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Exercices sur le théorème des valeurs intermédiaires

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Academic year: 2022

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Exercices sur le théorème des valeurs intermédiaires

I

Soit la fonction définie surRparf(x)=x3+x2x.

1. Montrer que la fonctionf est continue sur [−1 ; 2].

2. Calculer f(−1) et f(2).

3. En déduire que l’équation f(x) = 5 admet au moins une solution dans [−1 ; 2].

II

Soitf est la fonction définie sur l’intervalle [-3 ; 6]

par f(x)=x3−12x.

1. Déterminer f(x) et dresser le tableau de varia- tion de f.

2. Pourquoi l’équation f(x)=30 a-t-elle des solu- tions dans l’intervalle [-3 ; 6]?

3. Combien cette équation a-t-elle de solutions?

4. En donner une approximation d’amplitude 10−2, en utilisant la calculatrice.

III

N est définie et continue surˇ

I=[−4 ; 1] par f :x7→x3+6x2+9x+3.

1. (a) Étudier les variations de f.

(b) En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l’équation

f(x)=2 dansI.

2. (a) Justifier que l’équation

f(x) = 4 admet une solution unique, α, dans l’intervalleI.

(b) Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).

(c) Déterminer une valeur approchée par ex- cès de α au millième près (en justifiant votre réponse).

3. On admet que l’équation f(x)=0

admet une solution uniqueβdans [-3 ; -1].

Déterminer un encadrement de β à 10−2 près (en justifiant la réponse).

IV

Montrer que l’équation 2x3−1

3x2+1 = 0 admet au moins une solution dansR.

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