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TS : TD sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

TS : TD sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires

I

On noteEla fonction partie entière.

La fonctiong:x7→xE(x) est-elle continue en 0 ?

E(x)= −1 sur [−1 ; 0[ et 0 sur [0 ; 1[ donc f(x)= −xsur [−1 ; 0[ et 0 sur [0 ; 1[.

f(0)=0

• lim

x0 x<0

f(x)=lim

x0 x<0

(−x)=0=f(0)

• lim

x→0x>0

f(x)=lim

x→0x>0

(0)=0=f(0)

• On en déduit que lim

x0f(x)=0=f(0) donc f est continue en 0 Courbe (non demandée) :

1 1 2 3 4 5 6

1 2

1

2

3 f

II

f est la fonction définie surRpar

f(x)=x3−4x+5.

Démontrer que l’équation f(x)=8 admet au moins une solution dans l’intervalle [−2 ; 3].

f est continue comme fonction polynôme (ou somme de fonctions continues)

f(−2)=5<8

f(3)=20>8

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=8 admet au moins une solution dans l’in- tervalle [−2 ; 3]

(2)

III

Soitf la fonction définie surRpar

f(x)= −x3−2x+5.

1. f(x)= −3x2−2<0 car−3x2É0 donc−3x2−2É −2<0.

On en déduit que f est décroissante surR.

2. Pourx6=0, f(x)=x3 µ

−1− 2 x2+ 5

x3

¶ .

x→±∞lim µ

−1− 2 x2+ 5

x3

= −1.

x→−∞lim x3= −∞donc lim

x→−∞f(x)= +∞

x→+∞lim x3= +∞donc lim

x→+∞f(x)= −∞. Tableau de variation :

x −∞ +∞

f(x) −

f(x) +∞

−∞

f est continue surR.

• lim

x→−∞f(x)= +∞

• lim

x→+∞f(x)= −∞

D’après le TVI, l’équation f(x)=0 admet au moins une solution.

Comme f est décroissante, cette solution est unique : on la noteα.

3. À l’aide de la calculatrice, on trouveα≈1,33 4. Signe de f(x) :

x −∞ α +∞

f(x) +0−

IV

Soitf la fonction définie surRpar

f(x)=x3−3x+1.

On se propose de résoudre l’équationf(x)=0 [1].

Partie A : recherche du nombre de solutions 1. Pourx6=0, f(x)=x3

µ 1− 3

x2+ 1 x3

¶ .

x→±∞lim µ

1− 3 x2+ 1

x3

=1.

x→−∞lim x3= −∞donc lim

x→−∞f(x)= −∞

x→+∞lim x3= +∞donc lim

x→+∞f(x)= +∞

(3)

2. f(x)=3x2−3=3¡ x2−1¢

=3(x+1)(x−1).

f(x)=0 pourx= −1 oux=1.

f(x) est un trinôme du second degré; f(x)>0 pourxà l’extérieur de l’intervalle formé par le racines et négatif entre les racines (car le coefficient dex2est positif).

Tableau de variation :

x −∞ −1 1 +∞

f(x) + 0 − 0 +

f(x)

−∞

3

−1

+∞

3. • Sur ]− ∞; −1, f est continue, lim

x→−∞f(x)= −∞et f(−1)=3>0, donc l’équation f(x)=0 admet une solutions dans cet intervalle (unique car la fonction est monotone).

• De même, l’équation aune solution unique dans l’intervalle [-1 ; 1]

• De même, l’équation aune solution unique dans l’intervalle [1 ; +∞[

Partie B : recherche des solutions exactes

On cherche les solutions de l’équation [1] sous la formex=2 cosθ, avecθréel.

Rappel : pour tout angleθ:

• cos2θ+sin2θ=1

• sin(2θ)=2 cosθsinθ

• cos(2θ)=cos2θ−sin2θ=2 cos2θ−1=1−2 sin2θ

1. cos(3θ)=cos(2θ+θ)=cos(2θ)cos(θ)−sin(2θ)sin(θ)=¡

2 cos2θ−1¢

cosθ−2 sin2θcosθ

=2 cos3θ−cosθ−2¡

1−cos2θ¢

cosθ=4 cos3θ−3 cosθ. On en déduit que cos(3θ)+3 cosθ=4 cos3θ

2. On posex=2 cosθ.

xest solution. de m’équation [1] si, et seulement six3−3x+1=0.

x3−3x+1=0⇔(2 cosθ)3−3×2 cosθ+1=0⇔8 cos3θ−6 cosθ+1=0⇔2¡

4 cos3θ−3 cosθ¢

+1=0⇔ 4 cos3θ−3 cosθ= −1

2⇔ cos(3θ)= −1 2 3. Soit [2] l’équation cos(3θ)= −1

2. [2] s’écrit cos(3θ)=cos

µ2π 3

¶ .

On sait que cosa=cosba=b+2kπ, k∈Zoua= −b+2kπ,k∈Z.

On en déduit 3θ=2π

3 +2kπdoncθ=2π 9 +2kπ

3 ou 3θ= −2π

3 +2πdoncθ= −2π

9 +2kπ 3. 4. Comme la fonction cos est paire, le solutions de l’équation [1]sont :

2 cos µ2π

9

¶ , 2 cos

µ8π 9

et 2 cos µ14π

9

¶ .

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