TS : TD sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires
I
On noteEla fonction partie entière.
La fonctiong:x7→xE(x) est-elle continue en 0 ?
E(x)= −1 sur [−1 ; 0[ et 0 sur [0 ; 1[ donc f(x)= −xsur [−1 ; 0[ et 0 sur [0 ; 1[.
f(0)=0
• lim
x→0 x<0
f(x)=lim
x→0 x<0
(−x)=0=f(0)
• lim
x→0x>0
f(x)=lim
x→0x>0
(0)=0=f(0)
• On en déduit que lim
x→0f(x)=0=f(0) donc f est continue en 0 Courbe (non demandée) :
−1 1 2 3 4 5 6
1 2
−1
−2
−3 f
II
f est la fonction définie surRpar
f(x)=x3−4x+5.
Démontrer que l’équation f(x)=8 admet au moins une solution dans l’intervalle [−2 ; 3].
• f est continue comme fonction polynôme (ou somme de fonctions continues)
• f(−2)=5<8
• f(3)=20>8
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=8 admet au moins une solution dans l’in- tervalle [−2 ; 3]
III
Soitf la fonction définie surRpar
f(x)= −x3−2x+5.
1. f′(x)= −3x2−2<0 car−3x2É0 donc−3x2−2É −2<0.
On en déduit que f est décroissante surR.
2. Pourx6=0, f(x)=x3 µ
−1− 2 x2+ 5
x3
¶ .
x→±∞lim µ
−1− 2 x2+ 5
x3
¶
= −1.
x→−∞lim x3= −∞donc lim
x→−∞f(x)= +∞
x→+∞lim x3= +∞donc lim
x→+∞f(x)= −∞. Tableau de variation :
x −∞ +∞
f′(x) −
f(x) +∞
❅❅
❅
❘
−∞
• f est continue surR.
• lim
x→−∞f(x)= +∞
• lim
x→+∞f(x)= −∞
D’après le TVI, l’équation f(x)=0 admet au moins une solution.
Comme f est décroissante, cette solution est unique : on la noteα.
3. À l’aide de la calculatrice, on trouveα≈1,33 4. Signe de f(x) :
x −∞ α +∞
f(x) +0−
IV
Soitf la fonction définie surRpar
f(x)=x3−3x+1.
On se propose de résoudre l’équationf(x)=0 [1].
Partie A : recherche du nombre de solutions 1. Pourx6=0, f(x)=x3
µ 1− 3
x2+ 1 x3
¶ .
x→±∞lim µ
1− 3 x2+ 1
x3
¶
=1.
x→−∞lim x3= −∞donc lim
x→−∞f(x)= −∞
x→+∞lim x3= +∞donc lim
x→+∞f(x)= +∞
2. f′(x)=3x2−3=3¡ x2−1¢
=3(x+1)(x−1).
f′(x)=0 pourx= −1 oux=1.
f′(x) est un trinôme du second degré; f′(x)>0 pourxà l’extérieur de l’intervalle formé par le racines et négatif entre les racines (car le coefficient dex2est positif).
Tableau de variation :
x −∞ −1 1 +∞
f′(x) + 0 − 0 +
f(x)
−∞
✒3
❅❅
❅
❘−1
✒ +∞
3. • Sur ]− ∞; −1, f est continue, lim
x→−∞f(x)= −∞et f(−1)=3>0, donc l’équation f(x)=0 admet une solutions dans cet intervalle (unique car la fonction est monotone).
• De même, l’équation aune solution unique dans l’intervalle [-1 ; 1]
• De même, l’équation aune solution unique dans l’intervalle [1 ; +∞[
Partie B : recherche des solutions exactes
On cherche les solutions de l’équation [1] sous la formex=2 cosθ, avecθréel.
Rappel : pour tout angleθ:
• cos2θ+sin2θ=1
• sin(2θ)=2 cosθsinθ
• cos(2θ)=cos2θ−sin2θ=2 cos2θ−1=1−2 sin2θ
1. cos(3θ)=cos(2θ+θ)=cos(2θ)cos(θ)−sin(2θ)sin(θ)=¡
2 cos2θ−1¢
cosθ−2 sin2θcosθ
=2 cos3θ−cosθ−2¡
1−cos2θ¢
cosθ=4 cos3θ−3 cosθ. On en déduit que cos(3θ)+3 cosθ=4 cos3θ
2. On posex=2 cosθ.
xest solution. de m’équation [1] si, et seulement six3−3x+1=0.
x3−3x+1=0⇔(2 cosθ)3−3×2 cosθ+1=0⇔8 cos3θ−6 cosθ+1=0⇔2¡
4 cos3θ−3 cosθ¢
+1=0⇔ 4 cos3θ−3 cosθ= −1
2⇔ cos(3θ)= −1 2 3. Soit [2] l’équation cos(3θ)= −1
2. [2] s’écrit cos(3θ)=cos
µ2π 3
¶ .
On sait que cosa=cosb⇔a=b+2kπ, k∈Zoua= −b+2k′π,k′∈Z.
On en déduit 3θ=2π
3 +2kπdoncθ=2π 9 +2kπ
3 ou 3θ= −2π
3 +2′πdoncθ= −2π
9 +2k′π 3. 4. Comme la fonction cos est paire, le solutions de l’équation [1]sont :
2 cos µ2π
9
¶ , 2 cos
µ8π 9
¶
et 2 cos µ14π
9
¶ .