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II- Théorème des valeurs intermédiaires

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

I- Continuité

1) Fonction continue

Soitaun réel etfune fonction définie sur un intervalle I contenanta. La fonctionf est continue enasi : limxa=f(a).

La fonctionf est continue sur l’intervalle I sif est continue en tout réelxde I.

Définition

O x

y

α

a

Figure1 – Une fonction continue ena

Remarque

La courbe représentative d’une fonctionf continue sur un intervalle I peut-être tracée sur cet intervalle sans lever le crayon.

O x

y

α β

a

Figure2 – Une fonction discontinue ena

Exemple Soitf :x7→1

xdéfinie surR,

f est continue sur ]− ∞; 0[ ;

f est continue sur ]0 ; +[.

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(2)

2) Les fausses idées

Une fonction définie enaest-elle continue ena ?

La fonctionpartie entièreE, définie surRpar E(x) =nn∈Zavecnx < n+ 1, est continue pourx<Z mais n’est pas continue pourx∈Z.

– La représentation graphique de E (fonction en escalier)

(Sourcehttp://www.marris.org/) – Remarque : E(4,3) = 4 mais E(−4,3) =. . .

Une fonction dont la courbe semble être tracée « sans lever le crayon » sur un intervalle est-elle continue sur cet intervalle ?

Une fonction continue sur un intervalle est-elle dérivable sur cet intervalle ?

Dans les tableaux de variations, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.

Convention

3) Propriétés

1) Une fonction dérivable en un réelaest continue ena.

2) Si une fonctionf est dérivable sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.

3) Toutes les fonctions étudiées au lycée (polynômes, fonctions rationnelles, racine carrée...) sont continues sur leur ensemble de définition.

Propriété admises

Remarque

Une fonction continue en un réelan’est pas nécessairement dérivable ena.

Par exemple, la fonctionx7→

xest continue en 0, mais n’est pas dérivable en 0.

II- Théorème des valeurs intermédiaires

1) Le théorème et ses corollaires

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I eta etbdeux réels de I. Alors pour tout réelk compris entref(a) etf(b), il existe au moins un réelc∈[a, b] tel quef(c) =k.

Théorème Théorème des valeurs intermédiaires

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(3)

f(b)

f(a)

a b

0 k

c1 c2 c3 x

y

Figure3 – Illustration du théorème des valeurs intermédiaires

Sif est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b]. Alors pour tout réelkcompris entref(a) et f(b), il existe un uniquec∈[a, b] tel quef(c) =k.

Théorème Corollaire du TVI

b b

k

c A

a f(a)

B

b f(b)

Figure4 – Illustration du théorème de la solution unique Exemple

Soitf la fonction définie surRparf(x) = 8x3+ 12x21.

1) Étudier les variations def surR.

2) Montrer que l’équationf(x) = 0 admet une unique solutionαsur [1; 0].

a,b,αetβdésignent des réels ou±∞.

Sif est une fonction continue et strictement monotone sur ]a;b[ telle que : limxaf(x) =α et lim

xbf(x) =β.

Alors pour tout réelkcompris entreαetβ, il existe un uniquec∈]a, b[ tel quef(c) =k.

Théorème Extension du corollaire du TVI

Exemple

Reprendre la fonction de l’exemple précédent et démontrer quef(x) = 0 admet une unique solution sur [0; +[.

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(4)

2) TP : Résolution d’une équationf(x) =k avec la calculatrice graphique Soitf la fonction définie surRparf(x) =−x3+ 3x2−1.

Le but du TP est de déterminer des valeurs approchées des solutions des équationsf(x) = 0 etf(x) = 5 à l’aide de la calculatrice graphique.

1) Etude de la fonctionf :

Calculerf0(x), étudier son signe puis dresser le tableau de variation def. (On fera un large tableau) 2) Résolution de l’équationf(x) = 0 :

a. Déterminer le nombre de solutions de l’équationf(x) = 0.

b. Déterminer une valeur appochée de chacune des solutions à 0,1 près avec le solver de la calculatrice de la façon suivante :

CASIO 35+

A partir du graphique : shift G-solv . X-CALC puis entrer 0 comme valeur de Y.

La calculatrice calcule les solutions def(x) = 0.

On passe de l’une à l’autre avec les flèches.

TI A partir du graphique :

2nd CALC zero

Une croix apparait ; la positionner avant la solu- tion cherchée puis valider par ENTER .

Positionner la croix après la solution puis valider par ENTER .

Encore une fois par ENTER .

Recommencer pour chaque solution.

3) Résolution de l’équationf(x) = 5 :

a. Déterminer le nombre de solutions de l’équationf(x) = 5.

b. Déterminer une valeur appochée de chacune des solutions à 0,1 près avec le solver de la calculatrice de la façon suivante :

CASIO 35+

shift G-solv . X-CALC puis entrer 5 comme valeur de Y.

La calculatrice calcule les solutions def(x) = 5.

On passe de l’une à l’autre avec les flèches.

TI

Tracer la droite d’équationy= 5 en tapant Y2= 5 dans le menu de fonction.

2nd CALC intersect

Une croix apparait ; la positionner avant le point d’intersection de la courbe et de la droite puis vali- der par ENTER .

Positionner la croix après le point d’intersection puis valider par ENTER .

Encore une fois par ENTER .

Recommencer pour chaque solution.

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