Chapitre IV : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

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Chapitre IV : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

I- Continuité:

Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I, f est continue en a si lim

xa fx=fa.

Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I , f est continue sur I si f est continue en chaque point de I.

Remarques :

• Si I=[a,b]. f est continue sur I si f est continue en tout point de ]a, b[ et si lim

xa xa

f x=f a et lim

xb xb

fx=fb.

• Graphiquement ceci signifie qu'on peut tracer la courbe C_f représentative de f sans rupture, sans lever le crayon.

Exemples :

• f : xx² est continue sur ℝ.

• f : xEx appelée partie entière de x définie par : E(x) est l'entier relatif immédiatement inférieur ou égal à x.

Exemple : E(2,5)=2; E(-2,5)=-3; E(5)=5; E(-6)=-6.

Pour tout x∈ℝ, il existe n∈ℤ tel que nxn1 alors E(x)=n.

On en déduit la représentation graphique de la fonction partie entière.

E est continue sur tout intervalle de la forme ]n , n+1[mais n'est continue en aucune valeur n deℤ.

Théorème 1 :

• Les fonctionsxxⁿ , n∈ℕsont continues surℝ.

• Toute fonction polynôme est continue surℝ.

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• Les fonctionsx 1

xⁿ , n∈ℕsont continues sur]−∞;0[.et sur]0;∞ [.

• Toute fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.

• La fonctionx



^xest continue sur[0;∞[.

• Les fonctions xsinx et xcosx sont continues surℝ.

• La fonction xtanx est continue sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.

Théorème des valeurs intermédiaires 2 : (admis)

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I, alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.

Interprétation graphique

Remarque : La continuité est essentielle ( voir la fonction partie entière ) Corollaire 1 :

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I,Si f est strictement monotone sur [a, b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.

On dit que f est une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)] respectivement [f(b), f(a)] selon variations de f.

Tableau de variations

x a c b f(x)

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Démonstration : Supposons f strictement croissante.

Cas particulier : Dans le cas où f est une fonction continue strictement monotone sur [a, b] et que f a×fb0 alors il existe une unique solution à l'équation f x=0 .

Extension du corollaire : On peut remplacer b par ∞ et/ou a par −∞, f a par lim

xa fx et f b par lim

xb fx.

Quelques exemples : Soit f de I sur ℝ continue et strictement . 1. Si I=[a ;∞[ et lim

x∞

fx=∞ alors pour tout k∈[ fa;∞ [ il existe un unique c∈[a ;∞ [ tel que f c=k.

2. Si I=[a ;b[ et lim

xb fx=l alors pour tout k∈[ f a;l[ il existe un unique c∈[a ;b[ tel que f c=k.

3. Si _I=]−∞, b[ et lim

x−∞

fx=l et ^lim

xb fx=−∞ alors pour tout k∈]−∞;l[ il existe un unique c∈]−∞, b[ tel que f c=k.

Exemples

1. Soit f définie sur ℝ par f x=x³, f est continue et strictement croissante de ℝ sur ℝ d'où pour tout k réel il existe un unique c∈ℝ tel que f c=k.

2. Soit g définie sur ]− 2 ;

2[ à valeurs dans ℝ définie par gx=tanx, g est continue et strictement croissante de ]−

2 ;

2[ sur ℝ d'où pour tout k réel il existe un unique c∈]−

2 ;

2 [ tel que f c=k.