Soitf : [a,b]−→Rune fonction continue,p,qdeux réels positifs tels que p+q>0. Montrer qu’il existec∈[a,b] tel quep f(a)+q f(b)=(p+q)f(c).
Exercice12. Soit f,g: [a,b]−→Rdeux fonctions continues telles que f(a)=g(b) et f(b)=g(a). Montrer qu’il existex∈[a,b] tel que f(x)=g(x).
Exercice 13. Soit f : [a,b] −→ Rune fonction continue etx1,x2, . . . ,xn des réels de ]a,b[.
Montrer qu’il existec∈[a,b] tel que f(c)= 1 n
n
X
i=1
f(xi).
Exercice 14. Soit f : [0,1] −→ R une fonction continue et deux réels p,q tels que pq>0. Montrer qu’il existec∈]0,1[ tel que
f(c)= p a−c+ q
b−c.
On pourra introduire une fonction auxiliaire et lui appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice15. Soit f : R+ −→ Rune fonction continue admettant une limite finie`en +∞. Montrer quef prend toute valeur entre f(0) et`(`exclu).
Exercice16. Soitf : [0,1]−→Rune fonction continue telle que f(0)= f(1).
(1) Montrer qu’il existex∈[0,12] tel quef(x)= f(x+12).
(2) Soitn∈Ntel quen≥2. Montrer qu’il existex∈[0,1−1
n] tel quef(x)= f(x+1n).
Exercice17. Déterminer les fonctions fcontinues surRà valeurs réelles telles que pour toutx∈R:
cos(f(x))=sin(f(x))
Continuité sur un segment.
Exercice18. Soitf :R−→Rune fonction périodique et continue dont une période est T >0.
Montrer que f est bornée et atteint ses bornes.
Exercice19. Soitf : [a,b]−→Rune fonction continue. Montrer qu’il existec∈[a,b]
tel que
1 b−a
Z b a
f(t)dt= f(c).
Exercice20. Soitf une fonction continue de l’intervalle [0,1] dansR. On suppose que 2
Z 1 0
f(x)dx=1.Montrer que f possède un point fixe dans [0,1].
Exercice21. Soitf une fonction continue de l’intervalle [0,1] dansR. On suppose que
Z 1 0
f(x)dx=
n
X
k=1
1 k.
Montrer qu’il existec∈]0,1[ tel que (1−c)f(c)=1−cn.
Montrer que f est strictement monotone.
Exercice23. Soitf une fonction continue de [0,1] dansR. Déterminer les limites lim
n→+∞
Z 1 0
xnf(x)dxet lim
n→+∞n Z 1
0
xnf(x)dx
Fonction définie implicitement, monotonie, théorème de la bijection.
Exercice 24. Soit f : R −→ Rune fonction continue et décroissante. Montrer que f possède un unique point fixe. En déduire que le système
x = f(y) y = f(z) z = f(x)
admet une unique solution.
Exercice25. Soitaun réel positif ou nul. Pourx∈R, on posePa(x)=x3+ax−1.
(a) Montrer que ce polynôme admet une unique racine réelleu(a).
On noteul’application définie surR+qui à tout réelaassocieu(a).
(b) Montrer queu(R+)⊆R+∗.
(c) Montrer que l’applicationuest strictement décroissante surR+. (d) Calculeru(0), puis lim
a→+∞u(a).
(e) Déterminer l’application réciproque deu.
(f) Montrer queuest continue surR+.
Exercice 26. Soientn et p sont deux entiers naturels non nuls tels quen > p et (E) l’équation d’inconnuetappartenant àR+et de paramètre réelx:
tn+xtp−1=0.
(1) Montrer que pour toutxréel, (E) admet une unique solution strictement positivey.
On posey= f(x).
(2) Montrer que la fonction f ainsi définie est décroissante surR. (3) Déterminer lim
x→+∞f(x).
(4) Déterminer lim
x→−∞f(x).
Exercice27. Soitnun entier naturel non nul et (En) l’équation : (En) 1+ln(x+n)=x (1) Montrer que (En) admet une unique solutionansurR+.
(2) Pournassez grand, comparer les trois nombresn,ln(n) etan. En déduire la nature de la suite (an).
Exercice28. Soitf la fonction définie sur [0, +∞[ par f(t)=ln(1+t)+ t2 1+t2. (1) Montrer que f est strictement croissante.
(2) Soitn∈Ntel quen >1.Montrer que l’équation f(t)= 1
n admet une et une seule solutionan>0.
(3) Montrer que la suite (an) est décroissante. A t-elle une limite ? Si oui, quelle est elle ?
(4) Etudier la convergence de la suite (nan).
Suites de la formeun+1= f(un).
Exercice29. On posea1= √
2 et pour toutn∈N∗, an+1= q 2+√
an. Etudiez la convergence de la suite (an).
Exercice30. Soit f :]0,+∞[→]0,+∞[ définie par f(x)=1+ 2x. On considère la suite récurrente (un) vérifiantun+1= f(un) etu0=1.
(a) Etudier le sens de variation de f sur [1,3] et montrer que l’intervalle [1,3] est stable par f. Que peut-on en déduire sur (un) ?
(b) Soient (vn) et (wn) les suites définies parvn =u2n etwn =u2n+1. Montrer que (vn) est croissante et que (wn) est décroissante.
(c) En déduire que (vn) et (wn) sont convergentes et déterminer leur limite respective.
(d) Quelle est la nature de la suite (un) ?
Exercice31. Soitf la fonction définie surRpar f(x)= 6 x2+2.
On définit une suite (un) en posantu0=0 et pour toutn∈N,un+1= f(un).
On poseh(x)= f(f(x))−xpourx∈R. Après avoir étudié le signe deh, étudier la suite (un).
Exercice32. On considèrea0 ∈Ret pour toutn∈N, an+1=an(1−an).
Etudier la convergence de (an) en fonction dea0.
Exercice33. Soit f : x7−→ p
|x2−1|et la suiteu=(un) définie par son premier terme u0∈Ret la relation de récurrence :∀n∈N,un+1= f(un).
(1) Donner une représentation graphique de la fonction f.
(2) Soit f1la restriction def à [1,+∞[. Montrer que f1réalise une bijection de [1,+∞[
sur un intervalle à préciser et donner une expression de la bijection réciproqueg.
(3) Soitvla suite définie parv0 = 0 et la relation :∀n ∈ N,vn+1 =g(vn). Etudier la monotonie et la nature de la suitev
(4) A l’aide de la question 2), montrer que l’étude de la nature de la suiteuse ramène au cas oùu0∈[0,1].
(5) Déterminer, en discutant selon les valeurs deu0, la nature de la suiteu.
Equation fonctionnelle.
Exercice34. Soitf :R+∗−→R+∗une fonction telle que, pour tousx>0, y>0, f(x f(y))=y f(x) et f(x)−→+∞quandx−→0+.
(a) Montrer que pour toutx>0, f(f(x))=x.
(b) Montrer que pour toutx>0 et touty>0, f(xy)= f(x)f(y).
(c) Que peut on dire de la monotonie de f? De sa continuité ? (d) Trouver f.
Exercice35. Soitf :R−→Rcontinue telle que,
∀x,y∈R, f x+y
2 =1
2 f(x)+f(y). (1) Vérifier que les fonctions affines sont solutions de ce problème.
(2) Dans cette question, on cherche à déterminer les fonctions qui sont solutions du problème et qui s’annulent en 0.
(a) Démontrer que, pour tout entierp∈N, on a f(p)=0.
(b) Démontrer que, pour tout entierp∈Z, on af(p)=0.
(c) Démontrer que, pour toutp∈Zet toutn∈N, on a fp
2n
=0.
(d) Soitx∈Z. Pourn∈N, on posexn= b22nnxc. Démontrer que (xn) converge vers x.
(e) En déduire que f est identiquement nulle.
(3) Dans le cas général, démontrer que f est une fonction affine.
15.9 Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice3. Pourx,0, évaluerf(−x)−f(x). Pour la continuité, montrer que f est continue surR∗, puis vérifier que lim
x→0f(x)= f(0) pour la continuité en 0.
Indication pour l’exercice6. Raisonner par l’absurde et utiliser la propriété séquentielle des limites.
Indication pour l’exercice7. Montrer d’abord que f etgont les mêmes périodes et utili- ser l’exercice précédent.
Indication pour l’exercice9. Appliquer le théorème de limite par encadrement pour éta- blir que quel que soit le réelx0: lim
x→x0f(x)= f(x0).
Indication pour l’exercice11. Poser λ = p f(a)p++q fq (b), et vérifier que le théorème des va- leurs intermédiaires s’applique pour montrer que l’équation f(x)=λadmet au moins une solution dans [a,b].
Indication pour l’exercice12. Considérer la fonctionhdéfinie sur [a,b] parh(x)=f(x)− g(x) et raisonner par l’absurde en supposant quehne s’annule pas sur le segment [a,b].
Indication pour l’exercice13. Poserλ = 1 n
n
X
i=1
f(xi), et vérifier que le théorème des va- leurs intermédiaires s’applique pour montrer que l’équation f(x)=λadmet au moins une solution dans ]a,b[.
Indication pour l’exercice15. Considérer la fonctiongdéfinie sur [0,1] parg(x)= f(1x− 1) pourx∈]0,1] etg(0)=`et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Indication pour l’exercice16. (1) Introduire la fonction gdéfinie sur [0,12] parg(x) = f(x+ 12)− f(x) et constater queg prend des valeurs de signes opposés en 0 et 12. Appliquer ensuite le théorème des valeurs intermédiaires.
(2) Introduire la fonctionhdéfinie sur [0,n−1n ] parh(x)= f(x+1n)− f(x) et montrer que parmi les valeursh(0),h(1n,h(2n). . . ,h(n−1n ), il y en a au moins deux de signes opposés.
Appliquer ensuite le théorème des valeurs intermédiaires.
Indication pour l’exercice17. Montrer que si une fonction f continue et non constante vérifie la propriété, le théorème des valeurs intermédiaires est contredit.
Indication pour l’exercice18. Montrer que f est bornée et atteint ses bornesmetM sur [0,T] puis montrer que f est bornée parmetMsurR.
Indication pour l’exercice19. Encadrer convenablement 1 b−a
Z b a
f(t)dt.
Indication pour l’exercice20. Considérer la fonctionh: x→ f(x)−xet remarquer que Z 1
0
h(x)dx=0. Raisonner alors par l’absurde et penser à la stricte positivité de l’intégrale.
Indication pour l’exercice22. Raisonner par l’absurde en supposant quef n’est pas stric- tement monotone : quitte à considérer−f, on peut supposer qu’il existe des réelsa<b<c tels que f(a)≤ f(b) et f(c)≤ f(b). Considérer ensuite le maximum de f sur le segment [a,c].
Pour la deuxième limite, c’est plus dur ! On montre d’abord que
n→lim+∞
Z 1 0
nxn(f(x)−f(1))dx=0 et pour cela, il faut revenir à la définition quantifiée de la limite.
Soitε >0. Montrer grâce à la continuité de f en 1, qu’il existeδtel que 0< δ <1 et
Z 1
1−δnxn(f(x)−f(1))dx ≤ ε
2 puis montrer qu’il existeC>0 tel que
Z 1−δ 0
nxn(f(x)−f(1))dx
≤2Cn(1−δ)n.
En utilisant alors le théorème des croissances comparées, montrer qu’il existeN ∈ Ntel que
Z 1 0
nxn(f(x)−f(1))dx ≤ε.
Indication pour l’exercice24. Considérer la fonction f ◦ f ◦ f et montrer qu’elle admet un point fixe.
Indication pour l’exercice25. (a) Faire appel au théorème de la bijection.
(b) Il s’agit de montrer que sia≥0 alorsu(a)>0. ComparerPa(0) etPa(u(a)), puis utliser la monotonie dePa.
(c) Il s’agit de montrer que si 0≤a<balorsu(b)<u(a) ComparerPa(u(a)) etPb(u(a)).
(d) On trouveu(0)=1, puis lim
a→+∞u(a)=0.
(e) Interpréter l’égalitéa= 1−u(a)3 u(a) .
(f) Appliquer le théorème de la bijection à la fonction réciproque deu.
Indication pour l’exercice26. S’inspirer de l’exercice précédent.
Indication pour l’exercice27. (1) Appliquer le théorème de la bijection à la fonction x7−→ fn(x)=x−ln(x+n)−1.
(2) Comparer fn(n),fn(lnn) et fn(an) et utiliser la monotonie de fnsurR+.
Indication pour l’exercice28. (1) Une étude de fonction doit permettre de répondre.
(2) Appliquer le théorème de la bijection.
(3) Comparer f(an) et f(an+1).
(4) Diviser paranla relation f(an)=1/n.
Indication pour l’exercice29. Introduire la fonctionf définie surR+par f(x)= q 2+√
x et remarquer qu’elle est croissante.
Indication pour l’exercice30. (a) L’intervalle [1,3] est stable par f signifie que six ∈ [1,3] alors f(x)∈[1,3].
(b) Remarquer quevn+1= f ◦ f(vn) et f ◦ f est croissante. Même travail pourwn.
(c) On trouvera une limite commune égale à 2.
(d) SoitI un intervalle ouvert contenant 2. Puisque limvn = 2, l’intervalleIcontient les termesvn =u2nsauf pour un nombre fini d’indices. De même, puisque limwn = 2, l’intervalleIcontient les termeswn=u2n+1sauf pour un nombre fini d’indices. Donc l’intervalleIcontient . . . .
Indication pour l’exercice31. S’inspirer de l’exercice précédent.
15.10 Correction des exercices
